La démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence « En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants : •
•
La propriété est satisfaite par l'entier 0 ; Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle est satisfaite par son successeur, c'est-­‐à-­‐dire par le nombre entier n+1. Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels »1 Exemple Considérons l’ensemble E des entiers naturels n tels que 4 n ! 1 est divisible par 3. Montrer que l’ensemble E contient le nombre naturel 0. Montrer que si E contient un nombre naturel n, il contient également son suivant, n + 1 . Que peut-­‐on conclure ? Ce procédé de démonstration par récurrence est devenu, selon les mots de Poincaré lui-­‐même, « le raisonnement mathématique par excellence », dont il explicite le schéma : Poincaré (1918) On établit un théorème pour n=1 ; on montre ensuite que s’il est vrai de n-­‐1, il est vrai de n et on conclut qu’il est vrai pour tous les nombres entiers. (…) C’est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence2 et il nous faut l’examiner de plus près. Le caractère essentiel du raisonnement par récurrence c’est qu’il contient, condensés pour ainsi dire en une forme unique, une infinité de syllogismes. Pour qu’on s’en puisse mieux rendre compte, je vais énoncer les uns après les autres ces syllogismes qui sont, si l’on veut me passer l’expression, disposés en cascade. Ce sont, bien entendu, des syllogismes Poincaré Henri (1854-­‐1912) hypothétiques. Le théorème est vrai du nombre 1. Or s’il est vrai de 1, il est vrai de 2. Donc il est vrai de 2.Or s’il est vrai de 2, il est vrai de 3. Donc il est vrai de 3, et ainsi de suite. On voit que la conclusion de chaque syllogisme sert de mineure au suivant. De plus les majeures de tous nos syllogismes peuvent être ramenées à une forme unique. Si le théorème est vrai pour n-­‐1, il l’est de n. (Poincaré H., La science et l’hypothèse, Flammarion, Paris, 1918, pp. 19-­‐24) Exercices. Dans les problèmes ci-­‐dessous vérifier les énoncés pour k = 1, 2 et 3. Montrer que si l’affirmation est vraie pour k=3 alors elle est vraie pour k=4. Puis démontrer en toute généralité que si elle est vraie pour k=n alors cela entraîne qu’elle est vraie pour k=n+1. 1
2
Wikipedia
C’est nous qui soulignons.
1) Démontrer que la somme des n plus petits entiers positifs égale n·(n+1)/2. n
n(n + 1)
Ecriture abrégée de l’affirmation précédente : ! k =
. 2
k=1
2) Démontrer que la somme des n plus petits impairs positifs égale n au carré. 3) Trouver une formule qui exprime le nombre maximal de régions délimitées par n droites dans le plan, puis démontrez-­‐la n
n(n + 1)(2n + 1)
4) Démontrer que ! k 2 =
6
k=1
5) Démontrer que 1+ x + x 2 + ...+ x n =
1! x n+1
. 1! x
6) Démontrer que si f (x) = x n alors f '(x) = n ! x n"1 pour !n "N . 7) Démontrer que le nombre de sous-­‐ensembles d’un ensemble à n éléments est 2n. 8) Si k est un nombre compris entre 0 et n alors on peut définir sans ambiguïté le ! n $
! n $
n!
coefficient binomial #
& par : #
& = k! ' (n ( k)! !k "! avec la convention " k %
" k %
suivante 0 ! = 1. Montrer que : ! n $ ! n $
a) #
& =#
& " k % " n' k %
" n % " n % " n +1 %
b) $
' +$
' =$
' # k !1 & # k & # k &
! n $ n ! n $ n(1
! n $ n(2 2
! n $
! n $ n
n
n(1
c) a + b = #
& 'a +#
& 'a 'b+ #
& ' a ' b + ...+ #
& 'a'b + #
& ' b = " 0 %
" 1 %
" 2 %
" n (1 %
" n %
(
)
n !
n $ n)k k
= ' #
& ( a ( b k=0 " k %
n !
n $
d) ' #
= 2 n . &
k=0 " k %
n
# n &
e) ) (!1) k " %
( = 0 . k=0
$ k '
9) Soit E = l’ensemble des polynômes de degré n admettant n racines réelles. Pour P(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ...+ an x n dans E on détermine le nombre de changements de signes de ai à ai+1. Montrer que ce nombre correspond exactement au nombre de racines positives de P. (Règle de Descartes 1637).