1ES DES SAVOIR-FAIRE CORRECTION exercices 40, 41, 42, 50

1ES
DES SAVOIR-FAIRE
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f(x) =
CORRECTION exercices 40, 41, 42, 50 page 73
4 x 1
définie sur ]-∞ ; 3[.
x3
u
La fonction f est de la forme
, f est dérivable comme le quotient de deux fonctions dérivables sur ]-∞ ; 3[.
v
u
u'v  uv'
Et sa dérivée est dela forme : f ’ = ( ) ‘ =
v
v2
Avec
u (x) = 4x + 1
v (x) = x – 3
u ‘ (x) = 4
v’(x) = 1

f ’(x) =

4(x  3)  4x 11
13
13

2
2  2
(x  3)
(x  3)
x  6x  9
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P : y = -x2 + 4x – 2
P’ : y = x2 – 8x + 16
A)
Si les paraboles P et P’ se coupent en un point ( ou
plusieurs) alors l’abscisse de ce point (ces points) est
solution de l’équation : -x2 +
4x – 2 = x2 – 8x + 16
 -2x2 + 12x – 18 = 0
 -2(x2 - 6x + 9) = 0
 x2 - 6x + 9 =0
Calcul du discriminant : ∆ = b2 – 4ac = 36 – 4*1*9 = 0
Il y a une unique solution : x =
b 6
= 3
2a 2
Il y a donc un unique point d’intersection entre P et P’ et
son abscisse est : x = 3
Son ordonnée est :
4*3 –2=-9 + 12 -2 = 1
y = -x2 + 4x – 2= -32 +
Donc P et P’ se coupent en (1 ; 3)
B) On pose f(x) = -x2 + 4x – 2 et g(x) = x2 – 8x + 16
La tangente à P au point d’intersection d’abscisse 3 a pour équation y = f ‘ (3) (x-3) + f(3)
La tangente à P’ au point d’intersection d’abscisse 3 a pour équation y = g‘ (3) (x-3) + g(3)
f(3) = 1
g(3) = 1
f ’(x) = -2x +4
f ‘ (3) = -2* 3 + 4 = -6 + 4 = -2
g ’(x) = 2x – 8
g ‘ (3) = 2*3 – 8 = -2
y = f ‘ (3) (x-3) + f(3)
y = g ‘ (3) (x-3) + g(3)
y = -2(x-3) + 1
y = -2(x-3) + 1
y = -2x +7
y = -2x +7
Les deux paraboles ont donc une tangente commune : y = -2x +7
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Soient les fonctions définies sur ] 1 ; +∞[
3x  2
4x2  5
et g(x) =
x 1
x 1
4x 2  8x  5
5
on a : f ’(x) =
et g’(x) =
(x 1) 2
(x 1)2
f(x) =
 Pour démontrer
 qu’il existe un point où les courbes Cf et
Cg admettent des tangentes parallèles, on cherche le
coefficient directeur des tangentes à Cf et des tangentes
à Cget pour quelles valeurs
de x, elles sont égales.

4x 2  8x  5
5
Pour cela on résout :
=
(x 1) 2
(x 1)2
 -5 = 4x2 – 8x -5
 0 = 4x2 – 8x
 0 = 4x(x – 2)
 x =2 
soit x = 0 soit
Or on étudie ses fonctions sur ] 1 ; +∞[, alors on ne
retient que la solution x = 2.
Donc les courbes ont des tangentes parallèles au point
d’abscisse 2.