Complément 4.2 : Construction de la base standard

PHY 430 : PHYSIQUE QUANTIQUE AVANCÉE
Promotion 2014
Complément 4.2 : Construction de la base standard
On appelle Ej,m les espaces propres communs aux observables Jˆ2 et Jˆz , associés aux valeurs propres
respectives j(j + 1)~2 et m~. Considérons l’espace Ej,−j , correspondant au cas m = −j. Si cet espace
est non vide, construisons une base hilbertienne que l’on appellera {|n, j, −ji}, où n est un indice
variant de 1 à la dimension (éventuellement infinie) de Ej,−j . A partir de cette base, construisons les
vecteurs notés |n, j, mi définis par la relation de récurrence
Jˆ+ |n, j, mi
|n, j, m + 1i = p
j(j + 1) − m(m + 1)~
(1)
En faisant varier l’indice m de −j à j, nous allons montrer par récurrence que, pour j et m
fixés, {|n, j, mi} constitue une base hilbertienne de chacun des sous-espaces Ej,m . Ce résultat est par
définition vrai pour m = −j. Supposons donc que le résultat soit vérifié pour m, et cherchons à le
montrer pour m + 1. Remarquons tout d’abord que ces vecteurs forment une famille orthonormée. En
effet,
hn, j, m|Jˆ− Jˆ+ |n0 , j, mi
hn, j, m + 1|n0 , j, m + 1i =
(2)
(j(j + 1) − m(m + 1))~2
Or, nous avons vu en amphi que Jˆ− Jˆ+ |n0 , j, mi = (j(j + 1) − m(m + 1))~2 |n0 , j, mi. Donc
hn, j, m + 1|n0 , j, m + 1i = hn, j, m|n0 , j, mi = δn,n0
(3)
Montrons maintenant que ces vecteurs linéairement indépendants engendrent bien l’ensemble de
l’espace Ej,m+1 . Pour cela, considérons un état |ψi quelconque dans Ej,m+1 . D’après ce qui a été
démontré en amphi, Jˆ− |ψi appartient alors à l’espace Ej,m et peut donc s’écrire comme une combinaison
linéaire des vecteurs de base de cet espace :
X
Jˆ− |ψi =
cn |n, j, mi
(4)
n
En faisant agir Jˆ+ sur cet état, on obtient
X
Xp
Jˆ+ Jˆ− |ψi =
cn Jˆ+ |n, j, mi =
j(j + 1) − m(m + 1)~cn |n, j, m + 1i
n
(5)
n
ˆ Comme |ψi ∈ Ej,m+1 , l’action de ce produit d’opérateur
Or nous savons que Jˆ+ Jˆ− = Jˆ2 − Jˆz (Jˆz − ~I).
sur |ψi peut être directement remplacée par le scalaire (j(j + 1) − (m + 1)(m + 1 − 1))~2 = (j(j + 1) −
m(m + 1))~2 . On obtient donc
|ψi =
X
n
cn
p
|n, j, m + 1i
j(j + 1) − m(m + 1)~
(6)
d’où l’on peut déduire que {|n, j, m + 1i} constitue bien une base hilbertienne de Ej,m+1 . Ceci conclut
la démonstration par récurrence.
En résumé, nous avons montré que pour une valeur donnée de j, les espaces Ej,m ont tous la même
dimension. A l’aide d’une base donnée {|n, j, −ji} de Ej,j , l’éq. 1 permet de construire une base de
chacun des espaces Ej,m . En faisant varier les trois indices, on obtient ainsi la base {|n, j, mi} - dite
base standard - de l’ensemble de l’espace de Hilbert. Notons que cette démonstration n’indique rien
sur la dimension de l’espace Ej,j qui pourra, selon la valeur de j et le problème considéré, être nulle
(valeur de j interdite), égale à 1, finie ou infinie.