1 Raisonnement par négation 2 Raisonnement
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Méthodes et raisonnements pour la classe de première S 1 Raisonnement par négation Commençons par rappeler que la négation d’une propriété P est la propriété qui est fausse lorsque P est vraie et qui est vraie lorque P est fausse. Il est parfois plus aisé, lorsque l’on souhaite prouver qu’une propriété est vraie (respectivement fausse), de prouver que sa négation est fausse (respectivement vraie). À noter que, pour démontrer qu’une propriété est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire un exemple qui la mette en défaut. Exercice 1 Seconde/Logique/exo-006/texte Déterminer, pour chacune des affirmations suivantes, si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse donnée. 4. Pour tout réel e, (e + 2)2 > e2 + 4e. 1. Si x2 > 4, alors x > 2. 5. La négation de « Aucun élève de la classe n’a obtenu la moyenne lors du devoir. » est « Tous les élèves de la classe ont obtenu la moyenne lors du devoir. » 2. Pour tous réels x et y, (x + y)3 = x3 + y 3 . √ √ √ 3. Pour tous réels positifs a et b, a + b = a + b. 6. La négation de « Le réel k est inférieur ou égal à 1. » est « Le réel k est supérieur ou égal à 1. ». 4. Pour tout réel p, le réel (−10p) est négatif. Exercice 3 5. Il n’existe pas d’équation qui admette exactement cinq solutions réelles distinctes. Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. 6. Si a et b sont deux entiers naturels alors, (a + b)2 − (a − b)2 est un entier naturel. 4 7. Pour tout réel u, u2 6= 4u. 8. Il existe un entier multiple de 4 et multiple de 6 mais qui n’est pas multiple de 24. Exercice 2 Seconde/Logique/exo-018/texte Déterminer, pour chacune des affirmations suivantes, si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse donnée. 1. Il existe un réel a tel que a2 = 3 × a. 2. Pour tous réels strictement positifs b et c : 1 1 2 + = b c b+c 3. Il existe un nombre réel d tel que d2 < 0. 2 Seconde/Logique/exo-020/texte 1. La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. 2. Soit deux nombres ayant pour somme 300. Si l’on augmente chacun d’eux de 7 alors le produit augmente de 2149. 3. Dans l’expression n2 − 14n + 49, si l’on remplace n par n’importe quel nombre entier naturel, on obtient toujours un nombre différent de zéro. 4. La somme de deux nombres impairs consécutifs est toujours multiple de 4. 5. Dans l’expression n2 −n+11, si l’on remplace n par n’importe quel nombre entier naturel, on obtient toujours un nombre qui n’a que deux diviseurs, 1 et lui-même. Raisonnement par contraposition On appelle contraposée de l’implication « Si A alors B. » l’implication « Si (non B) alors (non A). ». Une implication et sa contraposée sont soit toutes les deux vraies soit toutes les deux fausses. Il est parfois plus aisé, lorsque l’on souhaite prouver que A =⇒ B, de prouver que (nonB) =⇒ (non A). Exercice 4 Seconde/Logique/exo-024/texte 1. Un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7 cm et BC = 8 cm est-il rectangle ? Justifier. 4. Soit m et p deux entiers naturels non nuls. Justifier que : mp = 1 =⇒ m = p = 1 Exercice 5 Seconde/Logique/exo-023/texte 2. n désignant un entier, démontrer que si (n2 +n) est strictement négatif alors n est strictement négatif. 1. Prouver que : ∀n ∈ N n impair =⇒ n2 impair 3. n désignant un entier, prouver que si (n2 − 1) n’est pas divisible par 8 alors n est pair. 3. Traduire les deux propositions démontrées précédemment en une seule phrase. 2. Prouver que : ∀n ∈ N n2 impair =⇒ n impair Méthodes et raisonnements pour la classe de première S 3 Raisonnement par disjonction de cas Exercice 6 Seconde/Logique/exo-022/texte 1. Vérifier que, pour tout entier naturel n, l’entier n(n + 1)(2n + 1) est un multiple de 3. 2. Démontrer que, si u est un rationnel qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est de la forme 2p × 5q , où p et q sont des entiers naturels, alors u est un décimal. √ 3. Résoudre l’inéquation x − 1 > x − 3. 4. n étant la somme de deux carrés d’entiers, prouver que le reste de la division de n par 4 n’est jamais égal à 3. 4 5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; #» ı , #» ), rechercher l’ensemble des √ p points M de 2 coordonnées (x; y) vérifiant x + y 2 = 4. 6. Soit k un réel et f une fonction monotone sur un intervalle I. Que peut-on dire des variations de la fonction (k × f ) sur I ? ✎ (k × f ) est définie par (k × f )(x) = k × f (x). 7. Soit M et P deux points et d une droite du plan. Déterminer le nombre de points S, situés sur la droite d, tels que le triangle M P S soit isocèle en M . Raisonnement par l’absurde Pour démontrer par l’absurde que « A implique B », on conserve l’hypothèse A et on ajoute, comme hypothèse supplémentaire, la négation de la conclusion, c’est-à-dire (non B), puis on élabore un raisonnement qui aboutit à une contradiction. Il en résulte alors que, lorsque A est vraie, (non B) est fausse donc B est vraie. Exercice 7 Seconde/Calcul-algébrique/exo-071/texte 1)2 . 1. Développer, réduire et ordonner (2k + Que peut-on en déduire au sujet de la parité du carré d’un entier impair ? 2. Montrer qu’il n’existe pas de triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois entiers impairs consécutifs. 3. Existe-t-il un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois entiers pairs consécutifs ? Exercice 8 Seconde/Logique/exo-025/texte 1. Soit a et b deux réels strictement positifs. Prouver b a = alors a = b. que si 1+b 1+a 2. Soit √ n un entier naturel non nul. Démontrer que n2 + 1 n’est pas un entier. Exercice 9 Seconde/Calcul-algébrique/exo-090/texte Est-il possible de trouver deux réels a et b tels que, pour tout réel x, x2 − 3x + 4 = (x + 1)(ax + b) ? Exercice 10 Seconde/Logique/exo-021/texte Trois frères Alfred, Bernard et Claude ont des crayons de couleur différente bleu, rouge et vert. De plus, les assertions suivantes sont vraies : • Si le crayon d’Alfred est vert, alors le crayon de Bernard est bleu ; • si le crayon d’Alfred est bleu, alors le crayon de Bernard est rouge ; • si le crayon de Bernard n’est pas vert, alors le crayon de Claude est bleu ; • si le crayon de Claude est rouge, alors le crayon d’Alfred est bleu. Que peut-on conclure sur la couleur respective des crayons d’Alfred, Bernard et Claude ? Y a-t-il plusieurs possibilités ? Problème Seconde/Logique/exo-003/texte Le but de l’exercice est de√prouver par deux méthodes différentes que le nombre 2 est irrationnel. 1. Première méthode : √ Supposons que 2 soit rationnel et s’écrive sous a forme irréductible où a et b sont des entiers nab turels non nuls. a) Établir que dans ce cas a2 = 2b2 . b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Nombre a a2 b 2b2 0 Chiffre des unités 1 2 ... 7 8 9 0 1 9 2 ... 7 8 c) Déduire des questions précédentes les chiffres des unités respectifs de a et b. d) Expliquer en quoi ce dernier résultat est en contradiction avec l’hypothèse de départ puis conclure. 2. Seconde méthode : a) Montrer que si p est un entier impair alors p2 l’est aussi. √ b) Supposons que 2 soit rationnel et s’écrive sous p forme irréductible où p et q sont deux entiers q naturels non nuls. Montrer que p est pair. c) Établir que q est pair également puis conclure.
