Trigonométrie

Exercice 1 :
1- Déterminer une mesure en radian de l’angle de mesure 150˚.
5π
.
2- Déterminer une mesure en degrés de l’angle de mesure
3
Solution :
1- Les mesures en radians et degrés sont deux à deux proportionnelles :
Radians 2π
x
Degrés 360 150
2π × 150 5π
x=
=
.
360
6
25π
Radians 2π
3
Degrés 360
y
360 × 5π
3
y=
= 300˚.
2π
Exercice 2 :
1- Déterminer la mesure en radians des angles suivants : 270˚ et 100˚
11π
7π
et −
.
2- Déterminer la mesure en degrés des angles suivants :
12
17
Exercice 3 : Placer les points repérés par les nombres suivants sur le cercle trigonométrique.
5π
2π 13π
28π
−
−
.
6
3
6
3
Solution :
π
5π
=π−
6
6
2π
π π
−
=− π−
= − π.
3
3
3
13π
π
= 2π + .
6
6
28π
30π 2π
2π
π
=−
+
= −10π +
= −10π + π − .
−
3
3
3
3
3
1
Exercice 4 : Même exercice avec : −
5π
3
Exercice 5 : Même exercice avec : −
17π
2
17π
6
11π
12
30π
4
−27π.
13π
3
57π
.
4
Exercice 6 : Exprimer les cosinus et sinus suivants à l’aide des valeurs remarquables de ces deux fonctions. Justifier.
17π
17π
cos
et sin
.
6
6
Solution :
2
!
17π
5π
= cos 2π +
6
6
5π
= cos
car pour tout nombre x réel, cos (x + 2π) = cos x.
6
π
= cos π −
6
π
= − cos
√ 6
3
=−
2
!
17π
5π
sin
= sin 2π +
6
6
5π
= sin
car pour tout nombre x réel, sin (x + 2π) = sin x.
6
π
= sin π −
6
π
= sin
6
1
=
2
!
!
5π
5π
et sin
.
Exercice 7 : Même énoncé avec cos
3
3
!
!
21π
21π
Exercice 8 : Même énoncé avec cos −
et sin −
.
4
4
!
!
171π
171π
et sin
.
Exercice 9 : Même énoncé avec cos
2
2
cos
1
.
3
8
Solution : Pour tout réel α, cos2 α + sin2 α = 1, donc sin2 α = 1 − cos2 α = .
9
√
√
√
2 2
2 2
2 2
Donc sin α = −
ou sin α =
. Or α ∈ [0; π], donc sin α > 0 donc sin α =
.
3
3
3
Exercice 10 : Pour α ∈ [0; π], calculer le sinus de α sachant que cos α =
1
Exercice 11 : Pour β ∈ [−π; 0], calculer le sinus de β sachant que cos β = − .
4
π π
1
Exercice 12 : Pour γ ∈ − ; , calculer le cosinus de γ sachant que sin γ = .
2 2
2
3
Réponses.
Réponses exercice 2 :
3π 5π
1et
2
9
1980
2- 105˚ et −
˚ ≈ −116, 47˚.
17
Réponses exercice 4 :
Réponses exercice 5 :
Réponses exercice 7 :
√
!
!
5π
1
5π
3
cos
= et sin
=−
.
3
2
3
2
4
Réponses exercice
√ 8:
!
! √
2
2
21π
21π
=−
et sin −
=
.
cos −
4
2
4
2
Réponses !exercice 9 :
!
171π
171π
cos
= 0 et sin
= −1.
2
2
Réponses√exercice 11 :
15
sin β = −
.
4
Réponses√ exercice 12 :
3
cos γ =
2
5