Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique Département de Mathématiques 1ere Année Master MCO Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I Responsable : Sidi Mohamed Bahri Feuille d’exercices N 2 (31 Octobre 2016) Opérateurs Linéaires Bornés Exercise 1 Soit T un opérateur linéaire d’un espace normé X dans un espace normé Y . Montrer que Im T est un sous espace de Y . Montrer que le noyau (ou espace nul) ker T est un sous espace de X. Si T est borné, est-il vrais que Im T et/ou ker T est fermé? Exercise 2 Dans l’espace de Banach lp ; 1 (xn ) convergente vers un élément x, où p 1; nous considérons la suite xn = (xn1 ; xn2 ; : : :) et xn = (x1 ; x2 ; : : :) : Montrer que si xn ! x dans lp ; alors xnk ! xk pour tout k 2 N: Si xnk ! xk pour tout k 2 N, est-il vrais que xn ! x dans lp ? Exercise 3 Soit T une application linéaire de Rm dans Rn , les deux munis d’une 2-norme. Soit (aij ) la matrice n m corréspondante à T. Montrer que T est un opérateur linéaire avec XX 2 kT k a2ij : i j Exercise 4 Soit T un opérateur linéaire d’un espace normé X dans un espace normé Y et supposons X de dimension …nie. Montrer que T doit être borné. Exercise 5 Soit T un opérateur linéaire d’un espace vectoriel de dimension …nie dans lui même. Montrer que T est injectif si, et seulement si, T est surjectif. Exercise 6 Soit T une application linéaire de C 1 (R) dans lui même dé…nie par T f = f 0 : Montrer que T est surjectif. T est-il injectif ? 1