Énoncé - Site de JJ Thiry

Puma
Aurélie
2ème math
Énoncé :
Soit un cercle de centre O.
o
Énoncé :
Soit un cercle de centre O.
M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle.
M
P
o
Q
Énoncé :
Soit un cercle de centre O.
M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle.
[AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M.
C
A
M
P
D
o
Q
B
Énoncé :
Soit un cercle de centre O.
M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle.
[AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M.
[AD] coupe [PQ] en X et [BC] coupe [PQ] en Y.
C
A
X
M
P
D
o
Y
Q
B
Énoncé :
Soit un cercle de centre O.
M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle.
[AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M.
[AD] coupe [PQ] en X et [BC] coupe [PQ] en Y.
Prouvons que M est aussi le milieu de [XY].
C
A
X
M
P
D
o
Y
Q
B
Démonstration
1) |Â| = |Ĉ| et |B| = |D| car ce sont des
angles inscrits interceptant le même
arc.
2) Les triangles AMD et CMB sont
donc semblables (angles
correspondants de même
amplitude). Nous avons donc une
égalité de rapport entre les
longueurs des côtés correspondants:
|AD| / |AM| = |CB| / |CM|
C
A
X
M
P
D
o
Y
Q
B
Démonstration
1) |Â| = |Ĉ| et |B| = |D| car ce sont des
angles inscrits interceptant le même
arc.
2) Les triangles AMD et CMB sont
donc semblables (angles
correspondants de même
amplitude). Nous avons donc une
égalité de rapport entre les
longueurs des côtés correspondants:
|AD| / |AM| = |CB| / |CM|
3) Traçons [OH]  [AD] et [OJ] 
[CB]. H et J sont les milieux
respectifs de [AD] et [CB] car toute
perpendiculaire à une corde passant
par le centre d’un cercle est la
médiatrice de cette corde.
|AD|= 2 |AH| et |CB|= 2 |CJ|
C
A
X
M
P
H
D
Y
Q
J
o
B
4) Remplaçons |AD| et |CB| dans le
rapport du point 2. Nous avons
donc : |AH| / |AM| = |CJ| / |CM|
C
A
X
M
P
H
Comme |Â| = |Ĉ| alors les
triangles AMH et CMJ sont
semblables.
D
Y
Q
J
o
B
4) Remplaçons |AD| et |CB| dans le
rapport du point 2. Nous avons
donc : |AH| sur |AM| = |CJ| /
|CM|
Comme |Â| = |Ĉ| alors les
triangles AMH et CMJ sont
semblables.
5) |AHM| = |CJM| car ce sont des
angles correspondants.
C
A
X
M
P
H
D
Y
Q
J
o
B
6) Traçons [OM] médiatrice de
[PQ].
C
A
X
M
P
H
D
Y
Q
J
o
B
7) Le quadrilatère XMOH est
inscriptible car les angles XHO
et XMO sont opposés et
supplémentaires.
C
A
6) Traçons [OM] médiatrice de
[PQ].
X
M
P
H
D
Y
Q
J
o
B
6) Traçons [OM] médiatrice de
[PQ].
X
M
P
H
7) Le quadrilatère XMOH est
inscriptible car les angles XHO
et XMO sont opposés et
supplémentaires.
D
8) Le quadrilatère YMOJ est
inscriptible car les angles YJO
et OMY sont opposés et
supplémentaires.
C
A
Y
Q
J
o
B
9) |XHM| = |MOX| car ce sont
des angles inscrits interceptant
le même arc.
C
A
X
P
M
Y
Q
J
H
O
B
D
9) |XHM| = |MOX| car ce sont
des angles inscrits interceptant
le même arc.
C
A
10) |YJM| = |MOY| car ce sont
des angles inscrits interceptant
le même arc.
Nous savons que |XHM| =
|YJM| (Voir point 5).
Donc, |MOX| = |MOY|.
X
P
M
Y
Q
J
H
O
B
D
9) |XHM| = |MOX| car ce sont
des angles inscrits interceptant
le même arc.
C
A
10) |YJM| = |MOY| car ce sont
des angles inscrits interceptant
le même arc.
Nous savons que |XHM| =
|YJM| (Voir point 5).
Donc, |MOX| = |MOY|.
X
P
M
Y
Q
J
H
O
Conclusion:
Les triangles XMO et YMO sont
des triangles isométriques
(ACA).
M est donc le milieu de [XY].
B
D