Le Théorème des angles inscrits I/ Introduction Illustration : On apprend en 4ème le théorème suivant : Soit un cercle de centre O. Si AMB est un triangle inscrit dans ce cercle et qu’il possède un côté qui est un diamètre de ce cercle Alors AMC est un triangle rectangle. Remarque : La réciproque est vraie On a donc =90° et =180° . On observe que est la moitié de Existe–t-il une généralisation de cette observation ? la réponse est oui II/Vocabulaire : Angles inscrits, angles au centre 1°) Angles au centre Dans un cercle de centre O, un angle au centre est un angle tel que son sommet soit le centre O. Exemples : est l’angle au centre qui intercepte l’arc de cercle est l’angle au centre qui intercepte l’arc de cercle 2°) Angles inscrits Dans un cercle de centre O, un angle inscrit est un angle tel que son sommet soit un point du cercle et que ses 2 côtés coupent ce cercle. Exemples : et sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle Page 1 sur 4 II/ Enoncé du théorème des angles inscrits Soit un cercle de centre O. Soit . un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle Tous les angles inscrits qui interceptent le même arc mesurent la moitié de angle au centre Illustrations Dans les 2 cas : = A gauche, on a : , Page 2 sur 4 ont la même mesure Preuve : Cas 1 : O est dans le secteur angulaire Cas2 : O est hors du secteur angulaire On trace en pointillés le diamètre ayant M pour extrémité on le note [MN] On trace en pointillés les segments [OA], [OB], [AN] et [NB] On pose x et =y Dans le cas n°1, on a : Calcul de =x+y Dans le cas n°2, on a : : Calcul de =x-y : MOA et MOB sont 2 triangles isocèles en O donc =x et =y MOA et MOB sont 2 triangles isocèles en O donc =x et =y MAN et MBN sont 2 triangles rectangles en respectivement A et B donc : =90-x et =90-y MAN et MBN sont 2 triangles rectangles en respectivement A et B donc : =90-x et =90-y Dans un triangle la somme des 3 angles est égale à 180° donc dans les triangles isocèles OAN et OBN on a : = 180-2×(90-x)=2x =180-2×(90-y)=2y Dans un triangle la somme des 3 angles est égale à 180° donc dans les triangles isocèles OAN et OBN on a : = 180-2×(90-x)=2x =180-2×(90-y)=2y Conclusion du cas n°1 : = =2x+2y =2(x+y) =2 Conclusion du cas n°2 : = =2x-2y =2(x-y) =2 Page 3 sur 4 III/Propriété des angles inscrits interceptant un petit arc et un grand arc Propriété : Soit et un angle inscrit interceptant le petit arc de cercle un angle inscrit interceptant le grand arc de cercle Les angles et (en rouge) (en vert) sont supplémentaires (leur somme est égale à 180°) Preuve : Soit D’ le symétrique de D par rapport à O.[DD’] est un diamètre donc DAD’ et DBD’ sont deux triangles rectangles en respectivement A et B. Dans le quadrilatère DAD’B la somme des 4 angles est égale à 360°. Donc + et donc =180 c'est-à-dire : et sont supplémentaires sont des angles inscrits qui interceptent le même petit arc de cercle = . Conclusion : et sont supplémentaires Page 4 sur 4