Université de Bretagne Sud

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M1 MSAD : Modèles de Durées 1
Outils de Base
Exercise 1 – Soit X une v.a. de loi log-normale de paramètres (µ, σ 2 ), ∞ < µ < +∞, σ > 0 :
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(log x − µ)2
fX (x) = √
, x ∈ R+ .
exp −
2σ 2
2πσx
Montrer que la moyenne et la variance de X sont :
E(X) = eµ+σ
2 /2
2
2
V ar(X) = (eσ − 1)(e2µ+σ )
Exercise 2 – Soit X une v.a. durée caractérisée par le taux de survie suivant :
h(x) =
β β−1
x
, α, β > 0.
αβ
1. Représenter h(x), x > 0 et discuter suivant les valeurs de β.
2. Donner l’expression de la fonction de survie. En déduire la densité de la loi de X.
3. Calculer les moments de X. Donner l’espérance et la variance de X.
Exercise 3 – Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité exponentielle de paramètre λ
un réel positif. On rappelle l’expression de la densité :
fX (x) = λ exp{−λx} , x ∈ R+ .
Montrer que X perd la mémoire ; c’est-à-dire que :
P (X > x1 + x2 | X > x1 ) = P (X > x2 ).
Exercise 4 – Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité exponentielle de paramètre λ
un réel positif.
1. Calculer la densité de la loi de la transformation de X en une v.a. Y de la forme Y = a · X b .
2. Donner l’expression générale pour une transformation ϕ(.) quelconque.
Exercise 5 – On considère X une v.a. continue dont la fonction de survie est S(x). La fonction
de survie moyenne résiduelle : m(x) est définie par :
m(x) = E(X − x | X ≥ x)
Montrer que :
m(x) =
R +∞
x
S(t)dt
S(x)
Exprimer S(x) en fonction de m(x), montrant ainsi que m(x) définit la loi de X de façon unique.
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Exercise 6 – Soit la durée X de fonction de défaillance R(t), de taux de défaillance h(t), et de
taux de défaillance cumulé H(t).
La fonction de répartition de X peut avoir les propriétés suivantes :
• F est dite IFR, Increasing Failure Rate, (DFR Decreasing Failure Rate), si et seulement si
h(t) est croissante (décroissante).
• F est dite IFRA, Increasing Failure Rate Average, si pour t > 0, H(t)/t croit avec t.
• F est dite NBU, New Better Than Used, si la probabilité de défaillance après une date
x + y sachant que que l’item n’a pas connu de défaillance avnat x i.e. R(x + y)/R(x), est
inférieure ou égale à la probabilité qu’il n’y ait pas de défaillance avant la date y pour un
item neuf i.e.
R(x + y) 6 R(x)R(y) , for x, y > 0.
Montrer que
1. F ∈ IFR ⇒ F ∈ IFRA.
2. F ∈ IFRA ⇒ F ∈ NBU.
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