Devoir 2 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne
publicité
S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences Devoir 2 2011-2012 Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Devoir 2 A rendre le jeudi 10 mai 2012 Exercice 1. Un sac S contient cinq jetons : deux sont numérotés 1 et les trois autres sont numérotés 2. Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes, elles correspondent à des expériences aléatoires différentes utilisant le sac S mentionné ci-dessus. Partie A 1) On extrait deux jetons simultanément de S. Calculer la probabilité que ces deux jetons portent le numéro 2. 2) Dans cette question on considère le sac S et on effectue 2100 tirages simultanés de deux jetons avec remise (les deux jetons obtenus à chaque tirage sont remis dans le sac S avant le tirage des deux jetons suivants). On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de tirages où les deux jetons tirés portent le numéro 2 . a) Reconnaître la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier la réponse. b) En déduire l’espérance mathématique et la variance de X. Partie B On effectue une série illimitée de tirages avec remise d’un jeton dans le sac S. On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués avant le tirage amenant un jeton numéroté 1 pour la première fois. 1) a) Justifier que la variable aléatoire Z Y 1 suit une loi usuelle que l’on précisera. b) En déduire la loi de probabilité de Y. 2) a) Préciser l’espérance mathématique et la variance de Z. b) En déduire l’espérance mathématique et la variance de Y. Partie C On extrait successivement et avec remise deux jetons du sac S. On désigne par X 1 la variable aléatoire égale à la somme des numéros des deux jetons tirés, et par X 2 la variable aléatoire égale au maximum des numéros des deux jetons tirés. 1) Donner la loi de probabilité du couple X 1 , X 2 , en utilisant un tableau à double entrée. 2) En déduire la loi de probabilité de X 1 et celle de X 2 . 3) Les variables aléatoires X 1 et X 2 sont-elles indépendantes ? Exercice 2. Soient b et n deux entiers naturels non nuls, et une urne contenant b boules blanches et n boules noires. 1) L’entier k étant tel que 1 k b n, on tire une à une, au hasard et sans remise, k boules de l’urne. Soit X la variable aléatoire prenant la valeur 1 si la dernière boule tirée est blanche, et la valeur 0 sinon. Déterminer la loi de probabilité de X. 2) On tire maintenant les boules une à une, au hasard et avec remise. On effectue des tirages jusqu’à l’obtention d’une boule blanche. On suppose construit un espace probabilisé , A, P adapté, que l’on ne cherchera pas à décrire. Soit alors Y la variable aléatoire indiquant le nombre de boules tirées lorsqu’on obtient la première boule blanche, et prenant par convention la valeur 0 lorsqu’on ne tire aucune boule blanche. Stéphane Ducay 1 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Devoir 2 On pourra considérer les événements suivants : pour tous entiers naturels k et n non nuls, B k : "la k-ème boule tirée est blanche" et A n : "les n premiers tirages n’amènent aucune boule blanche". a) Préciser l’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire Y. b) Démontrer que pour tout entier k tel que k 1, P Y k p k 1 1 p , avec p c) En déduire la valeur de PY n b n . k . k 1 d) En déduire la valeur de P Y 0 . Interpréter ce résultat. e) Justifier que pour tout entier n tel que n 1, A n 1 A n et P A n pn. f) Exprimer l’évenement Y 0 en fonction des évenements A n . Retrouver alors le résultat du d). Stéphane Ducay 2
