Leçon 231 - site de Vincent obaton

Leçon 231
Espérance, Variance, Covariance, Loi faible des grands nombres ...
I. Espérance d'une v.a.r : E(X)
Définition :
v.a.r discrète
Si
∑ x k p X =x k 
CA alors E(X) =
k 1
v.a.r continue à densité f
Si
∫ tf t  dt
CA alors E(X) =
ℝ
∑ x k p  X =x k 
k 1
∫ tf t  dt
ℝ
Interprétation :
Moyenne des valeurs prises pndérée par leurs proba.
Ex : Si X représente un gain au jeu alors E(X)
représente le gain moyen que l'on peut espérer.
E(X)=0 ( Equilibré )
E(X)<0 On peut espérer perdre plus que l'on gagne.
Exemples d'espérances :
Loi de Bernouilli : E(X) = p
Loi de poisson : E(X) = 
ab
Loi uniforme : E(X) =
2
1
Loi exponentielle : E(X) =

Propriétés :
1)
v.a.r discrète :
Si  est une application de ℝ dans ℝ telle que (X) admet une espérance
alors E((x))=
∑  x k  p  X =x k 
k 1
v.a.r continue à densité f
Si  est une application de ℝ dans ℝ continue sur Y() telle que (X) admet une espérance
alors E((X))=
∫ t  f t dx
ℝ
Ex : Si X admet une espérance
E(aX+b) = aE(X)+b
2 ) Si X et Y admettent une espérance
alors E( X + Y ) = E( X ) + E ( Y )
3 ) Si X et Y sont indépendantes E(XY)=E(X)E(Y)
II. Variance et écart-type
Définition :
Si X est une v.a.r, si X² ( et par suite X ) admet une espérance alors X admet :
Une variance V(X) = E [ (X – E(X))² ]
Formule de Huyghens : V(X) = E(X²) – E²(X)
Un écart-type (X) =  V  X 
© Vincent Obaton, 2005 ( Préparation à l'Agrégation Interne )
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v.a.r discrète
V(X) =
∑  x k −E  X ²p X =x k 
k 1
v.a.r continue à densité f
V(X) =
∫ t−E  X ²f t dt
ℝ
Interprétation :
Deux v.a.r peuvent avoir la même espérance tout en présentant des caractéristiques de dispersion différentes.
On mesure la dispersion grâce à la variance et l'écart-type.
Exemples de variances :
Loi de Bernouilli V(X) = pq
Loi de Poisson V(X) = 
b−a ²
Loi uniforme V(X) =
12
1
Loi exponentielle V(X) =
²
Propriétés :
1 ) Si X admet une variance V(aX+b)=a²V(X)
2 ) Si X et Y indépendants V(X+Y)=V(X)+V(Y)
III.Covariance
Définition :
Si X et Y admettent une variance ( XY admet une espérance ), on définit la covariance comme :
Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E(XY) – E(X)E(Y)
Propriétés :
1 ) Cov(X,Y) = Cov(Y,X) ( Symétrique )
2 ) Cov est bilinéaire ( linéaire par rapport à X et Y )
3 ) Si X et Y indépendantes Cov(X,Y)=0 ( récip fausse )
4 ) Si X 1, ... , X n v.a.r admettent une espérance alors
i=n
V  X 1... X n =∑ V  X i 2
i=1
∑
1 i jn
Cov  X i , X j 
Conséquence
si X i et X j indépendants ∀ i ≠j alors
V  ∑ X i =∑ V  X i 
IV.Loi faible des grands nombres
Définition :
On dit que  X n n1 cv en probabilité vers X si
∀ 0 lim p∣X n− X ∣=0
∞
Inégalité de Biénaymé-Tchebychev
Soit X une v.a.r admettant une variance
V  x
∀ 0 p∣X −E  X ∣
²
Théorème : Loi faible des grands nombres
Soit  X n n1 suite de v.a.r de même loi, deux à deux indépendantes et admettant une variance.
n
Posons
∑ Xi
S n= i=1
n
alors
S n cv en probabilité vers la v.a.r égale à
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E  X n
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donc
∀ 0 lim p ∣S n−E∣=0
∞
V. Application :
On lance une pièce n fois.
S
Trouver n tq p0,46  n 0,540,95
n
Développements possibles
1. Démonstratin du théorème de la loi faible des grands nombres et de l'inégalité de Biénaymé-Tchebychev
2. Les propriétés de l'espérance :
- Si X admet une espérance
E(aX+b) = aE(X)+b
- Si X et Y admettent une espérance
alors E( X + Y ) = E( X ) + E ( Y )
- Si X et Y sont indépendantes E(XY)=E(X)E(Y)
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