exo_loi_exp03

Toutes les probabilités demandées seront données sous leur forme exacte,
puis sous leur forme approchée décimale arrondie à 102 près.
On considère deux variables aléatoires T1 et T2 prenant pour valeurs les durées de vie en
heures de deux composants de types A et B.
T1 suit une loi exponentielle de paramètre
T2 suit une loi exponentielle de paramètre
 1 = 0,0011
 2 = 0,0008.
On supposera que les pannes des différents composants sont indépendantes les unes des
autres.
1) Quelle est la probabilité qu’un composant de type A soit encore en état de marche après
1000h de fonctionnement ? Même question pour un composant de type B.
2) Déterminer à partir de combien d’heures 70% des composants de type A auront eu leur
première défaillance.
3) Pour essayer d’améliorer la fiabilité, on associe deux composants de type A en parallèle :
quelle est la probabilité qu’un tel système connaisse sa première panne avant 1000h de
fonctionnement ?
4) On constitue un système associant en série un composant de type A et un composant de
type B.
Quelle est la probabilité que ce système fonctionne encore au-delà de 1000h ?
Exercice II
1)
Soit R1 (respectivement R2 ) la fonction de fiabilité associée à la variable T1
(respectivement associée à T2 ).
On a donc : R1  t  =P T1  t   e 1t  e 0,0011t .
On a aussi : R2  t  =P T2  t   e 2t  e 0,0008 t .
La probabilité qu'un composant de type A soit encore en état de marche
après 1000 heures est donnée par :
P T1  1000   e 0,00111000  e 1,1  0,33 valeur arrondie à 102 près.
On a aussi pour un composant de type B :
P T2  1000   e 0,0008 1000  e  0,8  0, 45 valeur arrondie à 102 près.
2)
Le nombre d’heures, t, à partir duquel 70% des composants de type A ont
leur première défaillance correspond au nombre d’heures, t, pour lequel
30 % des composants de type A n’ont pas encore de défaillance. On
recherche donc t, tel que :
3
R1  t  =0,3  e0,0011t  0,3  t 
ln10  ln3
 1094,5
0,0011
2
1
valeur décimale arrondie à 10 près.
70 % des composants de type A ont leur première défaillance à partir, approximativement,
de la 1095 ème heure.
3)
Pour un montage en parallèle de plusieurs composants, la fonction de
défaillance est le produit des fonctions de défaillance.
Notons F la fonction de défaillance du système en parallèle constitué de
deux composants de type A :

F  t   1  R1  t    1  e 0,0011t
2

2
.
La probabilité que ce système connaise sa première panne avant 100 heures
de fonctionnement est donnée par :

F 1000   1  e 0,00111000
4)
  1  e1,1 
2
2
 0, 45 valeur décimale arrondie à 102 près.
2,5
La fonction de fiabilité d’un montage en série est le produit des fonctions
de fiabilité des composants de ce montage.
Pour le système associant en série un composant de type A et un
composant de type B, la fonction de fiabilité est donc donnée par :
R  t   R1  t   R2  t   e 0,0011t  e 0,0008 t  e 0,0019 t .
La probabilité que ce système en série fonctionne encore au-delà de 1000 heures
est donnée par :
R 1000   e  0,0019 1000  e 1,9  0,15 valeur décimale arrondie à 102 près.
2,5