Anneaux principaux et factoriels

Université Claude Bernard LYON 1
Préparation à l'agrégation de Mathématiques
Anneaux principaux et factoriels
Michel CRETIN
Lemme 1 Dans un anneau intègre A tout élément premier p est irréductible.
O On a p non inversible ; supposons que p = ab de sorte que par exemple p divise a ie. a = pa0 .
On a p = pa0 b d'où a0 b = 1 et b est inversible. M
Lemme 2 Soit A un anneau principal ; les conditions équivalentes suivantes :
1. p est irréductible (ie. tout diviseur de p dans A est inversible ou associé à a)
2. p est premier (ie. si p divise un produit ab d'éléments de A, p divise a ou p divise b
3. l'idéal I = (p) est maximal
O 3 ⇒ 2 Puisque tout corps est un anneau intègre.
2 ⇒ 1 Puisque (p) 6= A, p n'est pas inversible ; supposons que p = ab de sorte que par exemple
p divise a ie. a = pa0 . On a p = pa0 b d'où a0 b = 1 et b est inversible.
1 ⇒ 3 Comme p n'est pas inversible on a I 6= A. Le générateur c d'un idéal J = (c) ⊃ I = (p)
contenant I est un diviseur de p donc est inversible auquel cas J = A ou bien est associé à p
auquel cas J = I et ainsi I est maximal. M
Lemme 3 Lorque l'anneau A est factoriel un élément est premier si et seulement s'il est irréductible.
O Considérons p irréductible et supposons que p divise un produit ab ; a et b se décomposant de
manière unique à association près en un produit d'éléments irréductibles, p est nécessairement
associé à l'un de ces éléments donc divise a ou b. M
Proposition 1 Les conditions suivantes sont équivalentes.
1. A est principal
2. A est factoriel et tout idéal premier est maximal
O 1 ⇒ 2 Soit A principal ; A est évidemment noethérien de sorte que l'ensemble S des idéaux
de A dont le générateur ne se décompose pas en produit d'éléments irréductibles, s'il est non
vide, possède un élément maximal I = Aa. Le générateur a n'est donc pas irréductible et l'on a
a = xy avec x et y non inversibles et non asociés à a. On a ainsi I ⊂ Ax et I ⊂ Ay de sorte que
6=
6=
x et y sont produit d'éléments irréductibles et a = xy aussi. On a donc S = ∅.
Pour montrer "l'unicité"' de la décomposition il sut de montrer que tout élément irréductible
p de A vérie le lemme d'Euclide : supposons que p|xy mais que p 6 |x ; le pgcd de p et x vaut 1
et l'on a la formule de Bezout pu + xv = 1 d'où y = puy + vxy et comme p|xy on a bien p|y .
2 ⇒ 1 Soit P un idéal premier non nul de A ; il existe x ∈ P avec x 6= 0. Comme P 6= A, x est
non inversible, il se décompose en produit d'éléments irréductibles x = p1 · · · pr . L'idéal P étant
premier, on a pi ∈ P pour au moins un indice i, 1 ≤ i ≤ r. Mais l'idéal principal A pi est premier
donc maximal et est contenu dans P de sorte que P = A pi et ainsi P est principal.
Soit F l'ensemble des idéaux de A qui ne sont pas principaux ; si F était non vide, comme c'est
un ensemble inductif (pour la relation d'inclusion) il aurait un élément maximal I . Or I n'est
pas un idéal premier (parce que tout idéal premier est principal). Il existe donc un idéal maximal
M contenant I et M est principal : on a M = A p avec p irréductible et p 6∈ I .
Alors J = {x ∈ A/px ∈ I} est un idéal de A qui contient I ; si on avait J 6= I , J serait principal
engendré par c de sorte que I serait principal engendré par pc. Ainsi I = J et l'application
mp : x −→ px est une bijection de I dans I . Comme I 6= {0} (puisque{0} est principal !),
considérons x ∈ I \ {0} ; on a x = pk y avec k ≥ 1 (puisque I ⊂ M = (p) et p ne divise pas y
(puisque A est factoriel). Mais y ∈ I 6= {0} (puisque mp est bijective) donc y est divisible par p
Finalement F = ∅ et A est principal. M
Remarque : Si on suppose A noethérien l'utilisation du lemme de Zorn est inutile.
Lemme 4 Le groupe additif de l'anneau A des entiers d'un corps de nombres K est un groupe
abélien libre de type ni.
O K est le corps des fractions de A, c'est une extension de degré ni de Q donc K = Q[x] avec
x ∈ A d'après le théorème de l'élément prinitif (de sorte que pQ,x ∈ Z[X] puisqu'un élément de
Q qui est un entier algébrique est élément de Z) ; pour chacun des conjugués xj (1 ≤ j ≤ m,
x1 = x), soit σj : K −→ C l'unique Q-morphisme tel que σj (x) = xj . Pour tout z ∈ K , on a
m
m
P
P
z=
ζi xi−1 avec ζi ∈ Q pour 1 ≤ i ≤ m, de sorte que, pour 1 ≤ j ≤ m, on a σj (z) =
ζi xi−1
j .
i=1
i=1
Les coecients ζi , 1 ≤ i ≤ m, sont donc solutions d'un système d'équations
Q linéaires de matrice
(xi−1
)
(matrice
de
van
der
Monde)
dont
le
déterminant
est
V
=
(xi − xj ) 6= 0 est un
1≤i,j≤m
j
entier algébrique et l'on a ∆ = discrim(pQ,x ) = V 2 ∈ Z.
i<j
m S σ (z)
P
i,j j
; les coecients Si,j (1 ≤ i, j ≤ m)
V
j=1
étant des entiers algébriques (ce sont des cofacteurs de la matrice (xji−1 )1≤i,j≤m ). On a donc,
m
P
pour 1 ≤ i ≤ m, ∆ ζi = V
Si,j σj (z).
Les formules de Cramer donnent alors ζi =
j=1
Enn, si on a z ∈ A il en résulte que, pour 1 ≤ i ≤ m, ni = ∆ ζi ∈ Q est un entier algébrique
m
P
donc (Z étant intégralement clos) on a ni ∈ Z de sorte que l'on obtient z =
ni ∆−1 xi−1 . Ainsi
A est un sous-groupe de
m
L
i=1
Z ∆−1 xi−1
donc est un groupe abélien libre de type ni. M
i=1
Proposition 2 Un anneau A d'entiers algébriques qui est factoriel est principal
O Soit P un idéal premier non nul de A ; pour x ∈ P \ {0} on a pQ,x = xr + cr−1 X r−1 + · · · +
c1 x + c0 ∈ Z[X] avec c0 6= 0. Puisque pQ,x (x) = 0 on a c0 ∈ P de sorte que P ∩ Z est un idéal
premier non nul de Z. On a donc P ∩ Z = Zp avec p premier. Alors A/P est une Fp -algèbre de
dimension nie (car A est un groupe abélien de type ni donc nie, et intègre ; c'est donc un
corps et l'idéal P est maximal. M