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Les notations mathématiques
Les quantificateurs
Quantificateur existentiel :
Quantificateur universel :
∃
∀
Il existe un... (sous entendu au moins un)
Il existe un unique...
Pour tout
Quel que soit
Soient A et B deux points distincts du plan, il existe un
point équidistant de A et B :
Soient A et B deux points distincts du plan, tout point
équidistant de A et B est sur ...
Solution d'une équation
Différentes expressions d'une même fonction
Fonction carré :
Fonction carré :
Les ensembles
Définition : un ensemble désigne une collection d'objets mathématiques.
Ensembles définis par extension : ensemble des oiseaux = {Le perroquet de ma belle-mère; ...}
Ensemble des entiers naturels : ℕ={...
}
Ensembles définis par compréhension : ensemble des oiseaux = {animal | vertébré ovipare couvert de plumes }
Cas des intervalles : [1;3[={...
Appartenance :
Inclusion :
∈
⊂
Soient a un élément et A un ensemble. L'élément a
appartient à l'ensemble A signifie que l'élément a fait partie
de la collection A. On note : a ∈ A
Ex: Titi appartient à l'ensemble des oiseaux.
Soient A et B deux ensembles. A est inclus dans B signifie
que tout élément de A appartient à B. On note A ⊂ B
Ex : l'ensemble des perroquets est inclus dans l'ensemble
des oiseaux.
Ensemble de nombres :
Ensemble de nombres :
Intervalles :
Intervalles :
Probabilités : issue
Probabilités : événement
Intersection :
Soient A et B deux ensemble. L'ensemble A ∩ B est
constitué des éléments appartenant à la fois à l'ensemble A
et à l'ensemble B.
{Labradors} ∩ {chiens noirs} = ...
Réunion :
∩
∪
Soient A et B deux ensemble. L'ensemble A ∪ B est
constitué des éléments appartenant à l'ensemble A ou à
l'ensemble B. Ici "ou" est non exclusif, pour qu'un élément
appartienne à A ∪ B il suffit qu'il appartienne à l'un des
deux.
{Labrador} ∪ {chiens noirs} = ...
Diagramme de Venn :
Diagramme de Venn :
Intervalles :
Intervalles :
Résolution d'un système d'équation :
Résolution d'une équation "produit nul" :
Probabilités :
Probabilités :
Le complémentaire d'un ensemble A est l'ensemble noté A constitué des éléments n'appartenant pas à A.
Exemples : on considère les chiens, et N l'ensemble des chiens noirs. Alors N est l'ensemble ...
En probabilités : ...
La logique mathématique
Les propositions
Définition : une proposition (ou assertion) est un énoncé pouvant être vrai ou faux.
Exemple : on considère un oiseau, la phrase "c'est un corbeau" est une proposition.
Soient H et C deux propositions, on peut construire une nouvelle proposition en les utilisant.
"H et C" est une proposition vraie si et seulement si H et C sont vraies toutes les deux.
Exemple : "c'est un corbeau" et "il est blanc" est une proposition toujours ...
"H ou C" est une proposition vraie si et seulement si l'une au moins des deux est vraie
Exemple : si vous demandez à une professeure de mathématique qui vient d'accoucher : "c'est une fille ou un garçon?"
elle vous répondra ...
Les propositions conditionnelles
Une proposition conditionnelle, propose que l'une des deux propositions conditionne l'autre : cela peut-être vrai ou faux.
On observe un mammifère, on considère les propositions suivantes : V : "il peut voler", C : "c'est une chauve-souris"
Implication : V ⇒ C
Réciproque : V ⇐ C
Tous les mammifères qui peuvent voler sont des chauvessouris
Toutes les chauves-souris peuvent voler
...
implique ...
...
est impliqué par ...
...
donc...
...
car ...
Si ...
alors ...
...
parce que...
...
seulement si ...
....
...
suffit pour ...
si ...
il faut ...
pour ...
... est condition suffisante pour
...
est une condition nécessaire à ...
Théorème de Pythagore :
Réciproque du théorème de Pythagore :
Théorème de Thalès :
Réciproque du théorème de Thalès :
Conséquence d'une équation :
x^2=9 ⇒
Une solution d'une équation :
Image par la fonction carré:
Antécédents par la fonction carré
x =−3 ⇒ x 2 =
x = ............................... ⇐ x 2 =9
Une implication peut être vraie et sa réciproque fausse : "corbeau ⇒ oiseau noir" est une proposition ...
"oiseau noir ⇒ corbeau" est une proposition ...
Équivalence : V ⇔ C
...si et seulement si...
...il faut et il suffit...
...condition nécessaire et suffisante...
Exemple : soient A, B et M trois points du plan : MA=MB ⇔ ...
Résolution d'une équation : x 2 =9 ⇔ ...
La négation
Soit H une proposition, la négation de la proposition H est la proposition non(H) fausse si H est vraie et vraie si H est
fausse.
Exemples : on observe un oiseau, la négation de "il est noir" est ...
On considère les propositions suivantes : O:"c'est un oiseau", V : "il peut voler", C : "c'est un corbeau", N : "il est noir"
Contraposée d'une proposition conditionnelle
Négation d'une proposition conditionnelle
non(O ⇒ V)
( C ⇒ N ) ⇔ ( non(N) ⇒ non(C) )
La négation de : "tous les oiseaux peuvent voler"
est la proposition : "...
Si "c'est un corbeau" alors "il est noir"
est une proposition équivalente à la proposition :
Si ....
2
La négation de " x 9 ⇒ x 3 " est ...
alors.....
Contraposée du théorème de Pythagore :
Les raisonnements mathématiques
Les classiques en analyse
Démontrer une formule :
quantificateur universel
Démontrer que pour tout réel x,
 x −1   x 3  =  x 1 2 − 4
Résoudre une équation :
raisonnement par équivalences
Résoudre dans ℝ l'équation :
(E) :  x − 2 2 −9 = 0
Tableau de signe :
la disjonction des cas
Étudier, pour tout réel x, le signe de
l'expression :  x −3   2 − x 
Valider ou invalider une proposition
Démontrer qu'une proposition est vraie
Déductif :
Dans un repère orthonormé, on considère les trois points
A(1;2), B(-1;6) et C(4;6). Démontrer que le point C
appartient à la médiatrice du segment [AB].
Contraposée :
Dans un repère orthonormé, on considère les quatre points
A(1;2), B(2;5), A'(2;4), B'(1;6). Démontrer que les
segments [AB] et [A'B'] ne peuvent pas être image l'un de
l'autre par une réflexion.
Démontrer qu'une proposition est fausse
Négation d'une proposition universelle :
un contre-exemple suffit
Démontrer que la proposition "tout nombre réel est
inférieur à son carré" est fausse.
Négation d'une proposition existentielle :
Démontrer que la proposition "il existe un nombre réel dont
le carré est strictement négatif" est fausse.
Absurde :
Démontrer que le nombre 0 n'admet pas d'inverse.
Correspondance entre logique et ensembles
Logique
Ensembles
x ∈ A et x ∈ B
⇔
x ∈ A∩ B
x ∈ A ou x ∈ B
⇔
x ∈ A∪ B
x∉ A
⇔
x∈ A
x∈ A ⇒ x∈B
⇔
A⊂ B
x∈ A ⇔ x∈B
⇔
A= B