division euclidienne - g

Chapitre 7
Division euclidienne - décimale
I. Division euclidienne
Définition :
Effectuer
une
division
euclidienne
d'un
nombre
entier
(le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0,
c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels
que :
dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur
Exemples :
En utilisant les tables de multiplication, on a 52 = ( 6 x 8 ) + 4 et 4 < 6
Dans la division euclidienne de 52 par 6, le quotient est 8 et le reste
est 4.
Attention, on pourrait écrire 52 = ( 6 x 7 ) + 10 mais 10 > 6 donc ce
n'est pas la véritable division euclidienne.
La division euclidienne est unique.
On peut également poser l'opération :
Exercice :
En posant la division euclidienne de 185 par 7, on trouve
185 = ( 7 x 26 ) + 3 et 3 < 7
II. Critère de divisibilité
On a 38 = ( 2 x 19 ) + 0 = 2 x 19.
Le reste de la division euclidienne de 38 par 2 est zéro.
Vocabulaire :
On peut ainsi dire au choix que :
• 38 est un multiple de 2
• 38 est divisible par 2
• 2 est un diviseur de 38
Exemples :
• 20 est un multiple de 5 car 20 est dans la table de 5.
• 12 est divisible par 2.
• 3 est un diviseur de 15.
• 20 a pour diviseurs de 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.
Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible :
• par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
• par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
• par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son
chiffre des unités est divisible par 4.
• par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
12 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 2.
15 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
250 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.
216 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4.
93 est divisible par 3 car 9 + 3 = 12 est divisible par 3.
288 est divisible par 9 car 2 + 8 + 8 = 18 est divisible par 9.
III. Division décimale
Le quotient d’un nombre 6,9 par un nombre 3 est le nombre qui,
lorsqu’il est multiplié par 3, donne 6,9.
Après un calcul, on trouve 3,3.
Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b,
c’est calculer la valeur exacte (ou une valeur approchée) de ce
quotient. On le note 𝒂 ∶ 𝒃 ou 𝒂 ÷ 𝒃.
Exemples :
Posons la division de 23 par 5.
Posons la division de 18,6 par 4.
On a donc 23 : 5 = 4,6
On a donc 18,6 : 4 = 4,65
Remarque :
Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête
jamais", ou encore lorsque le quotient comporte un grand nombre de
décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du
quotient.
 Avec une troncature par défaut au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,42
 Avec une troncature par excès au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,5
 Avec un arrondi au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4
 Avec un arrondi au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,43