Trigonométrie I) Rappels II) Cosinus, sinus et tangente d`un angle aigu

Chapitre 15
3
Trigonométrie
I) Rappels
Définition
Un angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre 0◦ et 90◦ .
C’est-à-dire, si b
a est un angle aigu alors
0◦ < b
a < 90◦
angles aigus
Remarque
Un triangle rectangle possède :
+ un angle droit ;
+ deux angles aigus.
angle droit
Définition
C
\
+ côté opposé à l’angle ABC
hypoténuse
\
ou + côté adjacent à l’angle ACB
\
angle ACB
\
angle ABC
A
B
\
+ côté opposé à l’angle ACB
\
ou + côté adjacent à l’angle ABC
II) Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Définition (formules de trigonométrie)
Dans un triangle rectangle :
+ le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient :
longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l’hypoténuse
+ le sinus d’un angle aigu est égal au quotient :
longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l’hypoténuse
+ la tangente d’un angle aigu est égale au quotient :
longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Remarque
+ Pour utiliser les formules de trigonométrie, il
faut se situer dans un triangle rectangle.
+ Pour utiliser les formules de trigonométrie, il
faut que toutes les longueurs soient exprimées
dans la même unité.
+ Dans un triangle rectangle, le cosinus, le sinus
et la tangente d’un angle aigu ne dépendent que
de la mesure de cet angle aigu (et pas des longueurs des côtés de ce triangle).
4
Exemple
Dans le triangle ABC rectangle en A :
C
hypoténuse
\=
cos ABC
AB
BC
=
côté adjacent à l’angle
hypoténuse
\=
sin ABC
AC
BC
=
côté opposé à l’angle
hypoténuse
\=
tan ABC
AC
AB
=
côté opposé à l’angle
côté adjacent à l’angle
côté opposé à
\
l’angle ABC
\
angle ABC
A
B
côté adjacent à
\
l’angle ABC
Propriété
b est un angle aigu alors :
Si A
b<1
0 < sin A
b<1
0 < cos A
b
0 < tan A
III) Applications
Remarque

Avant d’utiliser la calculatrice en trigonométrie,
penser à vérifier qu’elle est réglée en mode « degré ».
1) Calcul de la longueur d’un côté d’un triangle rectangle
K
Application 1
IJK est un triangle rectangle en I tel que :
[ = 32◦ .
KJ = 7,5 cm et IJK
7,5
c
m
Calculer la longueur IJ (donner le résultat arrondi
au mm près).
32◦
I
Application 2
BOL est un triangle rectangle en O tel que :
[ = 68◦ .
OL = 8 cm et OBL
J
?
?
B
68
L
◦
Calculer la longueur BL (donner le résultat arrondi
au mm près).
8 cm
O
5
U
Application 3
U ST est un triangle rectangle en S tel que :
[
U S = 35 mm et U
T S = 48◦ .
35 mm
Calculer la longueur ST (donner le résultat arrondi
au mm près).
48◦
T
S
?
2) Calcul de la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle
Application 4
E
2 cm
EF G est un triangle rectangle en E tel que :
EF = 2 cm et F G = 6,5 cm.
\ (donner le résulCalculer la mesure de l’angle EGF
tat arrondi au degré près).
?
F
G
6,5 cm
O
Application 5
ORB est un triangle rectangle en B tel que :
OR = 7 cm et OB = 2,8 cm.
?
7c
m
2,8 cm
\ (donner le résulCalculer la mesure de l’angle BOR
tat arrondi au dixième de degré près).
B
R
P
Application 6
ZIP est un triangle rectangle en Z tel que :
IZ = 5,8 cm et P Z = 4,2 cm.
[ (donner le résultat
Calculer la mesure de l’angle ZIP
arrondi au degré près).
4,2 cm
?
I
5,8 cm
Z
IV) Relations trigonométriques
Propriété
Application 7
b est un angle aigu alors
Si A
b est un angle aigu dont le cosinus est égal à 0,8.
B
b déterminer la
Sans calculer la valeur de l’angle B,
b
valeur exacte du sinus et de la tangente de l’angle B.
2 2
b + sin A
b =1
cos A
et
b
b = sin A
tan A
b
cos A
Remarque
2
b est une écriture simplifiée de sin A
b
sin2 A
et
2
b est une écriture simplifiée de cos A
b .
cos2 A
La première relation trigonométrique peut aussi
s’écrire :
b + sin2 A
b=1
cos2 A