Feuille d`exercices 5

Université Rennes 1, Année 2015-2016
Master 1 Math., ACGA TD 2
Feuille d'exercices 5
Exercice 1 Soit A un anneau dont le nilradical est nul. Soit p un idéal premier minimal de
A. Montrer que Ap est un corps.
Exercice 2 Un espace topologique X s'appelle irreductible, si X 6= ∅ et si tout pair d'ouverts
non vide a une intersection non vide, c'est-à-dire, tout ouvert non vide est dense dans X . Soit
A un anneau. Montrer que Spec(A) est irreductible si et seulement si, le nilradical N (A) est
un idéal premier.
Exercice 3 Soit X un espace topologique. Montrer:
1. Si Y est un sous-espace irréductible de X , l'adherence Y de Y dans X est irréductible.
2. Tout sous-espace irréductible de X est contenu dans un sous-espace irréductible maximal de
X.
3. Les sous-espaces irréductibles maximals de X sont fermés et ils couvrent X . Ils sont appelés
les components irréductibles de X . Quels sont les components irréductibles d'un espace de
Hausdor?
4. Soit A un anneau et X = Spec(A). Les components irréductibles de X sont les ensembles
V (p) où p est un idéal premier minimal de A.
Exercice 4 Soit k un corps et soit A une k-algèbre de type nie. Calculer les components
irréductibles de Spec(A) dans les cas suivants:
1. A = k[X, Y ]/(X 2 )
2. A = k[X, Y ]/(Y 3 − X 2 )
3. A = k[X, Y ]/(XY ).
Exercice 5 Soit k un corps et soit A une k-algèbre de type nie. Calculer l'entier d et le
morphisme ϕ : k[X1 , ..., Xd ] → A du lemme de normalisation de Noether dans les trois cas du
exercice 4.
Exercice 6 Soit f ∈ C[X, Y ] un polynôme. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
1. Pour tout a ∈ C, f (a, a) = f (a, −a) = 0
2. f ∈ (X 2 − Y 2 ).
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