Classe de seconde 1 Lundi 2 juin 2014 Dernier devoir surveillé de

Classe de seconde 1
Lundi 2 juin 2014
Dernier devoir surveillé de mathématiques
Exercice 1 (7 points)
Sur le tétraèdre
en annexe on a construit sur la face
, sur la face
et sur
la face
. Les constructions des questions 1 à 5 se feront en bleu, celles des questions 6
et 7 en rouge
1. Justifiez que les droites ( ) et ( ) sont sécantes. On nomme
leur point
d’intersection. Construire . Quelle est l’intersection de la droite ( ) et du plan
(
) ? (On justifiera sa réponse).
2. Construire l’intersection de ( ) et de (
) en justifiant sa construction.
3. Les droites ( ) et ( ) sont-elles sécantes ?
4. Les droites ( ) et ( ) sont-elles sécantes ?
).
5. Construire en la justifiant l’intersection de la droite ( ) et du plan (
6. Quelle est l’intersection du plan ( ) et du plan (
) (justifier) ? La construire.
7. Construire sans justification l’intersection du plan ( ) et des 4 faces du tétraèdre.
Exercice 2 (8 points)
1. Rappeler la définition d’une fonction homographique. Les fonctions
,
,
sont-elles homographiques ?
la fonction définie par ( ) =
. Déterminer son ensemble de
2. On appelle
définition.
3. Déterminer l’image de −5 et l’antécédent de 2 par .
4. On appelle la courbe de dans le plan muni d’un repère orthonormé ( , , ).
Déterminer les points d’intersection de avec les axes du repère.
5. Étudier le signe de ( ) suivant les valeurs de .
6. Vérifier que l’on a, pour tout ≠ −3, ( ) = 1 +
. En déduire le tableau de
variations de .
7. Tracer la courbe de , ainsi que la droite d’équation $ =
8. Déduire de la question 7 la résolution graphique de l’équation
= .
9. Montrer que l’équation
=
solutions exactes de l’équation
est équivalente à ( + 1)% = 5. En déduire les
= .
Exercice 3 (5 points)
Les questions sont indépendantes. Répondre par vrai ou faux en justifiant sa réponse.
1. Deux événements qui ne sont pas incompatibles ne peuvent pas être contraires.
2. On jette 2 fois de suite une pièce parfaite à pile ou face. La probabilité d’obtenir des
faces différentes est .
3.
& '(
<
& '(
.
%
4. On jette 2 fois un dé parfait à 6 faces. La probabilité d’obtenir au moins un 6 est de *
5. On suppose qu’il naît autant de garçons que de filles. Pour une famille de 3 enfants,
la probabilité qu’ils soient tous du même sexe est de .
NOM :
Classe de seconde 1
Lundi 2 juin 2014
Dernier devoir surveillé de mathématiques
Exercice 1 (7 points)
Sur le tétraèdre
en annexe on a construit sur la face
, sur la face
et sur
la face
. Les constructions des questions 1 à 5 se feront en bleu, celles des questions 6
et 7 en rouge
1. Justifiez que les droites ( ) et ( ) sont sécantes. On nomme
leur point
d’intersection. Construire . Quelle est l’intersection de la droite ( ) et du plan
(
) ? (On justifiera sa réponse).
2. Construire l’intersection de ( ) et de (
) en justifiant sa construction.
3. Les droites ( ) et ( ) sont-elles sécantes ?
4. Les droites ( ) et ( ) sont-elles sécantes ?
).
5. Construire en la justifiant l’intersection de la droite ( ) et du plan (
6. Quelle est l’intersection du plan ( ) et du plan (
) (justifier) ? La construire.
7. Construire sans justification l’intersection du plan ( ) et des 4 faces du tétraèdre.
Exercice 2 (8 points)
1. Rappeler la définition d’une fonction homographique. Les fonctions
,
,
sont-elles homographiques ?
la fonction définie par ( ) =
. Déterminer son ensemble de
2. On appelle
définition.
3. Déterminer l’image de −5 et l’antécédent de 2 par .
4. On appelle la courbe de dans le plan muni d’un repère orthonormé ( , , ).
Déterminer les points d’intersection de avec les axes du repère.
5. Étudier le signe de ( ) suivant les valeurs de .
6. Vérifier que l’on a, pour tout ≠ −3, ( ) = 1 +
. En déduire le tableau de
variations de .
7. Tracer la courbe de , ainsi que la droite d’équation $ =
8. Déduire de la question 7 la résolution graphique de l’équation
= .
9. Montrer que l’équation
=
solutions exactes de l’équation
est équivalente à ( + 1)% = 5. En déduire les
= .
Exercice 3 (5 points)
Les questions sont indépendantes. Répondre par vrai ou faux en justifiant sa réponse.
1. On jette 2 fois de suite une pièce parfaite à pile ou face. La probabilité d’obtenir des
faces différentes est .
2. Deux événements qui ne sont pas incompatibles ne peuvent pas être contraires.
3. On suppose qu’il naît autant de garçons que de filles. Pour une famille de 3 enfants,
la probabilité qu’ils soient tous du même sexe est de
%
4. On jette 2 fois un dé parfait à 6 faces. La probabilité d’obtenir au moins un 6 est de *
5.
& '(
<
& '(
.
NOM :
Exercice 1 :
1. ( ) et ( ) sont coplanaires dans (
), elles ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en
. Une droite et un plan sont sécants en un point, est sur ( ) et sur (
) car il est sur ( ),
c’est donc le point d’intersection de ( ) et (
).
2. De même, ( ) et ( ) sont coplanaires dans (
), elles ne sont pas parallèles donc elles sont
sécantes en un point qui appartient donc à ( ) et (
), c’est donc .
3. Les droites ( ) et ( ) ne sont pas coplanaires, elles ne sont donc pas sécantes.
4. Les droites ( ) et ( ) sont coplanaires dans ( ), elles ne sont pas parallèles donc elles sont
sécantes.
5. Le point d’intersection de ( ) et ( ) est commun à la droite ( ) et au plan (
) (il est sur
(
) car il est sur ( ), et les deux points et appartiennent au plan (
)). C’est donc .
6. L’intersection des plans ( ) et (
) est une droite qui contient et , c’est donc la droite
( ).
7. On trace le point d’intersection + de ( ) et ( ), on le relie avec pour avoir l’intersection de
( ) et (
). On prolonge cette droite jusqu’à ce qu’elle coupe ( ) en ,. On trace (, ),
intersection avec (
). Pour l’intersection avec (
), on a les deux points d’intersection de
(, ) et ( ), et ( ) et ( ) que l’on relie.
Exercice 2
1. Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions affines, ici les deux fonctions
,
sont homographiques, et
ne l’est pas.
2. L’ensemble de définition correspond aux valeurs où le dénominateur n’est pas nul, c’est donc
- − {−3}
3. L’image de −5 est (−5) =
= %. Pour l’antécédent de 2, on résout l’équation ( ) = 2, qui
s’écrit
= 2, soit
+ 4 = 2( + 3), + 4 = 2 + 6 donc
= −2. L’antécédent de 2 est −2.
4. Pour le point d’intersection avec l’axe des ordonnées, on calcule (0) = . C’est donc le point
(0 ; ).
Pour le point d’intersection avec l’axe des abscisses,
c’est donc le point (−4 ; 0).
5. On fait un tableau de signes :
−∞
−4
+4
−
0
+3
−
|
( )
+
0
6. On calcule 1 +
=
+
=
on résout ( ) = 0 et on obtient
+
−
−
= ( ). Ainsi la courbe de
de , de 1 vers le haut et de 3 vers la gauche. On a les variations :
−3
||
0
||
= −4,
+∞
+
+
+
s’obtient par décalage de celle
−∞
1
−3
+∞
+∞
( )
−∞
1
7.
= sont les abscisses des points d’intersection de et . On lit
8. Les solutions de l’équation
1,25 et −3,25.
9. L’équation
= s’écrit + 4 = ( + 3) soit + 4 = % + 3 , ou encore % + 2 − 4 = 0, on
écrit que % + 2 est le début du développement de ( + 1)% pour obtenir % + 2 = ( + 1)% −
1, l’équation devient bien ( + 1)% = 5. Cette équation a donc pour solution + 1 = √5 soit
= √5 − 1, ou + 1 = −√5 soit = −√5 − 1.
Exercice 3
1. C’est vrai, deux événements contraires sont forcément incompatibles, donc s’ils ne sont pas
incompatibles ils ne peuvent pas être contraires.
2. C’est faux, on peut faire l’arbre suivant, la probabilité que les faces soient différentes est
×%+%×% = + = %
%
3. C’est vrai, car 10%& + 1 > 10%& − 3 et la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[
%
4. C’est faux, on peut faire l’arbre suivant, la probabilité que le 6 ne tombe jamais est *, donc la
probabilité qu’il tombe au moins une fois est 1 −
%
*
=
.
*
5. C’est vrai, on fait encore un arbre. La probabilité de 3 garçons est
chose pour 3 filles et < + < =
.
%
× % × % = <, c’est la même