Td2 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 2
M1, Algèbre
Semestre 2
√
1 + i 19
Exercice 1 L’objectif de cette question est de montrer que Z[ξ] := {a + bξ | (a, b) ∈ Z } où ξ =
2
est un anneau principal qui n’est pas euclidien. On aura besoin de la notion suivante. Une norme de
Dedekind-Hasse sur un anneau intègre A est une application N : A −→ N telle que
2
∗ N (x) = 0 si et seulement si x = 0.
∗ Si x, y ∈ A\{0} alors y | x ou il existe (s, t) ∈ A tel que
0 < N (sx − ty) < N (y).
1) Soit A un anneau euclidien qui n’est pas un corps. Montrer qu’il existe un élément y ∈ A tel que
(a) y =
6 0 et y ∈
/ A∗
(b) Pour tout a ∈ A, il existe q ∈ A et r ∈ A∗ ∪ {0} tel que a = qy + r.
[ On prendra un élément minimal de A\A∗ ∪ {0}. ]
2) Montrer que si A est intègre et si A possède une norme de Dedekind-Hasse alors A est principal.
3) On définit N : Q[ξ] −→ N par N (a + bξ) = a2 + ab + 5b2 .
(a) Montrer que N (xy) = N (x)N (y) pour tout x, y ∈ Q[ξ].
(b) Déterminer l’ensemble des inversibles de Z[ξ].
(c) Montrer que 2 et 3 sont irréductibles dans Z[ξ].
(d) En utilisant les éléments x = 2 et x = ξ, montrer qu’il ne peut pas y avoir d’élément dans Z[ξ]
satisfaisant les conditions 1)(a) et 1)(b).
(e) En déduire que Z[ξ] n’est pas euclidien.
4) Dans cette question, on montre que N est un norme de Dedekind-Hasse sur Z[ξ]. Soit x, y ∈ Z[ξ]
deux éléments non nuls tels que y ne divise pas x. On doit trouver des éléments s, t ∈ Z[ξ] tels que
0 < N (sx − ty) < N (y) c’est-à-dire tels que
(?)
On pose
x
0 < N (s · ( ) − t) < 1.
y
√
x
a + ib 19
a − b 2b
:=
=
+ ξ ∈ Q[ξ]
y
c
c
c
où pgcd(a, b, c) = 1 et c > 1.
√
(a − 1) + ib 19
(a) On suppose que c = 2. Montrer que le couple (1,
) convient.
2
√
(b) On suppose que c = 3. Montrer que a2 +19b2 = 3q+r où 1 ≤ r ≤ 2 et que le couple (a−ib 19, q)
convient.
(c) On suppose que c = 4. Ainsi a et b ne sont pas tous les deux pairs.
i. Si a et √
b sont impairs montrer qu’il existe q ∈ N tel que a2 + 19b2 = 8q + 4 et que le couple
a − ib 19
, q) convient.
(
2
√
ii. Si a ou b est pair montrer que a2 +19b2 = 4q+r avec 0 < r < 4 et que le couple (a−ib 19, q)
convient.
(d) On supppose que c ≥ 5. Puisque pgcd(a, b, c) = 1, il existe n1 , n2 , n3 ∈ Z tel que
n1 a + n2 b + n3 c = 1.
Soit (q, r) ∈ Z tel que n2 a − 19n1 b = cq + r avec |r| ≤ c/2. Montrer que le couple
√
√
(n2 + in1 19, q − in3 19)
convient.
1
(e) Conclure.
Exercice 2 (Lemme de Gauss et critère d’Eisenstein.)
1) (a) Soient (P, Q) ∈ Z[X]2 et p un nombre premier. On suppose que p divise tous les coefficients du
produit P Q. Montrer que p divise tous les coefficients de P ou tous les coefficients de Q.
(b) (Lemme de Gauss) Si P ∈ Z[X], on note c(P ) le pgcd des coeffcients de P . Montrer que
c(P Q) = c(P )c(Q) pour tout (P, Q) ∈ Z[X]2 .
2) Montrer que si P ∈ Z[X] est irréductible dans Z[X] alors P est irréductible dans Q[X].
3) (a) (critère d’Eisenstein) Soit P = an X n + . . . + a1 X + a0 ∈ Z[X]. On suppose qu’il existe un
nombre premier p tel que
(i) ∀k ∈ {0, . . . , n − 1}, p | ak
(ii) p - an
et
(iii) p2 - a0 .
Montrer que P est irréductible dans Q[X].
(b) Application : Soit p un nombre premier et Φ(X) = X p−1 + . . . + X + 1. Montrer que Φ est
irréductible dans Q[X]. [Aide : regarder XΦ(X + 1). ]
Exercice 3
1) Montrer que P = X 2 + X + 1 ∈ F2 [X] est irréductible.
2) Construire un corps à 4 éléments. On calculera la table d’addition et de multiplication.
3) Montrer que P = X 3 + X + 1 ∈ F2 [X] est irréductible.
4) Construire un corps à 8 éléments. On calculera la table d’addition et de multiplication.
Exercice 4
Compléter la table de mulitplication du corps F3 [X]/(X 2 + 1)
0
1
2
X
2X
1+X
1+2X
2+X
2+2X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
X
2X
1+X
1+2X
2+X
2+2X
2
0
2
X
0
X
2X
0
2X
1+X
0
1+X
1+2X
0
1+2X
2+X
0
2+X
2+2X
0
2+2X
Exercice 5
1. Montrer que Q = X 3 + 2X 2 + 1 est irréductible sur F3 .
On identifie le corps fini à 27 éléments avec le quotient F3 [X]/(Q). On note x la classe de X.
2. Vérifier, sans faire trop de calculs, que x engendre F∗27 .
3. Montrer que x, x3 , x9 sont les racines de Q dans F27 .
4. Soit a ∈ F27 . Résoudre l’équation w13 = a, en discutant, si besoin, selon les valeurs de a.
Exercice 6
1) Déterminer l’ensemble des polynômes irréductibles de degré plus petit que 5 dans F2 [X].
2) Déterminer l’ensemble des polynômes irréductibles de degré plus petit que 3 dans F3 [X].
2