Voici la marche à suivre pour étudier une fonction f définie sur un

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STI - 1N6 - FONCTION DERIVEE ET APPLICATIONS
FICHE DE COURS
Voici la marche à suivre pour étudier une fonction f définie sur un intervalle [a ; b]. Le but ultime de cette
étude est le tracé de la courbe C représentant f, avec un maximum de renseignements.
1. Calcul de la dérivée de f
• En essayant de la mettre sous forme factorisée, ou sous la forme
P(x)
où P et Q sont factorisés.
Q(x)
• On évitera de développer, en particulier les dénominateurs,
surtout si ce sont des « carrés ».
2. Etude du signe de f’
• Si f est sous la forme ax + b Æ Petit tableau de signe.
• Si f est sous la forme ax² + bx + c Æ calcul du discriminant ∆ et
interprétation.
• Si f est un quotient, on étudie le signe du numérateur et du
dénominateur. En particulier, on se souviendra que si l’un des
deux est un carré, il est toujours positif.
• Si f contient des fonctions cos et/ou sin, on sera ramené à la
résolution d’inéquations trigonométriques (le cercle peut être très
utile) où l’on oubliera pas que cos x et sin x sont toujours
compris entre -1 et 1.
3. Tableau de variation de f
• On traduit l’étude du signe de la dérivée : f’(x) > 0 ⇒ f(x)
croissante et f’(x) < 0 ⇒ f(x) décroissante.
• Quand f’(x) = 0, cela signifie que C admet une tangente
horizontale (maximum, minimum ou point d’inflexion).
• Ne pas oublier de calculer les valeurs de f aux points
remarquables (bornes de l’ensemble de définition, maximum…)
4. Recherche des points d’intersection de la courbe C avec
les axes (Ox) et (Oy)
• Intersection de C avec (Ox) : On cherche le(les) nombres x0 tel
que f(x0) = 0
Æ C coupe (Ox) au(x) point(s) de coordonnées (x0 ; 0)
• Intersection de C avec (Oy) : On calcule f(0)
Æ C coupe (Oy) au point de coordonnées (0 ; f(0))
Exemple :
Soit f définie sur [-2 ; 5] par :
f(x) = x² – 2x – 3
1. f’(x) = 2x – 2
2. Tableau de signe de f’ :
x
-2
f’(x)
–
1
0
3. Avant de faire le tableau, calculons :
f(-2) = 5 ; f(1) = -4 ; f(5) = 12
x
-2
1
5
5
12
f(x)
-4
Le minimum de f sur [-2 ; 5] est -4 et il st
atteint pour x = 1.
4.
• Intersection avec (Ox) :
f(x) = 0 ⇔ x² – 2x – 3 = 0
∆ = (-2)² – 4 × 1 × (-3) = 16 = 4²
-(-2) – 4 2 – 4 -2
x1 =
=
=
= -1
2×1
2
2
-(-2) + 4 2 + 4 6
x2 =
=
= =3
2×1
2
2
Æ donc C coupe (Ox) aux points A (-1 ; 0)
et B (3 ; 0)
• Intersection avec (Oy) : f(0) = -3
Æ donc C coupe (Oy) au point de
coordonnées C (0 ; -3)
5. En A : f’(-1) = -4 Æ y = -4x – 4
En B : f’(3) = 4 Æ y = 4x – 12
En C : f’(0) = -2 Æ y = -2x – 3
6.
5. Tangentes à la courbe aux points remarquables
• On connaît déjà les tangentes horizontales (voir 2. et 3.)
• On détermine la (les) tangente(s) au(x) point(s) d’intersection
avec les axes, déterminé(s) dans le 4. en utilisant la formule :
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
6. Construction de la courbe
• Tracer les deux axes, en respectant bien l’échelle donnée dans
l’énoncé, et en restreignant l’axe (Ox) à l’ensemble de définition
de la fonction.
• Placer les points d’intersection avec les axes, les maximums,
minimums, points d’inflexion.
• Construire les tangentes (inutile de tracer « entièrement » la
droite, se contenter du petit morceau autour du point de
tangence).
• Construire la courbe en lissant autant que possible, et évitant les
points anguleux.
5
+
A
B
C