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1- Généralités 1.1- Notion de mouvements relatifs Parler de mouvement d’un solide, de vitesse ou de trajectoire d’un point appartenant un solide n’a de sens que si on défini par rapport à quoi on étudie le mouvement. Exemple : On n e peut pas définir la trajectoire du centre de la lune, par contre on sait que la trajectoire du centre de la lune par rapport à la terre se rapproche d’un cercle alors que le trajectoire du centre de la lune par rapport au soleil se rapproche d’une épicyc loïde. 1.2- Définitions et notations 1.2.1- Orientation et vitesse de rotation On appelle orientation d’un solide 1 par rapport au solide 2 l’angle entre un axe X1 fixe dans le solide 1 et un axe X2 fixe dans le solide 2. On la note q1/2 . On appelle vitesse de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 la variation de l’orientation par rapport au temps (C’est la dérivée de l’orientation par rapport au temps). On la note w1/2 et elle s’exprime en radians par seconde : rad/s ou rad.s 1 . On appelle fréquence de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 la vitesse de rotation exprimée en t ours par minute : tr/min ou tr.min 1 . On la note N 1/2. La relation entre vitesse de rotation et fréquence de rotation est : 2 . p . N1/2 w1/2 = 60 1.2.2- Trajectoire d’un point On appelle trajectoire d’un point M appartenant au solide 1 par rapport au solide 2 la courbe décrite par les points M au cours du temps dans un repère fixe par rapport au solide 2. On la note TM1/2 . 1- Généralités 1.2- Définitions et notations 1.2.3- Position et vitesse d’un point On appelle position d’un point M appartenant au solide 1 par rapport au solide 2, le vecteur O2M où O2 est le centre d’un repère fixe dans le solide 2. On appelle vitesse d’un point M appartenant au solide 1 par rapport au solide 2 la variation de la position de ce point M par rapport au temps. (C’est la dérivée du vecteur O2M par rapport au temps). Cette vitesse est donc un vecteur noté : VM1/2 1.2.4- Propriété de la vitesse par rapport à la trajectoire Le vecteur VM1/2 est toujours tangent à la trajectoire T M1/2. 1.3- Les différents types de mouvements plan Dans un problème plan, le mouvement d’un solide 1 par rapport à un solide 2 peut être : - Une rotation : Dans ce cas il existe un point O, appelé centre de rotation, appartenant au solide 1 dont la vitesse par rapport au solide 2 est toujours nulle. VO1/2 = 0 - Une translation : Dans ce cas l’orientation du solide 1 par rapport au solide 2 est toujours la w1/2 = 0 même. q1/2 = Constante - Un mouvement plan quelconque : Dans ce cas il n’existe pas de point dont la vitesse est toujours nulle et l’orientation du solide 1 par rapport au solide 2 n’est pas constante. 1- Mouvement de rotation 1.1- Liaison donnant un mouvement de rotation Si les solides 1 et 2 sont en liaison pivot d’axe (O, un mouvement de rotation d’axe (0, Z ). Z ) alors le mouvement de 1 par rapport à 2 est 1.2- Liaisons équivalentes pour des problèmes plans 2 2 O O Y 1 2 O Y X Liaison pivot d’axe (O, Z ) 1 2 O Y X Liaison pivot glissant d’axe (O, Z ) 1 Y X Liaison rotule De centre O 1 X Liaison linéaire annulaire D’axe (O, Z ) 1- Mouvement de rotation 1.3- Caractéristiques d’un mouvement de rotation TM2/1 1 Soit un solide 2 en rotation d’axe (O, Z ) par rapport à un solide 1, et w2/1 la vitesse de rotation de 2 par rapport à 1. Alors, on a les caractéristiques suivantes : - La trajectoire de M appartenant à 2 par rapport à 1 : M TM2/1 est un arc de cercle de rayon [OM] O - La vitesse de M appartenant à 2 par rapport à 1 : 2 VO2/1 perpendiculaire au rayon [OM] : VM2/1 VM2/1 est ^ [OM] - Le module de la vitesse de M appartenant à 2 par rapport à 1 ||VM2/1|| est : ||VM2/1|| = | w2/1| . R R = OM - La vitesse du centre de rotation est nulle: VO2/1 = 0 où : et w2/1 en rad.s-1 . 2- Mouvement de translation rectiligne 2.1- Liaison donnant un mouvement de translation rectiligne Si les solides 1 et 2 sont en liaison glissière d’axe D alors le mouvement de 1 par rapport à 2 est un mouvement de translation d’axe D . 2.2- Liaisons équivalentes pour des problèmes plans O 2 O 1 2 O 1 Y X Liaison glissière d’axe (O, X ) O 1 Y Y X 2 Liaison pivot glissant d’axe (O, X ) 2 1 Y X X Liaison linéaire rectiligne de normale (O, Y ) Liaison appui plan de normale (O, Y ) 2.3- Caractéristiques d’un mouvement de translation rectiligne VN2/1 D N VM2/1. 2 TM2/1 TM2/1 est une droite // D passant par M. 1 M Soit un solide 2 en translation rectiligne d’axe (D ) par rapport à un solide 1. Alors, on a les caractéristiques suivantes : - La trajectoire du point M appartenant à 2 par rapport à 1 : - La vitesse du point M appartenant à 2 par rapport à 1 : VM2/1 est parallèle à D : VM2/1 // D - Les vitesses de tous les point appartenant à 2 par rapport à 1 sont identiques. Pour tout point N : VN2/1 = VM2/1. 3- Mouvement de translation circulaire Si un solide 2 est lié à un solide 1 à l’aide d’un parallélogramme déformables (deux biellettes parallèles et de même longueur); Alors le mouvement de 2 par rapport à 1 est une translation circulaire TM2/1 TN 2/1 1 3 Caractéristiques - Les trajectoires sont des cercles - Les vitesses sont tangentes à ces trajectoires - Les vitesses sont toujours identiques. C’est-à-dire : que pour tout point M et N : VN2/1 2 4 N VM2/1 = VM2/1 VN 2/1 4- Vitesse de glissement. 4.1- Définition de la vitesse de glissement Si les solides 1 et 2 sont en liaison ponctuelle de centre O et de normale (O, Y ) alors : La vitesse de glissement de 2 sur 1 est VO2/1 4.2- Liaisons équivalentes pour des problèmes plans 2 O Y X 1 Liaison ponctuelle de normale (O, Y ) 2 2 O Y X Y X 1 Liaison linéaire rectiligne de normale (O, Y ) et de contact (O, Z ) 1 Liaison linéaire annulaire d’axe (O, X ) 4.3- Caractéristique de la vitesse de glissement La vitesse de glissement de 2 par rapport à 1 est dans le plan tangent commun au contact ponctuel. C’est à dire que cette vitesse : O Normale au contact ponctuel 1 VO2/1 VO2/1 est perpendiculaire à la normale du contact ponctuel. 2 M 5- Loi de composition des vitesses 5.1- Enoncé du théorème de composition des vitesses Soit trois solides 1, 2 et 3 en mouvements plans quelconques où particuliers les uns par rapport aux autres et un point M quelconque. Alors on a toujours la loi suivante : VM1/2 = VM1/3 + VM 3/2 5.2- Quand utiliser cette loi ? On utilise cette loi lorsque l’on connaît la vitesse d’un point M appartenant à un solide par rapport à un deuxième solide et qu’on recherche la vitesse du même point M , appartenant à et par rapport à des solides différents . 6- Loi d’équiprojectivité des vitesses 6.1- Enoncé du théorème d’équiprojectivité Soit deux point M et N quelconques et deux solides 1 et 2 en mouvement plan quelconque ou particulier l’un par rapport à l’autre . Alors ou a toujours la loi suivante : Le projeté orthogonal de VM1/2 sur la droite (MN) est égal au projeté orthogonale de VN1/2 sur la même droite (MN). VM1/2 . MN = VN1/2 . MN 6.2- Quand utiliser cette loi On utilise cette loi lorsque l’on connaît la vitesse d’un point M appartenant à un solide par rapport à un deuxième solide et qu’on recherche la vitesse d’un point différent N, appartenant à et par rapport aux mêmes solides . 7- Centre instantané de rotation : CIR 7-1- Théorème Soit deux solides 1 et 2 en mouvement plan quelconque différent d’une translation , alors à n’importe quel instant du mouvement il existe toujours un point I dont la vitesse est nulle : C’est le Centre Instantané de Rotation (CIR) de 2 par rapport à 1 VI1/2 = 0 On le note : I2/1 7-2 Propriétés du CIR A la date donnée, tout se passe comme si le solide 2 était en rotation de centre I 2/1 par rapport à 1 : - Le CIR est à l’intersection de tous les rayons. Donc si on connaît la direction de deux vitesses de deux points différents alors le CIR est à l’intersection des perpendiculaires à ces directions passant par ces deux points. Cette propriété permet de déterminer le CIR. - Toutes les vitesses ont des directions perpendiculaires aux rayons : VM1/2 ^ (I 2/1 M) . Cette propriété permet de déterminer la direction d’une vitesse. Le CIR est un point qui varie au cours du temps sauf si le mouvement d’un solide par rapport à l’autre est un mouvement de rotation. Dans ce cas le CIR est toujours le centre de rotation .
