Les formules de trigonométrie

Les formules de trigonométrie
Les formules à connaître absolument par coeur :
cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b
cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b
Et
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a b) = sin a cos b cos a sin b
co:co si:si
co:co + si:si
L1
L2
si:co + co:si
si:co co:si
L3
L4
A l’aide de ces seules formules,
on retrouve toutes les autres en moins de 2 minutes.
Voici les techniques classiques exploitant les formules trigonométriques :
Passage de Produit en Somme.
Passage de Somme en Produit.
Expression en fonction de tan x2 .
1
Passage de Produit en Somme.
Intérêt : Il est important d’avoir des sommes à la place de produit, si l’on veut intégrer ou sommer
des expressions.
Exemples :
On utilise L1 et L2 car elles font apparaitre co:co
cos x cos y = ?
=
1
[cos (x + y) + cos (x
2
= 12 [ cos (2x + 3x) + cos (2x
= 21 [cos x
cos (2x) sin
y
2
= sin
1
(L1 + L2 )
2
L1
On utilise L1 et L2 car elles font apparaitre si:si
sin (2x) sin (3x) = ?
sin (2x) sin (3x) =
y)]
3x)]
L1
1
2
( L 1 + L2 )
cos 5x]
y
cos (2x) =?
2
On utilise L3 et L4 car elles font apparaitre si:co
Attention à bien identi…er a et b
i
y
1h
y
y
1
=
sin
+ 2x + sin
2x
L3
(L3 + L4 )
2
2
2
2
2
Si on utilise les méthodes précédentes avec a = b, on obtient des égalités très utiles.
cos (2x) sin
! cos (2x) = cos (x + x) = cos2 x
! cos (x) = cos
! sin (2x) = ::::
x
2
+
x
2
sin2 x
= ::::::
et sin (x) = ::::
=
cos2 x+sin2 x=1
2 cos2 x
1
2
Passage de Somme en Produit.
Intérêt : Il est important d’avoir des sommes à la place de produit, si l’on veut étudier le signe d’une
expression ou la factoriser.
Rappel : Avant de présenter des exemples, il est utile de voir
p=a+b
,
q=a b
a=
b=
p+q
2
p q
2
Exemples :
cos p + cos q = cos (a + b) + cos (a b)
On veut utiliser les formules connues
donc on a posé p = a + b et q = a b
expression de la forme co:co si:si + co:co + si:si
p+q
p q
= 2 cos a cos b = 2 cos
cos
2
2
sin p
sin q = sin (a + b) sin (a b)
On veut utiliser les formules connues
donc on a posé p = a + b et q = a b
expression de la forme si:co + co:si (si:co
p+q
p q
= 2 cos a sin b = 2 cos
sin
2
2
Ecrire les deux autres formules cos p
co:si)
cos q et sin p + sin q en procédant de même.
Si on utilise les méthodes précédentes avec 1 = cos 0 = sin 2 , on obtient des égalités très utiles.
! 1
cos x = cos 0
cos x = cos (a + b)
cos (a
b) =
=
2 sin a sin b
2 sin
De même pour 1 + cos x = :::
! 1 + sin x = sin
3
2
+ sin x = :::::
et 1
sin x = sin
2
0+x
2
sin
0 x
2
= 2 sin2
x
2
sin x = :::::
Expression en fonction de tangente.
Objectif : Exprimer cos x; sin x et tan x en fonction de tan x2 :
Intérêt : Cela peut servir à calculer par exemple des primitives de fractions rationnelles avec des sinus
et des cosinus.
sin x
Rappel : La fonction tangente est dé…nie par tan : D ! R ; x 7! cos
: Précisez D...
x
Elle est dé…nie, continue, indé…niment dérivable sur les intervalles de D et on a
0
8 x 2 D; (tan) (x) =
sin x
cos x
0
=
cos2 x + sin2 x
1
=
= 1 + tan2 x:
2
cos x
cos2 x
Cette dérivée est très importante car elle permet de ”voir”que tan est strictement croissante ( par
intervalle ) et elle fait le lien entre cos et tan :
Exemples : Comme on souhaite l’exprimer en fonction de tan x2 ; on passe à l’angle moitié, i.e.x = x2 + x2
cos x = cos
x x
+
2 2
sin2
x
2
= cos2
x
2
on force l’apparition de tan x2 au niveau du sinus
= cos2
x
2
= cos2
x
2
De même,
x x
sin x = sin
+
2 2
cos2
1
x
2
= 2 sin
x
2
tan2
cos
tan2
x
2
x
2
=
1 tan2 ( x2 )
2 x
Rappel 1+tan ( 2 )
x
2
on force l’apparition de tan x2 au niveau du sinus
= 2 tan
x
2
cos2
x
2
2 tan( x2 )
=
2 x
Rappel 1+tan ( 2 )
2 tan( x2 )
tan x =
sin x
=
cos x
1+tan2 ( x2 )
1 tan2 ( x2 )
=
1+tan2 ( x2 )
4
2 tan2 x2
1 tan2 x2
Quelques petits exercices d’application
Voici quelques exercices d’application simples à faire.
Dans un premier temps, penser à bien identi…er la démarche qui va permettre de résoudre ces
exercices puis ensuite seulement mettre en oeuvre cette démarche.
1. Préciser les formules de trigonométrie classiques : cos
2
x ; sin
2
2. Linéariser sin3 (x) ; cos3 (x).
3. Calculer les intégrales suivantes
Z
2
2
cos t dt et
0
Z
cos 2t: sin t dt
0
4. Etudier la fonction suivante
f : [0; ] ! R
t 7 ! cos (2t)
2 sin (t)
x ; cos
2
+ x ; sin
2
+x :
Pour aller plus loin.
Pour s’entretenir de façon ludique et sans trop se lasser, tout en ré‡échissant de façon di¤érente, on
peut pratiquer :
! Les annales du concours de jeux mathématiques et logiques.
L’adresse la plus claire ( avec des annales gratuites ) est le site Suisse de jeux mathématiques
(FSJM) à la rubrique : Enoncés.
http://homepage.hispeed.ch/FSJM/
! Les annales du concours kangourous des mathématiques.
Voir l’adresse
www.mathkang.org/concours/index.html
Ces concours comptent en général plusieurs niveaux : le kangourou de midi, étudiant, junior, cadet...
Même si cela peut sembler peu grati…ant, les énoncés de petit niveaux ne sont pas nécessairement à
négliger. Ils sont parfois évidents, parfois simples, mais ..... et même parfois pas simples, donc intéressant
à titre d’entraînement.