8 - Modélisation et Méthodes Mathématiques

Analyse Mathématique
Exercice proposé du 8/10/1999.
Montrer que les hyperboles
y2 − x2 = a2
xy = b 2
et
se coupent à angle droit quelles que soient les constantes a et b.
Solution :
On peut résoudre cet exercice de deux manières différentes.
Première méthode
Recherchons le(s) point(s) d’intersection des deux hyperboles et montrons que les tangentes à chacune des
courbes sont perpendiculaires en ce(s) point(s)
 y 2 − x 2 = a 2

2
 xy = b
Résolvons le système suivant :
(1)
(2)
 2 b4
2
 y − 2 = a
y
⇔ 
si y ≠ 0
2
b
x =

y
 − x2 = a2
si y = 0
 2
b = 0
 x = 0 si a = b = 0
y=0


 y 4 − a 2 y 2 − b 4 = 0
⇔ 
si y ≠ 0
2
x = b

x2
⇒
y2 =
a 2 ± a 4 + 4b 4
2
a 2 + a 4 + 4b 4
Comme y ≥ 0 , on doit retenir la solution y =
2
2
2
⇒
y0 =
⇒
x0 =
a 2 + a 4 + 4b 4
2
2 .b 2
a 2 + a 4 + 4b 4
x0 =
ou
=
y0 = −
a 2 + a 4 + 4b 4
2
2 .b 2 − a 2 + a 4 + 4b 4
− a 2 + a 4 + 4b 4
2
a 4 + 4b 4 − a 4
ou
x0 = −
ou
x0 =
− a 2 + a 4 + 4b 4
2
− 2 .b 2
a 2 + a 4 + 4b 4
Si les deux courbes sont perpendiculaires en un point, le produit des coefficients angulaires de leur tangente
respective en ce point vaut − 1
⇒
y1 = ± a 2 + x 2
⇒
y1' = ±
2x
2 a2 + x2
et
− a 2 + a 4 + 4b 4
(−a 2 + a 4 + 4b 4 )(a 2 + a 4 + 4b 4 )
a 4 + 4b 4 − a 4
'
2
=
=
y1 ( x 0 ) = ±
a 2 + a 4 + 4b 4
a 2 + a 4 + 4b 4
a 2 + a 4 + 4b 4
2
2
les signes ± se correspondent car xy = b ⇒ x et y sont de même signe.
2b 2
y1' ( x 0 ) =
a 2 + a 4 + 4b 4
±
(2)
b2
x
− b2
'
⇒ y2 =
x2
⇒
y2 =
et
y ( x0 ) =
'
2
− b 2 .2
− a 2 + a 4 + 4b 4
Il vient ensuite,
− 4b 4
y ( x 0 ). y ( x0 ) =
= 4
= −1
4
4
(− a 2 + a 4 + 4b 4 )(a 2 + a 4 + 4b 4 ) a + 4b − a
'
1
'
2
− 4b 4
CQFD
Si x = 0 ,
les hyperboles deviennent y = ± a et b = 0 . On a donc deux droites, chacune étant parallèle
à un axe de coordonnée. Elles sont donc perpendiculaires.
Si
y = 0,
les hyperboles deviennent
 − x2 = a2
⇒ a = 0 et donc x = y = 0 .
b = 0

Les deux hyperboles se réduisent alors à un point et le problème n’a plus beaucoup de sens.
Deuxième méthode
Les relations
 y12 ( x1 ) − x12 = a 2 (1)

2
(2)
 x2 y 2 ( x2 ) = b
définissent implicitement les fonctions y1 = y1 ( x1 ) et y 2 = y 2 ( x 2 ) . Par dérivation, on obtient :
 2 y1 ( x1 ) y1' − 2 x1 = 0

'
 y 2 ( x2 ) + x2 y 2 ( x2 ) = 0
x1
 '
 y1 ( x1 ) = y
1

− y2
'
 y 2 ( x2 ) =

x2
De là,
Le vecteur directeur de la tangente à une courbe est donné par
( x ' , y ' ( x)) = (1, y ' ( x))
 x1
 (1, y ) pour (1)
1
1. on obtient 
− y2
 (1,
) pour (2)

x2
Si les deux tangentes sont perpendiculaires, le produit scalaire de leur vecteur directeur est nul.
Ici, on a :
1−
x1 y 2
= 0 pour les points d’intersection car dans ce cas,
y1 x 2
 x1 = x2
y = y
2
 1
et les deux hyperboles se coupent bien perpendiculairement.