Les angles inscrits

Cayphas Aurélie
2ème Math
Les angles inscrits
Lien entre angle inscrit et angle au
centre interceptant le même arc
L’amplitude d’un angle inscrit
égale la moitié de l’angle au
centre interceptant le même arc
1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle
1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle
•
Hypothèse:
[AC] est un diamètre du cercle
centré en 0
•
Thèse:
|Â|= |Ô1| / 2
1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle
• Raisonnement :
Le triangle AOE est isocèle,
donc : |Â|= |Ê1|
Déterminons CÂE
|Â| + |Ô2| + |Ê1|= 180° ( somme des
angles intérieurs d’un triangle )
|Ô1| + |Ô2| = 180° (angle plat)
Donc:
|Â| + |Ô2| + |Ê1|= |Ô1| + |Ô2|
|Â| + |Ê1|= |Ô1|
Or |Â|= |Ê1| donc:
C.Q.F.D
|Â| + |Â| = |Ô1|
2. |Â|= |Ô1|
|Â|= |Ô1| / 2
L’amplitude d’un angle inscrit
égale la moitié de l’angle au
centre interceptant le même arc
2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit
2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit
•
Hypothèse:
[AC] un diamètre du cercle centré en
O.
•
Thèse:
|Â|= |Ô| / 2
(|Ô|= |Ô1| + |Ô2| )
(|Â|= |Â1| + |Â2| )
2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit
•
Raisonnement :
- Par le 1er cas on a:
|Â1|= |Ô1| / 2 et |Â2|= |Ô2| / 2
- Déterminons IÂE:
|Â1|+ |Â2| = |Ô1| / 2 + |Ô2| / 2
- Donc:
|Â|= (|Ô1|+|Ô2|) / 2
car |Â1|+|Â2|=|Â|
|Â|= |Ô| / 2
C.Q.F.D
car |Ô1|+|Ô2|=|Ô|
L’amplitude d’un angle inscrit
égale la moitié de l’angle au
centre interceptant le même arc
3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit
3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit
•
Hypothèse:
[AC] un diamètre du cercle centré en
O.
•
Thèse:
|Â|= |Ô| / 2
(|Ô|= |Ô1| + |Ô2| )
(|Â|= |Â1| + |Â2| )
3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit
•
Raisonnement:
- Par le 1er cas on a:
|Â1|+ |Â2|= (|Ô1|+ |Ô2)|) / 2
et |Â2|= |Ô2| / 2
- Déterminons IÂE:
|Â|-|Â2|= (|Â1|+ |Â2|) - |Â2|
= (|Ô1|+ |Ô2|) / 2 - |Ô2|/ 2
= |Ô1|/2+ |Ô2| / 2 - |Ô2|/ 2
= |Ô1|/2
C.Q.F.D
Conclusion
Dans les trois cas possibles, l’angle au centre interceptant le même
arc de cercle qu’un angle inscrit, vaut le double de celui-ci.
Fin