Algèbre Année 2010–2011 ENS Cachan Vincent Beck Caractère et caractère linéaire Exercice 1 Bidual et noyau. nulle ou tel que cark ∧ |G| = 1. Soit G un groupe fini et k un corps algébriquement clos de caractéristique b tel que γ(x) 6= 1. a) On suppose G abélien. Montrer que pour tout x 6= 1, il existe γ ∈ G b b En déduire que c’est un isomorphisme. b) En déduire un morphisme injectif de groupes de G dans G. c) Déduire de la question a que D(G) est l’intersection des noyaux des caractères linéaires de G. Exercice 2 Groupe d’ordre pq. Soient p < q deux nombres premiers distincts. On considère G un groupe non abélien d’ordre pq. a) Montrer que D(G) est l’unique q-Sylow de G. b) Déterminer le groupe des caractères linéaires de G à valeurs dans C× . c) Déterminer le nombre et les dimensions des représentations irréductibles de G sur C. Exercice 3 Groupe d’ordre p3 . Soient p un nombre premier et G un groupe non abélien d’ordre p3 . a) Montrer que D(G) = Z(G) est un sous-groupe d’ordre p de G et que G/Z(G) ≃ (Z/pZ)2 (on pourra utiliser le fait que si G est un groupe alors G/Z(G) n’est monogène et donc trivial que si G est abélien). b) Déterminer le nombre et les dimensions des représentations irréductibles de G sur C (on admettra que la dimension d’une représentation irréductible divise l’ordre du groupe). Groupe diédral. Soit n ∈ N r {0, 1, 2}. On définit Dn le groupe diédral comme le groupe des Exercice 4 isométries du plan qui conserve le polygone régulier à n sommets xk = exp(2ikπ/n). a) Montrer que 0 est fixe par toutes ces isométries. Montrer que Dn a 2n éléments. b) Construire un élément r d’ordre n dans Dn et un élément s d’ordre 2 qui n’est pas dans le sous-groupe engendré par n. Calculer srs = srs−1 . c) Calculer D(G) et G/D(G) (on distinguera suivant la parité de n). d) Montrer que les représentations irréductibles sur C de Dn sont de dimension inférieure ou égale à 2 (on pourra considérer un vecteur propre de r). e) Calculer les classes de conjugaison dans Dn . Déterminer les dimensions et le nombre de représentations irréductibles de Dn sur C. f) Déterminer une réalisation matricielle de chacune de ces représentations irréductibles. Exercice 5 Table de caractères. a) Déterminer la table de caractère de S3 . b) Soit V = Cn la représentation de Sn par permutation des coordonnées (la représentation matricielle associée étant celle donnée par les matrices de permutation). Déterminer EndSn (C). En déduire que V est somme directe de deux représentations irréductibles non isomorphe (si n > 1). Montrer que l’une de deux représentations est la représentation trivial. On appelle Ref l’autre représentation. c) Soit G un groupe fini et V une représentation irréductible de G sur C et χ un caractère linéaire de G. Montrer que χ ⊗ V est une représentation irréductible de G (voir la question b de l’exercice 9). d) Déterminer la table de caractère de S4 . e) Déterminer la table de caractère de H8 . Exercice 6 Représentation linéaire sur C. Soit G un groupe fini. Soit χ un caractère de G sur C. On note V la représentation associée. a) Montrer que χ(g −1 ) = χ(g). b) Montrer que χ(g) = dim V si et seulement si ρV (g) = idV . c) Plus généralement, montrer que ρV (g) est une homothétie si et seulement si |χV (g)| = 1. Exercice 7 Centre et lemme de Schur. Soit G un groupe fini et V une représentation irréductible de G sur un corps algébriquement clos. a) Montrer que tout élément du centre de G agit sur V comme une homothétie. b) En déduire que si le centre de G n’est pas cyclique, la représentation V n’est pas fidèle (c’est-à-dire ρV n’est pas injectif). Module de permutation. Soit X un G-ensemble (c’est-à-dire un ensemble sur lequel G agit). Exercice 8 a) Montrer que G agit linéairement sur l’espace vectoriel F (X, k) des fonctions de X dans k (si f : X → k et g ∈ G, on pose (g · f )(x) = f (g −1 x)). b) Montrer que le sous-espace vectoriel kX des fonctions à support fini est un sous-G-module de F (X, k) dont une base est (δx )x∈X où δx (y) = δx,y pour tout y ∈ Y. c) Vérifier gδx = δgx pour tous x ∈ X et g ∈ G. On a construit ainsi à partir de X un espace vectoriel dont une base est formée « des éléments de X » et l’action de G sur kX s’obtient par linéarisation de celle de G sur X. On dit que kX est le G-module de permutation associé à X. d) Calculer k[X]G . e) Calculer χk[X] (g) pour tout g ∈ G. f) En déduire la formule de Burnside r= 1 P g |X | |G| g∈G où Xg = {x ∈ X, gx = x} et r est le nombre d’orbites de X sous G. Pour les questions g à k, on suppose |X| > 2 et |X/G| = 1. g) Montrer qu’il existe g ∈ G sans point fixe. h) Montrer les équivalence des propriétés suivantes. (i) L’action de G sur X est doublement transitive c’est-à-dire que pour tous x 6= y, x′ 6= y ′ , il existe g ∈ G tel que gx = x′ et gy = y ′ . (ii) L’action de G sur X × X a deux orbites : la diagonale et son complémentaire. P g2 (iii) |X | = 2|G|. g∈G i) Montrer que k[X]G admet un unique supplémentaire V. Déterminer V. j) Montrer que si les propriétés de la question h sont vérifiées alors V est un G-module irréductible. En déduire les sous-G-modules de k[X] (on pourra utiliser l’exercice 9). k) Montrer que si V est un G-module irréductible et k est algébriquement clos alors les propriétés de la question h sont vérifiées (on pourra utiliser l’exercice 9). l) En déduire que si k est un corps de caractéristique nulle alors le Sn -module k n obtenu par permutation des coordonnées (avec n > 2) se décompose en somme directe de deux représentations irréductibles non isomorphes et dont l’une est la représentation triviale (l’autre représentation s’appelle la représentation standard). Irréductibilité. Soit k un corps de caractéristique nulle et G un groupe fini. Exercice 9 a) Soit χ un caractère de G. Montrer que hχ, χiG est une somme de carrés d’entiers. b) En déduire que si hχ, χiG = 1 alors χ est irréductible. c) On suppose de plus que k est algébriquement clos. Montrer que si χ est irréductible alors hχ, χiG = 1.