Fractions algébriques

CHAPITRE 4
Les fractions algébriques
1. Définition et exemples
Définition. Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables1.
Exemples.
2x2
8
est une fraction algébrique de la variable x. Si par exemple x = 2 , cette fraction vaut .
x +1
3
a + 2b
est une fraction algébrique des variables a et b. Si par exemple a = 3 et b = 2 , alors
a −b
cette fraction est égale à 7.
Remarque importante. Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne
s'annule pas. Retenons donc :
a
existe ⇔ b ≠ 0
b
Condition d'existence :
Exemples.
2x2
existe ⇔ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 .
x +1
a + 2b
existe ⇔ a − b ≠ 0 ⇔ a ≠ b .
a −b
2. Simplification et amplification
a) Simplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : diviser le numérateur et le
dénominateur de cette fraction par m.
Simplification par m ≠ 0 :
a⋅m a
=
b⋅m b
Exemples de simplification.
4x 2⋅ 2x 2x
=
=
(Simplification par 2)
6 y 2 ⋅ 3y 3y
3ab 2 3ab ⋅ b 3ab
=
=
5b
5⋅b
5
2
x
⋅
x
+
1
x +x
x
=
=
3x + 3 3 ⋅ x + 1
3
b g
b g
(Simplification par b)
(Simplification par x + 1)
Attention ! On peut seulement simplifier une fraction algébrique par un facteur commun du
numérateur et du dénominateur. Avant de simplifier une fraction, il faut donc factoriser le
numérateur et le dénominateur (cf. dernier exemple ci-dessus). En général, on simplifie la fraction
par le plus grand commun diviseur (pgcd) du numérateur et du dénominateur.
1
Une variable est une lettre représentant un nombre réel quelconque.
Contre-exemples.
x+2
par 2 puisque 2 n'est pas un facteur du numérateur.
4
x2 − 1
par x puisque x n'est pas un facteur du numérateur,
On ne peut pas simplifier la fraction
x +1
ni du dénominateur. On peut néanmoins simplifier la fraction par x + 1 à condition de factoriser
x −1 ⋅ x +1
x2 −1
x −1
=
= x −1.
d'abord le numérateur :
=
x +1
1⋅ x + 1
1
On ne peut pas simplifier la fraction
b gb g
b g
b) Amplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : multiplier le numérateur et le
dénominateur de cette fraction par m. L'amplification est donc le contraire de la simplification.
Amplification par m :
Exemples d'amplification.
2x 2⋅ 2x 4x
=
=
3y 2 ⋅ 3 y 6 y
3ab 3ab ⋅ b 3ab 2
=
=
5
5⋅b
5b
x
⋅
x
+
1
x
x2 + x
=
=
3 3⋅ x + 1
3x + 3
b g
b g
a a ⋅m
=
b b⋅m
(Amplification par 2)
(Amplification par b)
(Amplification par x + 1)
3. Somme et différence de fractions algébriques
Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur :
a c a±c
± =
b b
b
Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions quelconques :
a c a ⋅ d b ⋅ c ad ± bc
± =
±
=
b d b⋅d b⋅d
bd
Expliquons :
• Dans la 1re formule les fractions ont même dénominateur : il suffit alors d'additionner (ou de
soustraire) les numérateurs sur ce dénominateur commun.
• Dans la 2e formule les fractions n'ont pas le même dénominateur : il faut alors amplifier
chacune d'elles pour obtenir un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun (le plus
simple) est le produit des deux dénominateurs b et d. En général, le dénominateur commun est
le plus petit commun multiple (ppcm) de tous les dénominateurs intervenant dans la somme.
Donnons quelques exemples afin d'éclaircir la notion de ppcm.
a b 3a 2b 3a + 2b
+ =
+
=
ppcm 4,6 = 12
4 6 12 12
12
4 3 4x 3 4x + 3
+ 2 = 2 + 2 =
ppcm x , x 2 = x 2
2
x x
x
x
x
7a
3b
35ay 9bx 35ay − 9bx
−
=
−
=
ppcm 12 x ,20 y = 60 xy
12 x 20 y 60 xy 60 xy
60 xy
b g
c h
b
g
2
b g
b g
b gb g b gb g
4b x − 1g − 3b x + 1g
=
b x + 1gb x − 1g
4 x − 4 − 3x − 3
=
b x + 1gb x − 1g
x−7
=
b x + 1gb x − 1g
4 x −1
3 x +1
4
3
−
−
=
x +1 x −1
x +1 x −1
x +1 x −1
b
g b gb g
ppcm x + 1, x − 1 = x + 1 x − 1
Laisser le dénominateur du
résultat sous forme factorisé !!
Voici un dernier exemple plus compliqué :
1
a +1
4
+ 3
− 2
1 − a a − a a − 2a + 1
1
a +1
4
−
=
+
2
2
1− a a a −1
a −1
c
Avant de chercher le dénominateur commun,
il faut factoriser tous les dénominateurs !!
h b g
Avant de chercher le dénominateur commun,
simplifier si possible les fractions !!
1
a +1
4
=
+
−
2
1− a
a a −1 a +1
a −1
b gb g b g
1
4
−1
=
+
−
a −1
aba − 1g ba − 1g
− a ba − 1g
a −1
4a
=
+
−
a ba − 1g
a ba − 1g a ba − 1g
Remarquer les facteurs opposés a − 1 et 1− a
2
2
=
=
=
2
Le dénominateur commun est :
e
b g b g j = aba − 1g
ppcm a − 1, a a − 1 , a − 1
2
2
2
− a 2 + a + a − 1 − 4a
b g
a a −1
2
Factoriser le résultat si possible, i.e.
• laisser le dénominateur sous forme
factorisée
et
• factoriser si possible le numérateur du
résultat
− a − 2a − 1
2
b g
a a −1
c
2
h
− a 2 + 2a + 1
b g
ba + 1g
=−
aba − 1g
a a −1
2
2
2
4. Produit et quotient de fractions algébriques
Pour faire le produit de deux fractions, il est inutile de prendre un dénominateur commun :
a c a ⋅c
⋅ =
b d b⋅d
En particulier :
a⋅
c a c a ⋅c
= ⋅ =
d 1 d
d
3
Exemples.
3x 5
3x ⋅ 5 15x
⋅
=
=
2 y 2a 2 y ⋅ 2a 4ay
b gc
b gc
h b gb g
h b gb gb g b g
a − 2 a2 + a
a − 2 a a +1
a − 2 a2 + a
a
⋅ 2
=
=
=
2
3 a +1 a − 4 3 a +1 a − 4
3 a +1 a − 2 a + 2
3 a+2
b g
Voici la formule donnant le quotient de deux fractions :
a
b = a ÷ c = a ⋅ d = ad
c b d b c bc
d
En particulier :
a
b = a ÷ c = a ⋅1 = a
c b 1 b c bc
a a c a d ad
= ÷ = ⋅ =
c 1 d 1 c
c
d
et :
Exemples.
2
2
2 x 2x
1
x = 2⋅ = 2 =
4
x 4 4x
2x
x
a
a 1
a
2b =
⋅ =
3c 2b 3c 6bc
a
a 3c 3ac
= ⋅ =
2b 1 2b 2b
3c
x−6
2
x+6
x − 6 x 2 + 12 x + 36 x − 6
x+6
=
⋅
=
⋅
=1
x 2 − 36
x+6
x 2 − 36
x+6 x+6 x−6
x 2 + 12 x + 36
b g
b gb g
Pour terminer ce chapitre, nous insistons sur un point important :
Opposé d'une fraction :
−
a −a
a
=
=
b
b
−b
Exemples.
−
1
1
=
a − 3 3− a
−
x + 4 −x − 4 x + 4
=
=
3− y
3− y
y−3
4