Feuille TD 4 : espérance, variance

Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités
Feuille TD 4 : espérance, variance
Exercice 1 :
On considère une variable aléatoire
X
à valeurs dans
{1, . . . , 5}
de loi
P{X = 1} = 1/4, P{X = 2} = 1/6, P{X = 3} = 1/12,
P{X = 4} = 1/3, P{X = 5} = 1/6.
Calculer son espérance.
E(X) = 3
(calcul simple).
Exercice 2 :
Calculer de deux façons l'espérance de la somme des lancers de deux dés à 6 faces :
1. en utilisant la loi de la somme des deux lancers,
2. en utilisant la linéarité de l'espérance.
Méthode 1 : la loi de la somme est donnée par le tableau
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
7.
X1 , X2 le résultat de chque lancer.
Le calcul donne alors une espérance de
Méthode 2 : On note
Alors
E(X1 +X2 ) = E(X1 )+E(X2 ) = 7
(on a utilisé que l'espérance d;un lacer est 3.5).
Exercice 3 (Cours; ou refaire le calcul. . .)
Donner l'espérance et la variance d'une loi de Poisson de paramètre
Espérance
λ,
variance
λ > 0.
λ.
Exercice 4
Calculer l'espérance et la variance d'une loi uniforme sur
n
X
k=1
k2 =
On rappelle que
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
(N + 1)/2, variance (N 2 − 1)/12. (Noter qu'on trouve une variance
variance 1/4, comme une loi de Bernoulli avec p = 1/2 pour N = 2).
Espérance
et une
{1, . . . , N }.
nulle si
N = 1,
Exercice 5
Un joueur a
2N − 1
euros en poche,
N ≥ 1,
et joue sur rouge/noir au casino. (La probabilité
de gain est supposée égale à 1/2.) Au premier coup, il mise un euro sur le noir. Si le noir sort,
il empoche, en plus de sa mise, un euro et arrête de jouer. S'il perd, il rejoue en misant deux
euros sur le noir. S'il gagne lors cette deuxième mise, il empoche, en plus de ses trois euros de
mise, un euro et arrête de jouer. S'il perd, il rejoue en doublant sa mise, i.e. en misant quatre
euros sur le noir. Et ainsi de suite...
1. Expliquer pourquoi le joueur est sûr de pouvoir jouer
N
fois.
Supposons (cas le plus défavorable) que le joueur perd toujours; sa perte totale après
N
partie est
1 + 2 + 22 + . . . + 2N −1 = 2N − 1
(NB : c'est un calcul de somme de série géométrique). Le jouer a donc au départ assez
d'argent pour jouer au moins
2. Les issues des
N
N
parties.
lancers rouge/noir sont modélisés par
N
variables aléatoires de Bernoulli
X1 , . . . , X N .
Décrire à partir de X1 , . . . , XN l'événement : le joueur perd toute sa fortune
N lancers. Calculer sa probabilité.
On note Xi = 1 si le noir sort au ie coup, Xi = 0 si c'est le rouge. L'événement le joueur
perd toute sa fortune au bout des N lancers s'écrit
au bout des
{X1 = 0} ∩ {X2 = 0} ∩ . . . ∩ {Xn = 0}
Comme les
Xi
sont indépendantes, la proba de cet 'evénement est
(1/2)N .
S le gain algébrique empoché par le joueur au bout des N lancers.
N
qu'il vaut 1 ou −2 + 1. Donner la loi de S .
S peut prendre les valeurs 1 ou −2N + 1. En utilisant le calcul précédent :
3. On désigne par
Montrer
P(S = −2N + 1) = (1/2)N ; P(S = 1) = 1 − (1/2)N .
S.
4. Calculer l'espérance de
E(S) = 0.
Commenter.
Le joueur a une très forte proba de gagner une petite somme, et une très faible
proba de tout perdre. Notons que l'espérance de gain à chaque partie est nulle, et que
le gain total est la somme des gains de chaque partie. Donc l'espérance du gain total est
nécessairement nulle.
Exercice 6
Une chaîne de fabrication produit des objets qui peuvent être défectueux, selon les hypothèses
de modélisation suivantes :
1. la chaîne produit en une heure un nombre aléatoire Y d'objets,
Y
à valeurs dans
{0, . . . , N },
N ≥ 1,
2. chaque objet produit a une probabilité
p = 1/10
d'être défectueux, indépendamment de
tous les autres.
Le nombre d'objets défectueux produits en une heure par la chaîne de fabrication est modélisé
par une variable aléatoire
X.
1. Montrer que
P(X = k) =
+∞
X
P(Y = n)P(X = k|Y = n)
n=0
C'est la formule des probabilités totales.
2. En déduire
E(X) =
+∞ X
∞
X
P(Y = n)kP(X = k|Y = n)
k=0 n=0
On écrit la formule donnant l'espérance en utlisant la question précédente, et on trouve
le résultat.
k, n ≥ 0, que vaut la probabilité conditionnelle P{X = k|Y = n} ?
k ≤ n et k > n.) Si k > n, P{X = k|Y = n} vaut 0. Si k ≤ n,
P{X = k|Y = n} est la probabilité d'une loi binomiale de paramètres (n, p).
3. Pour deux entiers
(Bien distinguer les cas
4. En admettant qu'on peut permuter les sommes sur
E(X) =
=
=
=
+∞ X
∞
X
P(Y = n)kP(X = k|Y = n)
k=0 n=0
+∞
X
∞
X
n=0
+∞
X
k=0
n
X
P(Y = n)
n=0
+∞
X
k et sur n, montrer que E(X) = pE(Y ).
P(Y = n)
kP(X = k|Y = n)
kP(X = k|Y = n)
k=0
P(Y = n)np
n=0
= pE(Y )
On a utilisé l'espérance d'une loi biniomiale entre les lignes 3 et 4, puis la dénition de
l'espérance de
Y
entre les lignes 4 et 5.
Exercice 7 :
A la sortie d'un restaurant, le garçon remet, à
chapeaux au hasard.
Xi
n
Les clients sont numérotés de
hommes venus déjeuner ensemble, leurs
1
à
n
: pour le client
la variable aléatoire valant 1 si le chapeau distribué est le bon et
chapeaux correctement distribués est
1. Donner la loi de chaque
Xi .
0
i,
on désigne par
sinon. Le nombre de
S = X1 + · · · + X n .
S.
n!; nombre de distributions sachant que i a
de Xi est B(1/n). Donc l'espérance de S est
En déduire l'espérance de
Nombre total de distributions possibles :
eu son chapeau :
n × 1/n = 1
(n − 1)!.
(notons que les
2. Donner la valeur de
Donc la loi
Xi
E(Xi Xj )
ne sont pas indépendants).
pour
i 6= j .
Yij = Xi Xj peut prendre les valeurs 0
Yij = 1 est (n − 2)!. Donc la loi de Yij
En déduire la variance de
S.
1. Le nombre de distributions correspondant
B(1/[n(n − 1)]), et E(Xi Xj ) = 1/[n(n − 1)].
X
E(S 2 ) = E(X12 ) + . . . + E(Xn2 ) +
E(Xi Xj ) = 2
et
à
est
i6=j
Donc
V(S) = 1.
Xi , dénombrer toutes les distributions de chapeaux, et celles
i a eu le bon chapeau. Pour calculer E(Xi Xj ), dénombrer les distributions pour
Indication : pour obtenir la loi de
pour lesquelles
lesquelles
i
et
j
ont eu le bon chapeau.
Exercice 8 :
Un joueur décide d'aller jouer sur rouge/noir à la roulette d'un casino. Il mise un euros à chaque
18/37 (en raison du zéro); il perd sa mise
Xi son gain à la partie i, Sn = X1 + . . . + Xn
Yn = Sn /n son gain moyen par partie.
fois, et gagne un euro (plus sa mise) avec probabilité
avec probabilité
19/37.
Il joue
n parties.
On note
son gain total (qui peut bien sûr être négatif ), et
1. Donner la loi de
Xi
et calculer son espérance.
P(X1 = 1) = 18/37 ; P(X1 = −1) = −19/37
E(Xi ) = −1/37.
2. Donner l'espérance et la variance de
Yn .
E(Yn ) = −1/37 ; V(Yn ) = [1 − (1/37)2 ]/n
3. On note
n
gn la probabilité que le joueur gagne de l'argent.
Comment se comporte
gn quand
tend vers l'inni ?
On peut utiliser la loi des grands nombres
gn = P(Yn > 0) = P((Yn − E(Xi )) > 1/37) ≤ P(|Yn − E(Xi )| > 1/37) → 0
Donc
gn
tend vers
0.