Potentiel électrique en électrodynamique

Potentiel électrique en
électrodynamique
(absence de
∇ ⋅ B = 0 monopôles
magnétiques
suggérée par les
Et:
∂B
observations)
∇× E = −
∂t
Donc:
 ∂A 
∂B
∂
∇× E = −
=−
∇ × A = −∇ ×  
∂t
∂t
 ∂t 

∂A  ∇× E +
=0
∂
t


Nous avons
B = ∇× A
car
(
)
1
Nécessairement, le champ
∂A
E+
∂t
doit dériver (au sens du gradient)
d’un certain champ scalaire:
∂A
E+
= −∇ϕ
∂t
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
En régime statique ou en absence de champ magnétique, la dérivée partielle
par rapport au temps disparaît et l’on retombe sur la relation électrostatique
qui relie le potentiel au champ électrique !
2
1
Courants de déplacement et de
polarisation
∂ρ
(toujours vrai: c’est un bilan
∇⋅ J +
= 0 de qté de charges dans un
certain volume)
∂t
∂
Donc:
∇
⋅
J
+
∇
⋅
D
=0
∇⋅D = ρ
∂
t
(on pose que cette
relation statique

∂D 
reste valable en régime
∇
⋅
J
+
∇
⋅

=0
dynamique)
∂
t


 ∂D 
∇ ⋅ J +
=0
∂t 

Nous avons vu que:
Mais,
(
)
3
∇× H = J
D’autre part, la magnétostatique
nous enseigne que:
Et puisque la divergence d’un rotationnel est toujours nulle, on doit avoir:
∇⋅ ∇× H = ∇⋅ J = 0
(
)
Il y a contradiction flagrante entre:
 ∂D 
∇ ⋅ J +
=0
∂
t


et
∇⋅ J = 0
Pour se sortir de cette mauvaise passe, Maxwell a donc supposé qu’en
électrodynamique il faut concevoir un courant total:
∂D
J tot = J +
∂t
4
2
En électrodynamique, le théorème d’Ampère doit donc être modifié:
Le terme
∂D
∂t
∂D
∇ × H = J tot = J +
∂t
est appelé courant de déplacement.
D = ε0E + P
∂E ∂P
∇ × H = J + ε0
+
∂t ∂t
Si l’on se rappelle en outre que
Courant libre
Courant de déplacement
électrique
alors:
Courant de
polarisation
5
Dans la matière, on peut en outre avoir un courant de magnétisation
volumique et le théorème d’Ampère pour l’induction magnétique est:
Sachant que:
∇× B
µ0
Courant libre
B = µ0 H + M
(
)
∂E ∂P
= J + ε0
+
+ ∇× M
∂t ∂t
Courant de déplacement
électrique
Courant de
magnétisation
Courant de
polarisation
6
3
Équations de Maxwell
En vertu de tout ce qui précède, on postule que tout l’électromagnétisme
(statique ou non, dans le vide chargé ou dans la matière) est contenu dans
les quatre équations de Maxwell suivantes:
∇⋅D = ρ
∂D
∇× H = J +
∂t
∂B
∇× E = −
∂t
∇⋅B = 0
7
Notion de jauge
Le champ électrique et le champ d’induction magnétique dérivent des
potentiels de la manière suivante:
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
B = ∇× A
A
Mais la connaissance de
et ϕ n’assure pas l’unicité des champs électrique
et magnétique. En effet, considérons un champ scalaire Λ quelconque. Alors
le couple de potentiels suivant redonne les mêmes champs électrique et
magnétique,
A ' = A + ∇Λ
ϕ'=ϕ −
∂Λ
∂t
8
4
B ' = ∇× A'
= ∇ × A + ∇Λ
= ∇ × A + ∇ × ∇Λ
= ∇× A
=B
(
)
(le rotationnel d’un
gradient donne le
vecteur nul)
9
∂A '
E ' = −∇ϕ '−
∂t
∂Λ  ∂ 
= −∇  ϕ −
A + ∇Λ
−
∂
t
∂
t


 ∂Λ  ∂A ∂
= −∇ϕ + ∇ 
− ( ∇Λ )
−
 ∂t  ∂t ∂t
∂A
= −∇ϕ −
Termes égaux
∂t
si fonction C
=E
(
)
2
10
5
Ce qui précède nous apprend donc que pour représenter mathématiquement
un champ électrique et un champ magnétique, nous avons une certaine
liberté dans le choix du potentiel vecteur et du potentiel électrique. La liberté
repose sur la sélection du champ scalaire Λ, pourvu que soient satisfaites
les relations,
A ' = A + ∇Λ
ϕ'=ϕ −
∂Λ
∂t
Une telle transformation est appelée transformation de jauge. Le choix
d’une jauge particulière est généralement motivé par la volonté de
simplifier certaines expressions mathématiques. Nous verrons notamment
la jauge de Lorenz (et non Lorentz comme on l’écrit par erreur dans la plupart
des ouvrages !) qui permet de montrer que le champ électromagnétique se
propage comme une onde.
Remarquons que si le potentiel vecteur A est à divergence
nulle, il n’en est
pas nécessairement de même pour le potentiel vecteur A '
11
(cela dépend du laplacien de Λ qui en général est non nul) !
Équations d’évolution des
potentiels et jauge de Lorenz
Dans le vide chargé les équations de Maxwell deviennent :
∇⋅D = ρ
∂D
∇× H = J +
∂t
∂B
∇× E = −
∂t
∇⋅B = 0
ρ
∇⋅E =
(1)
ε0
∂E
∇ × B = µ0 J + ε 0 µ 0
(2)
∂t
∂B
∇× E = −
(3)
∂t
∇ ⋅ B = 0 (4)
12
6
On a:
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
B = ∇× A
et
∂E
∇ × B = µ0 J + ε 0 µ0
∂t
∂
∂A 
∇ × ∇ × A = µ0 J + ε 0 µ0  −∇ϕ − 
∂t 
∂t 
2
∂
∂
A
ϕ


∇ ∇ ⋅ A − ∇ 2 A = µ 0 J − ε 0 µ0 ∇ 
 − ε 0 µ0 2
∂t
 ∂t 

∂2 A
∂ϕ

2
∇ A − ε 0 µ0 2 = ∇  ε 0 µ0
+ ∇ ⋅ A  − µ0 J
∂t
∂t


Et d’après l’équation de Maxwell (2):
(
(
)
)
13
Et d’après l’équation de Maxwell (1):
ρ
∇⋅E =
ε0

∂A  ρ
∇ ⋅  −∇ϕ −  =
∂t  ε 0

∂
ρ
∇ϕ+
∇⋅ A = −
∂t
ε0
2
(
)
14
7
Dans l’équation d’évolution du potentiel vecteur,
2

∂
A
∂ϕ

2
∇ A − ε 0 µ0 2 = ∇  ε 0 µ0
+ ∇ ⋅ A  − µ0 J
∂t
∂
t


On peut s’arranger pour faire disparaître le terme en ϕ . Il suffit de poser:
∂ϕ
ε 0 µ0
+∇⋅ A = 0
∂t
Cette condition est appelée jauge de Lorenz. Dans la jauge de Lorenz
les équations d’évolution des potentiels sont donc:
∂ 2ϕ
ρ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = −
ε0
∂t
∂2 A
2
∇ A − ε 0 µ 0 2 = − µ0 J
∂t
2
15
Dans la jauge de Lorenz on a donc les équations d’ondes avec sources:
∂ 2ϕ
ρ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = −
∂t
ε0
∂2 A
2
∇ A − ε 0 µ 0 2 = − µ0 J
∂t
2
Vide chargé:
Les potentiels électromagnétiques peuvent même se propager dans le vide
car dans le vide les équations précédentes se simplifient en:
∂ 2ϕ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
2
∂
A
2
∇ A − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
2
Vide:
16
8
En considérant les unités des équations d’ondes qui précèdent, on peut
en déduire la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans
le vide. Par exemple, pour l’équation du potentiel électrique:
2
2
0 0
2
∇ ϕ −ε µ
[ϕ ] −
L2
∂ϕ
=0
∂t
[ε 0 µ 0 ]
[ϕ ] = 0
T2
T2
[ε 0 µ 0 ] = 2
L
ε µ
Donc le produit 0 0 est homogène à l’inverse du carré d’une vitesse. Il s’agit
du carré de la vitesse de la lumière:
ε 0 µ0 c 2 = 1
17
Remarques sur les équations
d’évolution des potentiels
Les équations d’évolution des potentiels du vide chargé (avec jauge de Lorenz),
∂ 2ϕ
ρ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = −
∂t
ε0
∂2 A
2
∇ A − ε 0 µ 0 2 = − µ0 J
∂t
2
peuvent évidemment être résolues avec la notion de potentiels
retardés (intimement associée à la fonction de Green de l’équation des ondes)
et la notion de potentiels de Liénard-Wiechert.
Ces équations d’évolution prennent une forme similaire dans les milieux
simples, i.e. linéaires, homogènes et isotropes (voir diapo suivante).
18
9
Les équations d’évolution des
potentiels d’un milieu simple
chargé, sont :
∂ 2ϕ
ρ
∇ ϕ − εµ 2 = −
∂t
ε
∂2 A
2
∇ A − εµ 2 = − µ J
∂t
2
∂ϕ
+∇⋅ A = 0
∂t
avec la jauge:
εµ
Dans ce cours, nous nous
limiterons à la résolution des
équations d’évolution du vide
non chargé, ou d’un milieu
simple non chargé pour lequel
on a simplement:
∂ 2ϕ
∇ ϕ − εµ 2 = 0
∂t
2
∂ A
∇ 2 A − εµ 2 = 0
∂t
2
19
Équations d’évolution des champs
dans le vide non chargé
∂ 2ϕ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
2
∂ A 2
∇ A − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
2
Dans le vide non chargé on a
(dans la jauge de Lorenz):
D’autre part: B = ∇ × A
Donc (en prenant le rotationnel de la 2ème équation):
2
∂ A
∇ × ∇ 2 A − ε 0 µ0∇ ×  2  = ∇ × 0
 ∂t 
(
)
20
10
Si le potentiel est C3:
2

 ∂
A
2
∇ × ∇ A − ε 0 µ0 ∇ ×  2  = 0
 ∂t 
∂2
2
∇ ∇ × A − ε 0 µ0 2 ∇ × A = 0
∂t
2
∂ B ∇ 2 B − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
(
)
(
)
(
)
Ainsi, chaque composante de l’induction magnétique vérifie une équation
d’évolution semblable à celle du potentiel électrique dans la jauge de Lorenz.
21
∂ 2ϕ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
D’autre part:
2
Avec:
Donc:
∂ 2ϕ
∇ ϕ − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
 ∂ 2ϕ 
2
∇ ( ∇ ϕ ) − ε 0 µ0 ∇  2  = 0
 ∂t 
2
∂2
∇ ( ∇ϕ ) − ε 0 µ 0 2 ( ∇ϕ ) = 0
∂t
2
22
11
2
∂
A
2
D’autre part:
∇ A − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
∂ 2
∂  ∂2 A  ∇ A − ε 0 µ0  2  = 0
∂t
∂t  ∂t 
2



∂A
∂ ∂A  ∇ 2   − ε 0 µ0 2   = 0
∂t  ∂t 
 ∂t 
Nous avons donc montré:
(
)
∂2
enfin (par addition des
∇ ( −∇ϕ ) + ε 0 µ0 2 ( ∇ϕ ) = 0 Et
deux dernières équations):
∂t
2
∂A 
∂ 2  ∂A  ∇ 2 E − ε 0 µ0 ∂ E = 0
2
∇  −  + ε 0 µ0 2   = 0
∂t 2
∂
∂
∂
t
t
t


 
23
2
Ainsi, chaque composante du champ électrique vérifie aussi une équation
d’évolution du même type. On peut retrouver ces résultats à partir des
équations de Maxwell du vide non chargé elles-mêmes, comme nous allons
le vérifier ci-dessous et dans les diapositives suivantes :
ρ
∇⋅E =
ε0
∂E
∇ × B = µ0 J + ε 0 µ0
∂t
∂B
∇× E = −
∂t
∇⋅B = 0
∇ ⋅ E = 0 (1)
∂E
∇ × B = ε 0 µ0
(2)
∂t
∂B
∇× E = −
(3)
∂t
∇ ⋅ B = 0 (4)
Maxwell (pour le vide non chargé)
Maxwell (pour le vide chargé)
24
12
On a:
∇⋅B = 0
∂E
∇ × B = ε 0 µ0
∂t
 ∂E 
∇ × ∇ × B = ε 0 µ0∇ × 

∂
t


∂
2
∇ ∇ ⋅ B − ∇ B = ε 0 µ0
∇× E
∂t


∂
∂
B
−∇ 2 B = ε 0 µ0  − 
∂t  ∂t 
∂B
∇× E = −
∂t
2
∂
B
∇ 2 B − ε 0 µ0 2 = 0
∂t
25
(
)
(
Et enfin:
)
(
)
∂B
∇× E = −
∂t
 ∂B 
∇ × ∇ × E = −∇ ×  
 ∂t 
∂
∇ ∇ ⋅ E − ∇2 E = −
∇× B
∂t


∂
∂
E
∂
E
2
−∇ E = −  ε 0 µ0
 ∇ × B = ε 0 µ0
∂t 
∂t 
∂t
∂2 E 2
∇ E − ε 0 µ0 2 = 0
26
∂t
Pour le champ électrique, on part de :
∇⋅E = 0
(
(
Et enfin:
)
)
(
)
13
Généralités sur les ondes
• Notre propos, dans la présente section, est de
traiter l’aspect ondulatoire de la lumière ou,
d’une manière générale de toute onde
électromagnétique.
• Pour ce faire, il convient de rappeler quelques
notions ou définitions de base, histoire de bien
construire notre étude de tels phénomènes
ondulatoires;
• Il y a deux types d’ondes: les longitudinales et
les transversales (voir figures suivantes).
27
Longitudinale
Le long d’un ressort, ou des
ondes sonores…
Transversale
Ondes électromagnétiques, ou des ondes
28
sur une corde…
14
Pour représenter une onde, il est utile d’introduire une fonction
mathématique qui donne la variation (dans le temps et dans l’espace)
de l’état de perturbation du milieu:
ψ ( x, t ) = f ( x, t )
Il faut bien se rappeler que la matière ne se propage pas, elle se
contente de bouger relativement à sa position d’équilibre. Par contre,
la perturbation se propage avec une certaine vitesse ou célérité, c. Si
l’onde se propage sans changer de profil, alors la dépendance avec
le temps et l’espace est plus simple (voir aussi figures suivantes):
x
ψ ( x, t ) = f ( x − ct ) = F (t − )
c
29
ψ ( x, t ) = f ( x − vt )
30
15
La fonction Ψ vérifie une équation différentielle: l’équation des ondes
∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ
= 2 2
2
∂x
c ∂t
Équation d’onde unidimensionnelle (selon l’axe des x).
La première dérivée partielle est calculée à t constant, la seconde
à x constant.
Un cas important est celui des ondes harmoniques ou sinusoïdales:
ψ ( x, t ) = A sin [ k ( x − ct ) ] = A sin [ kx − ωt ]
Il est aisé de vérifier que cette fonction vérifie l’équation d’onde.
Les ondes harmoniques sont fondamentales car (d’après le
théorème de Fourier) toute perturbation périodique est décomposable
31
en somme de fonctions harmoniques.
Quelques grandeurs importantes:
Longueur d’onde
Pulsation ou vitesse
angulaire
Période
λ = cT =
c
Fréquence
ν
ω=
2π
= 2πν
T
Vitesse de phase (ou célérité)
k=
2π
λ
= 2π
ν
c
=
ω
c
→
ω = kc
Nombre de propagation
κ=
1
λ
k est l’analogue spatial de ω.
Déphasage
Phase
ϕ = k ( x − ct ) + ε = kx − ωt + ε
Nombre d’onde
32
16
ϕ = k ( x − ct ) + ε = kx − ωt + ε
On a alors:
 ∂ϕ 

 = k et
∂
x

t
 ∂ϕ 

 =ω
∂
t

x
 ∂ϕ 
−

 dx 
 ∂t  x ω
= = c (vitesse de phase)
  = ∂ϕ
k


 dt  ϕ


 ∂x t
L’équation des ondes est dite dispersive si c dépend de la fréquence.
Dans le cas contraire, elle est dite non dispersive.
33
Principe de superposition
La linéarité de l’équation d’onde fait que si deux fonctions sont
solutions, alors toute combinaison linéaire de ces deux fonctions
est aussi une solution de l’équation d’onde : on appelle cette
propriété principe de superposition.
Si:
2
∂ Ψ1 1 ∂ 2 Ψ1
= 2
∂x 2
c ∂t 2
Et:
2
∂ Ψ 2 1 ∂ 2Ψ 2
= 2
∂x 2
c ∂t 2
Alors:
∀a, b ∈ :
∂ 2 ( a Ψ1 + bΨ 2 ) 1 ∂ 2 ( a Ψ1 + bΨ 2 )
= 2
∂x 2
c
∂t 2
34
17
Le principe de superposition nous garantit que la somme de deux ondes
ayant le même nombre de propagation est une 3ème onde avec un même
nombre de propagation. Mais des déphasages ou des différences
d’amplitudes font que le profil de l’onde finale peut être très différent
d’une situation à l’autre.
Dans le cas d), on a une
atténuation significative
de l’amplitude: on appelle
ce phénomène interférence.
35
D’après le principe de superposition,
si deux perturbations distinctes sont
des ondes, alors leur somme est
aussi une solution. En d’autres termes,
la perturbation totale est une onde
composée de la somme des deux
perturbations initiales.
Les systèmes physiques pour lesquels
le principe de superposition est
applicable constituent ce que l’on
appelle des systèmes linéaires.
En pratique, le principe de
superposition fonctionne pour des
perturbations d’amplitudes modérées.
Dans le cas des ondes de choc, par
exemple, ce principe est inapplicable.
36
18
Solution de l’équation des ondes 1D
Les solutions sont de la forme (vitesse de phase v):
y = f (x − vt )
y = g ( x + vt )
Propagation vers la
droite
x
x
Propagation vers la
gauche
On peut le vérifier par substitution directe.
37
En effet, si:
y = f ( x − vt )
u = x − vt
Posons:
∂f ∂f ∂u
∂f
=
=− v
∂t ∂u ∂t
∂u
Alors:
∂2 f
∂  ∂f
= 
2
∂t
∂t  ∂t
2
∂f ∂
 ∂  ∂f  ∂ f
=
−
v
=
( −v ) +
( −v )



∂u ∂t
 ∂t  ∂u  ∂t∂u
∂ 2 f ∂ 2 f ∂u
∂2 f
∂2 f 2
=
−
v
=
−
v
−
v
=
+
v
(
)
(
)(
)
∂t 2 ∂u 2 ∂t
∂u 2
∂u 2
38
19
∂f ∂f ∂u ∂f
∂f
=
= 1=
∂x ∂u ∂x ∂u
∂u
D’autre part:
( u = x − vt )
∂2 f
∂  ∂f  ∂  ∂f  ∂ 2 f ∂u ∂ 2 f
=
=
 =  =
∂x 2 ∂x  ∂x  ∂x  ∂u  ∂u 2 ∂x ∂u 2
On a donc montré:
Finalement:
∂2 f
∂2 f 2
=
+
v
∂t 2
∂u 2
∂2 f ∂2 f
=
∂x 2 ∂u 2
∂2 f
1 ∂2 f
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
∂2 f
1 ∂2 f 2
=
v
∂u 2 v 2 ∂u 2
∂2 f ∂2 f
=
∂u 2 ∂u 2
On procéderait de la même manière pour
montrer que y = g ( x + vt ) est solution de l’équation d’onde.
39
Interprétation
y = f ( x − vt )
Repré
Représente une perturbation f se propageant le long de l’axe
des x avec la vitesse v. Pour le vérifier,
rifier, posons:
posons:
y = f ( x2 − vt2 )
Il s’agit de la valeur de la perturbation en x2 à l’instant t2
40
20
Considé
Considérons à pré
présent un instant anté
antérieur:
rieur:
t1 = t2 – ∆t
Donc:
f (x2 – vt2) = f (x2 – v(t1+ ∆t))
= f ( x2- v∆t – vt1)
= f ( x1- vt1)
i.e. la perturbation à x2 , t2 est exactement la même que celle
qui était pré
présente au point x1 = x2 - v ∆t, un instant ∆t plus tôt.
41
Solution par la méthode de
D’Alembert
On a le théorème suivant:
La solution générale de l’équation d’onde,
∂2 f
1 ∂2 f
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
est de la forme:
f ( x, t ) = g ( x − ct ) + h ( x + ct )
Autrement dit, la perturbation la plus générale est la somme de deux perturbations
se propageant selon les deux directions de l’axe des x. Ci-dessous, on se propose
de démontrer ce résultat rigoureusement avec la méthode dite de D’Alembert.
42
21
Démonstration avec la méthode de D’Alembert:
D’après l’équation des ondes,
∂2 f
1 ∂2 f
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
la perturbation est une fonction de x et t:
f = f ( x, t )
Soit le changement de variables:
u = x − ct
v = x + ct
Ce changement de variables fait que l’on peut concevoir la perturbation comme
une fonction de u et v:
f = f ( u , v ) = f  x ( u , v ) , t ( u , v ) 
43
On a:
Puis:
∂f
∂f
du + dv
∂u
∂v
∂f ∂f ∂u ∂f ∂v
=
+
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂f ∂f ∂f
=
+
∂x ∂u ∂v
∂2 f
∂  ∂f  ∂  ∂f ∂f 
=
 =  + 
∂x 2 ∂x  ∂x  ∂x  ∂u ∂v 
df =
 u = x − ct 


 v = x + ct 
 ∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v   ∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v 
= 2
+
+ 2
+

∂
u
∂
x
∂
u
∂
v
∂
x
∂
v
∂
u
∂
x
∂v ∂x 

 
∂2 f ∂2 f
∂2 f ∂2 f
= 2 +
+
+
44
∂u
∂u∂v ∂v∂u ∂v 2
22
∂f ∂f ∂u ∂f ∂v
∂f
∂f
=
+
= −c + c
∂t ∂u ∂t ∂v ∂t
∂u
∂v
D’autre part:
∂2 f
∂  ∂f
=

∂t 2 ∂t  ∂t
∂  ∂f ∂f 

=c  − 
∂t  ∂v ∂u 

 ∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v   ∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v  
= c 
+ 2
+
− 2

∂
v
∂
u
∂
t
∂
v
∂
t
∂
u
∂
t
∂
u
∂
v
∂
t






∂2 f
∂2 f
= c  −c
+c 2
∂
v
∂
u
∂v

  ∂2 f
∂ 2 f 
 −  −c 2 + c

∂u∂v  
  ∂u
 ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f 
= c −
+ 2 + 2 −

v
u
∂
∂
∂v
∂u
∂u∂v 

2
45
Nous avons donc montré que:
2
2
∂ f ∂ f
∂2 f ∂2 f
=
+2
+
∂x 2 ∂u 2
∂u∂v ∂v 2
2
∂2 f
∂2 f ∂2 f 
2∂ f
=c  2 −2
+ 2
∂t 2
∂
v
∂
u
∂
v
∂u 

En injectant ces résultats dans l’équation des ondes on trouve enfin:
2
2
∂ f
1 ∂ f
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
∂2 f
∂2 f ∂2 f
1 2  ∂2 f
∂2 f ∂2 f 
+2
+ 2 = 2 c  2 −2
+ 2
2
∂u
∂u∂v ∂v
c
∂u∂v ∂u 
 ∂v
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂2 f
+2
+
=
−2
+
∂u 2
∂u∂v ∂v 2
∂v 2
∂u∂v ∂u 2
46
23
Finalement:
∂2 f
=0
∂u∂v
Autrement dit il existe des fonctions G et H telles que (A et B sont des ctes):
∂  ∂f 
 =0
∂u  ∂v 
∂f
= H (v) + A
∂v
∂  ∂f 
 =0
∂v  ∂u 
∂f
= G (u ) + B
∂u
47
Appelons g une primitive de G, et h une primitive de H (A’ et B’ sont des
ctes; α est une fonction de u, β une fonction de v):
∂f
= H ( v ) + A → f (u, v ) = h(v) + Av + α (u ) + A '
∂v
∂f
= G ( u ) + B → f (u, v) = g (u ) + Bu + β (v) + B '
∂u
On constate donc bien que f peut s’écrire comme la somme d’une fonction
de u, et d’une fonction de v (plus une éventuelle cte):
f (u, v) = ϕ ( u ) + Ψ ( v )
En revenant aux définitions de u et v:
f ( x, t ) = ϕ ( x − ct ) + Ψ ( x + ct )
Autrement dit, la perturbation la plus générale est la somme de deux perturbations
48
se propageant selon les deux directions de l’axe des x.
24
Ondes planes
• Dans les sections qui précèdent, nous avons parlé des
ondes unidimensionnelles, se propageant le long d’une
seule direction spatiale;
• Évidemment, les ondes unidimensionnelles ne sont
pas les seules à exister et, en général, nous avons au
contraire à considérer des ondes tridimensionnelles, se
propageant dans toutes les directions de l’espace;
• Vous vous doutez certainement que les expressions
mathématiques représentant de telles ondes sont en
général très compliquées. Il existe néanmoins un cas
d’onde tridimensionnelle qui reste facile à aborder, tant
conceptuellement que mathématiquement: les ondes
planes.
49
Par définition, on a une
onde plane lorsque les
surfaces (dans l’espace)
associées à une phase
donnée sont des plans.
Autrement dit, les
surfaces isophases sont
des plans. Dans les
diapositives suivantes, on
précise cette idée.
50
25
r − r0 ⊥ k ⇔ (r − r0 ) ⋅ k = 0
k x ( x − x0 ) + k y ( y − y0 ) + k z ( z − z0 ) = 0
k x x + k y y + k z z = k x x0 + k y y0 + k z z0
k ⋅ r = cte
r = x i + y j + zk
r0 = x0 i + y0 j + z0 k
Une onde plane se propageant
selon la direction spatiale k .
51
Pour chaque plan on a une phase fixée,
k ⋅ r ± ωt
On a donc une onde:
Ψ (r, t ) = A sin(k ⋅ r ± ωt )
Ou,
Ψ (r, t ) = A cos(k ⋅ r ± ωt )
Ou (notation complexe),
i( k ⋅ r ±ωt )
Ψ (r, t ) = Ae
52
26
Équation des ondes
tridimensionnelle
En 3 dimensions, l’équation différentielle,
∂2Ψ 1 ∂ 2Ψ
= 2 2
2
∂x
v ∂t
Se généralise en:
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ 1 ∂2Ψ
+
+ 2 = 2 2
∂x 2 ∂y 2
∂z
v ∂t
1 ∂2Ψ
∇ Ψ= 2 2
v ∂t
Ou encore:
2
53
Ondes sphériques
• Supposons que ψ (r , t ) possède une symétrie sphérique
relativement à l’origine (source des ondes).
• En coordonnées sphériques, le laplacien s’écrit:
∇2 =
1 ∂  2 ∂
1
∂ 
∂ 
1
∂2
θ
r
+
sin
+




r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 
∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
z
θ r
y
x
φ
54
27
• En symétrie sphérique, ψ dépend seulement de
r, pas de φ ni θ.
• En conséquence, l’équation des ondes devient:
1 ∂  2 ∂ψ
r
2
r ∂r  ∂r
ou,
2
 1 ∂ψ
− 2 2 = 0
 v ∂t
2 ∂ψ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ
+ 2 − 2 2 =0
r ∂r ∂r
v ∂t
55
Mais:
∂ 2 ( rψ ) ∂ 
∂ψ 
= ψ + r
2
∂r
∂r 
∂r 
∂ψ
∂ 2ψ
=2
+r 2
∂r
∂r
 2 ∂ψ ∂ 2ψ 
=r
+ 2
r
∂
r
∂r 

r ∂ 2ψ
= 2 2
v ∂t
Donc (puisque
r ne dépend pas
du temps):
∂ 2 ( rψ ) 1 ∂ 2 ( rψ )
= 2
∂r 2
v
∂t 2
56
28
Mais,
Mais,
∂ 2 (rψ ) 1 ∂ 2 (rψ )
− 2
=0
∂r 2
v
∂t 2
n’est rien d’autre qu’
qu’une équation des ondes dont la solution
générale est :
Et si on considère
seulement l’onde qui
s’éloigne de la source:
rψ = f (kr − ωt ) + g (kr + ωt )
ψ
=
1
f (kr − ωt )
r
i.e. l’amplitude décroî
croît en 1/r !
Les fronts d’onde sont des sphè
sphères !
L’énergie
’énergie d’une onde étant proportionnelle au carré
carré
de l’amplitude,
amplitude, l’énergie
’énergie décroî
croît donc en 1/r2.
57
Rappels: ondes électromagnétiques
Nous avons déjà montré que dans le vide non chargé et dans la
jauge de Lorenz on a les équations d’évolution des champs:
2
∂
E
2
∇ E − ε 0 µo 2 = 0
∂t
2
∂
B
∇ 2 B − ε 0 µo 2 = 0
∂t
Ainsi il est naturel de penser que l’information électromagnétique se
propage à la manière des ondes, avec une vitesse de phase,
c=
1
ε 0 µo
58
29
Dans un milieu simple non chargé on a aussi:
2
∂
E
2
∇ E − εµ 2 = 0
∂t
2
∂ B ∇ 2 B − εµ 2 = 0
∂t
Avec une vitesse de phase,
v=
Avec:
ε = ε 0ε r
µ = µ0 µ r
1
εµ
ε r = 1 + χe
µr = 1 + χ m
59
Indice de réfraction dans un milieu non
ferromagnétique
Par définition, l’indice de réfraction n est donné par le rapport (vitesse de
phase dans le vide non chargé divisée par la vitesse de phase dans un milieu
simple non chargé):
n=
c
v
On a donc:
n=
c
1
=
v
ε 0 µ0
εµ =
ε 0ε r µ0 µr
= ε r µr = ε r (1 + χ m )
ε 0 µ0
Mais dans un milieu non ferromagnétique la susceptibilité magnétique est de
l’ordre de 10-5. Finalement (et avec une excellente précision):
n=
c
≈ εr
v
60
30
Ondes EM planes dans le vide
Dans le vide non chargé on a:
Et les champs vérifient:
∇ ⋅ E = 0 (1)
∂E
(2)
∇ × B = ε 0 µ0
∂t
∂B
∇× E = −
(3)
∂t
∇ ⋅ B = 0 (4)
(E , B
0
0
vecteurs constants
2
1
∂
E
2
∇ E− 2 2 =0
c ∂t
2
1
∂
B
∇2 B − 2 2 = 0
c ∂t
Cherchons les caractéristiques de solutions
planes:
E (r, t ) = E0 cos(k ⋅ r ± ωt )
B (r, t ) = B0 cos(k ⋅ r ± ωt )
)
61
∇ ⋅ E = 0 → ∇ ⋅ E0 cos(k ⋅ r ± ωt ) = 0
∂Ex ∂E y ∂Ez
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂E y ∂Ez
∂
E0 x cos(k x x + k y y + k z z ± ωt ) ) +
+
=0
(
∂x
∂y
∂z
∂E ∂E
∂
E0 x ( cos(k x x + k y y + k z z ± ωt ) ) + y + z = 0
∂x
∂y
∂z
∂E y ∂Ez
− E0 x k x sin(k x x + k y y + k z z ± ωt ) +
+
=0
∂y
∂z
∂E y ∂Ez
− E0 x k x sin(k ⋅ r ± ωt ) +
+
=0
62
∂y
∂z
On a:
(
)
31
Finalement (en traitant de la même manière les autres termes de la divergence):
− ( E0 x k x + E0 y k y + E0 z k z ) sin(k ⋅ r ± ωt ) = 0
− E0 ⋅ k sin(k ⋅ r ± ωt ) = 0
La dernière relation devant être vraie quel que soit l’instant ou la position, on a
nécessairement :
E0 ⋅ k = 0
E ⋅k = 0
et aussi:
En utilisant le fait que la divergence du champ d’induction magnétique est nulle, on
montrerait de la même manière que:
k
B⋅k = 0
Puisque le vecteur
a pour direction la direction de propagation, nous venons
donc de prouver que le champ électromagnétique est transversal.
63
∂B
Donc:
∇× E = −
∂t
∂ ∇ × E0 cos(k ⋅ r ± ωt ) = −
B0 cos(k ⋅ r ± ωt )
∂t
D’autre part:
(
)
(
)
Pour la composante x de la dernière équation on a donc:
∂
∇ × E  = −
B
cos(
k
⋅ r ± ωt )
0x

x
∂t
∂Ez ∂E y
∂
−
= − B0 x
cos(k ⋅ r ± ωt )
∂y
∂z
∂t
∂Ez ∂E y
−
= ± B0 xω sin(k ⋅ r ± ωt )
∂y
∂z
(
)
(
)
64
32
∂Ez ∂E y
−
= ± B0 xω sin(k ⋅ r ± ωt )
∂y
∂z
E
k
−
E
k
sin(
k
⋅
r
±
ω
t
)
=
±
B
ω
sin(
k
⋅ r ± ωt )
( 0 y z 0z y )
0x
− E0 z k y + E0 y k z = ± B0 xω
De la même manière, on montrerait que:
− E0 x k z + E0 z k x = ± B0 yω
Autrement dit:
− E0 y k x + E0 x k y = ± B0 zω
k × E0 = ∓ω B0
Remarquons que pour avoir une onde se propageant dans le même sens que
il faut prendre une phase de la forme:
k ⋅ r − ωt
k
65
Donc, si le vecteur d’onde est dans le sens de la propagation, on a,
k × E0 = +ω B0
Et donc aussi:
k × E = ωB
k , E , B forment un trièdre direct et vibrent en phase:
De plus: kE = ω B
Ainsi les trois vecteurs
ω
E
k
B
E = ωB
c
E = cB
E = cB
66
33
Dissipation d’énergie par effet Joules
Soit une charge q animée d'une vitesse
v
dans un champ électromagnétique
La force agissant sur cette charge est la force de Lorentz:
f = q E+v×B
(
)
dont le travail pendant une durée dt est:
δ W = f ⋅ vdt = qE ⋅ vdt + q v × B ⋅ vdt
(
)
La puissance cédée aux charges par le champ électromagnétique s'écrit donc, pour une
charge:
P=
δW
dt
= f ⋅ v = qE ⋅ v
67
v
En supposant que tous les porteurs de charge ont la même vitesse
dans
un volume élémentaire
, la puissance cédée aux charges dans ce
volume s'écrit:
dτ
dP = nqE ⋅ vdτ
où n est le nombre de porteurs de charge par unité de volume.
La puissance fournie à l'ensemble des charges vaut donc:
P = ∫∫∫
(V )
nqv ⋅ Edτ = ∫∫∫
(V )
j ⋅ Edτ
E
Donc si on désigne par
c l'énergie cinétique totale des charges soumises
au seul champ électromagnétique, on a:
dEc
j
⋅
Ed
τ
=
∫∫∫(V )
dt
(d'après le théorème de l'énergie cinétique; cf. diapo suivante).
68
34
Démonstration du fait que la puissance est la dérivée de l’énergie cinétique par
rapport au temps. Dans un référentiel galiléen on a :
dv P = f ⋅ v = ma ⋅ v = m ⋅ v
dt
1 d 1 d
P = m ( v ⋅ v ) = m (v2 )
2 dt
2 dt
d 1
 dE
P =  mv 2  = c
dt  2
 dt
69
Théorème de Poynting
∂E
∇ × B = µ0 j + ε 0 µ0
∂t
∂B
∇× E = −
∂t
Ecrivons les équations de Maxwell relatives à l’induction et au théorème d’Ampère:
1
On peut faire une
combinaison linéaire de
ces deux équations
pour obtenir:
µ0
( E ⋅ (∇ × B ) − B ⋅ (∇ × E ))
1   ∂E   ∂B  
=
 E ⋅  µ j + ε 0 µ0
 − B ⋅  − 
µ0   0
∂t 
 ∂t  
 ∂E  1  ∂B 
= j ⋅ E + ε0E ⋅ 
B ⋅ 
+
µ
∂
t
0


 ∂t 
∂  E 2 1 B2 
= j ⋅ E + ε0
+

70
2 µ0 2 
∂t 
35
Mais:
∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ (∇ × A ) − A ⋅ (∇ × B )
Donc:
1
µ0
E ⋅ ∇× B − B⋅ ∇× E
( (
)
(
))
∇⋅ B× E
(
µ0
∂  E 2 1 B2 
= j ⋅ E + ε0
+

∂t 
2 µ0 2 
) = j ⋅ E + ∂  ε

∂t 
0
E 2 1 B2 
+

2 µ0 2 
Finalement:
∂  E 2 1 B2 
 E×B 
+
j ⋅ E + ε0
 + ∇ ⋅
=0
∂t 
2 µ0 2 
µ
 0 
(identité ou théorème de Poynting)
71
Interprétation du théorème de Poynting
Intégrons l’identité de Poynting sur un volume V bordé par une surface fermée S. On a:
 E×B 
∂  E 2 1 B2 
∫∫∫V ∂t  ε 0 2 + µ0 2  dτ + ∫∫∫V j ⋅ Edτ + ∫∫∫V ∇ ⋅  µ0  dτ = 0
Le second terme représente (cf. diapo 68)la variation d'énergie cinétique des charges
contenues dans le volume considéré.
Par ailleurs, le théorème de la divergence nous dit que:
 E×B 
E×B ∫∫∫V ∇ ⋅  µ0  dτ = ∫∫S µ0 ⋅ dS
Et l'identité de Poynting se met sous la forme:
2
2
dEc
∂ E
1 B 
E×B ∫∫∫V ∂t  ε 0 2 + µ0 2  dτ + dt = − ∫∫S µ0 ⋅ dS
72
36
Afin de pousser plus loin l'interprétation, imaginons une surface telle que
∫∫
S
E×B
µ0
⋅ dS = 0
L'identité de Poynting se met alors sous la forme:
d
(U em + Ec ) = 0
dt
(1)
où l’on a posé:
U em
 E 2 1 B2 
= ∫∫∫  ε 0
+
 dτ
V
2
2
µ
0


l’énergie électromagnétique totale contenue dans le volume V.
L’équation (1) est une loi de conservation de l'énergie, et elle suggère qu'une partie de
l'énergie totale est localisée dans les régions où règne un champ électromagnétique,
indépendamment de la présence de charge.
73
Si on revient à l'expression générale, on a alors:
E×B
d
⋅ dS
(U em + Ec ) = − ∫∫
dt
µ0
S
La variation de l'énergie totale (mécanique + électromagnétique) correspond donc au
flux du vecteur dit de Poynting (dirigé comme le vecteur k).
Vecteur de Poynting:
E×B R=
= E×H
µ0
Ce vecteur est donc directement associé à la puissance transportée par le champ
électromagnétique. Son flux à travers une surface S donne l'expression de la
puissance qui traverse cette surface. Pour une surface fermée, ce flux est positif si
la puissance est transportée de l'intérieur vers l'extérieur (diminution de l'énergie
électromagnétique à l'intérieur du volume), et négatif dans le cas contraire.
74
37
E×B R=
= E×H k
µ0
E
R
B
Le vecteur de Poynting a pour direction et sens, la direction et le sens
de propagation de l’énergie électromagnétique.
75
Irradiance (énergie par unité de
volume)
• Densité d’énergie
dans un champ
électrique
• Densité d’énergie
dans un champ
magnétique
avec
E
B=
c
1
uE = ε o E 2
2
uB =
1
2µo
2
B2
1 E
1
uB =
= εoE2
2
2µ o c
2
,
J
m3
,
J
m3
J
m3
76
38
Densité d’énergie totale
u = uE + uB = ε o E 2
Mais si E = Eosin(ω
sin(ωt+φ
t+φ) et ω est trè
très grand
on observe une moyenne temporelle de E2:
sin (ωt + ϕ )
2
1
=
T
t +T
1
∫ sin (ωt + ϕ )dt = 2
2
t
1
2
u = ε o Eo
2
77
39