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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 1
(04 Octobre 2016)
Quelques Aspects Fondamentaux des Espaces
Fonctionnels
Exercise 1 (Normes sur Kn , n 1 entier.) Pour u = (u1 ;
; un ) 2 Kn ,
p
p 1=p
on pose kukp = (ju1 j + +jun j ) , pour p
1 réel et si p = 1, kuk1 =
maxfju1 j;
; jun jg.
1. Montrer que si p = 1 ou p = +1, k kp sont des normes sur Kn équivalentes entre-elles.
On suppose maintenant 1 < p < +1. Soit q le réel conjugué de p i.e tel
que p1 + 1q = 1. On pose
X
Mp (u) = supfj
1 j n
uj vj j; kvkq
1g
2. Montrer que Mp (u) = kukp , 8u 2 Kn . En déduire que k kp est une norme.
Exercise 2 Soit K un espace compact. On désigne par CK (K) l’ensemble des
fonctions continues sur K à valeurs dans K. On pose, pour f 2 CK (K), kf k1
= sup jf (x)j : Montrer que cela dé…nit une norme sur CK (K).
x2K
R1
Sur CK ([0; 1]) on considère également kf k1 = 0 f (x) dx: Véri…er que k k1
est une norme.
Montrer que les normes k k1 et k k1 sont comparables mais non équivalentes.
Exercise 3 i) Montrer que Kn , n
1 entier est un espace de Banach.
ii) Montrer que l’espace CK (K) de l’exemple précédent est un espace de Banach
pour la norme k k1 .
Exercise 4 Soit K une partie compacte de Rn . Montrer que l’ensemble des
fonctions polynomiales à n variables est dense dans C(K; R).
Exercise 5 On désigne par l1 l’ensemble des suites bornées de nombres réels.
Si x 2 l1 on pose kxk1 = sup jxj j :
j2N
1
i) Montrer que l1 est un espace de Banach.
ii) On désigne par c0 l’ensemble des suites de nombres réels convergeant vers 0.
Montrer que c0 est un sous-espace vectoriel fermé de l1 .
Pour p réel, p
1, on P
désigne par lp l’ensemble des suites de nombres réels
p
fxj gj2N telles que
jxj j < +1.
j2N
iii) Montrer que l’égalité
0
11=p
X
p
kxkp = @
jxj j A
j2N
dé…nit une norme sur lp .
iv) Montrer que lp est un espace de Banach.
Exercise 6 Dans C ([ 1; 1]) considérons les ensembles U1 et U2 constitués de
fonctions paires et impaires dans C ([ 1; 1]), respectivement.
i) Montrer que U1 et U2 sont des sous espaces et que U1 \ U2 = f0g .
ii) Montrer que tout f 2 C ([ 1; 1]) peut être écrit sous la forme f = f1 + f2 ,
où f1 2 U1 et f2 2 U2 et que cette décomposition est unique.
Exercise 7 Dans l1 , l’espace vectoriel des suites bornées, considérons les ensembles U1 et U2 ; où U1 dénote l’ensemble des suites avec seulement un nombre
…ni d’éléments di¤ érents de 0.
i) U1 et/ou U2 sont-ils des sous-espaces fermés de l1 ?
ii) U1 et/ou U2 sont-ils de dimension …nie?
Exercise 8 Sur l’espace Rn , on considère les trois normes suivantes:
kxk1 =
n
X
k=1
jxk j ;
kxk2 =
n
X
k=1
2
jxk j
!1=2
;
kxk1 = max jxk j ;
k=1;:::;n
a) Véri…er qu’il s’agit bien de normes.
b) Montrer que ces normes sont equivalentes et déterminer les constantes d’
equivalence entre ces normes.
Exercise 9 Soit (E; k:k) un espace vectoriel normé. Montrer que l’adhérence
de la boule ouverte B(x; r) de centre x et de rayon r est la boule fermée de centre
x et de rayon r.
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Exercise 10 On munit l’espace E des fonctions réelles de classe C 1 (c’esta-dire dérivables et à dérivée continue) sur l’intervalle [0; 1] de la norme
kxk = jx (0)j + sup jx0 (t)j :
t2[0;1]
Véri…er qu’il s’agit bien d’une norme et montrer que (E; k:k) est complet (c’est
à dire que (E; k:k) est de Banach).
Exercise 11 Montrer qu’un sous espace fermé d’un espace de Banach est lui
même un espace de Banach.
Exercise 12 Montrer que si p
q
1, alors lq
lp .
Exercise 13 Montrer que si p
intervalle …ni [a; b].
q
1, alors Lp ([a; b])
Lq ([a; b]) pour tout
Exercise 14 Démontrer que pour p 6= q aucun espace Lp (0; 1) n’est un sousespace de Lq (0; 1).
Exercise 15 Soit 0 <
. Pour quels valeurs de p la fonction f (x) =
1= x + x appartient à Lp (0; 1).
Exercise 16 Montrer que l1 est un espace de Banach.
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