Phénomènes de di raction: introduction, phénomènes

Chapter 3
Phénomènes de diraction:
introduction, phénomènes
fondamentaux
3.1 Exemples
On s'intéresse ici à la propagation de la lumière en présence d'obstacles
opaques. Suivant la théorie "géométrique" on a des sources lumineuses qui
émettent des "rayons" se propageant en ligne droite (si indice du milieu homogène) et qui sont simplement bloqués par la présence d'objets absorbants.
Ceci explique la formation de phénomènes d'ombre "géométrique". Cependant une observation attentive montre l'existence de phénomènes bizarres
tout près de la limite ombre-lumière (cf Fig.3.1): la limite ombre-lumière
n'est pas nette, l'éclairement oscille avant de s'annuller totalement, montrant des "franges" (cf Fig.3.2).
D'autres phénomènes impliquant la lumière sont inexplicables par optique géométrique. Par exemple:
• "Arcs en ciel" observés sur CD et DVD (Fig.3.3);
• Déviation des rayons X (et aussi des électrons, des neutrons...) par les
cristaux. Ce phénomène s'apparente au précédent(cf cours de cristallographie;
• Taille et aspect d'un spot obtenu en focalisant un faisceau laser au
moyen d'une lentille (cf prochains cours);
• Taille et aspect de l'image d'une étoile au foyer d'un téléscope (cf
Fig.3.4);
• Taille et aspect de l'image d'une molécule uorescente observée avec
un microscope (cf Fig.3.5)
27
Figure 3.1: Observation de l'ombre projetée d'une main éclairée par un faisceau lumineux assimilable à une onde plane (tiré de E. Hecht, Optique,
Pearson Education, 2005).
Figure 3.2: Observation du détail de l'ombre projetée du bord d'un écran
éclairé par un faisceau lumineux assimilable à une onde plane.
28
Figure 3.3: Aspect d'un CD-ROM éclairé en lumière blanche: de la lumière
est diusée dans diérentes directions suivant sa couleur, ce qui permet
d'observer ses diérentes composantes spectrales. Ce phénomène rappelle
la dispersion de la lumière par un prisme, mais son explication est complètement diérente.
Comme on le verra, la description de ces phénomènes doit prendre en
compte la nature ondulatoire de la lumière pour décrire correctement sa
propagation.
Dans un premier temps on part donc d'une situation simple où on est en
présence d'une onde de caractéristiques connues, générée par un émetteur,
ayant été éventuellement déformée (ou mise en forme) après traversée de
diérents milieux ou composants optiques. On interpose un écran opaque
percé d'ouvertures, des obstacles transparents ou absorbants. Le problème
posé est de savoir quel est le champ lumineux obtenu au delà.
Exemples :
1. Un point source au foyer d'une lentille " parfaite ", génère une onde
"pratiquement plane". On interpose un écran percé d'un trou carré ou circulaire.
2. Un point lumineux (étoile, molécule uorescente) est observé au moyen
d'un objectif optique parfait (sans aberrations géométriques notables), mais
de diamètre limité de taille d. Quelle est la forme et la taille de l'image de
ce point objet (c'est ce qu'on appelle la "fonction d'étalement de point")?
Pour répondre à ces questions on est donc amené à résoudre l'équation
de propagation en présence d'obstacles.
Il y a d'autres situations semblables en physique (acoustique, mécanique
quantique...). C'est un problème mathématiquement dicile.
29
Figure 3.4: Aspect de l'image de l'étoile "NGC188" observée au moyen du
téléscope spatial Hubble. La forme et la taille de ce spot-image n'est pas liée
à la taille et à la forme de l'étoile, qui est en fait trop éloignée pour qu'on
puisse en distinguer les détails, mais à la forme de l'onde caractéristique
du téléscope (crédit photo Hubble Space Telescope). Le schéma optique
correspond à l'observation au moyen d'une lentille, plus facile à représenter,
alors que le téléscope spatial utilise une optique à base de miroirs, mais cela
ne change pas fondamentalement les eets physiques liés à la diraction de
l'onde incidente par l'ouverture limitée de l'optique d'observation.
30
Figure 3.5: Aspect de l'image de molécules uorescentes isolées détectées par
laser lumière de uorescence qu'elles émettent lorsqu'elle sont éclairées par
un laser sous microscope. La forme et la taille de ces spots-image n'est pas
liée à la taille et à la forme des molécules, qui sont en fait trop petites pour
qu'on puisse en distinguer les détails, mais à la forme de l'onde caractéristique
du microscope utilisé (A. Delon, J. Derouard et al, 2010).
3.2 Decription mathématique approchée: principe
d'Huyghens-Fresnel ou "comment déduire ψ(t, ~r)
à partir de ψ(t, r~Σ ) sur surface Σ"
3.2.1 Théorème intégral de Kirchho
Si on connaît ψ(~r, t) pour l'ensemble des positions ~r appartenant à une surface fermée Σ, alors on peut exprimer ψ(r~0 , t) pour tout point de l'espace r~0
à l'intérieur de la surface (cf Fig.3.6). Cela généralise le concept dejà présent
en optique géométrique, où la connaissance de la direction de la direction des
rayons composant un faisceau lumineux sur une surface sut pour connaître
la trajectoire de ces rayons dans le reste de l'espace.
Un cas limite est celui où la surface est un plan d'extension innie séparant l'espace en deux parties, illustrant une notion assez intuitive qui est
que le champ se propageant en aval d'une région de l'espace découle de
ce qu'il y a en amont. Mais pas besoin de connaître le champ dans toute
la région amont pour savoir ce qu'il y a en aval: Contrôler l'amplitude et
la phase de la vibration lummineuse suivant un plan sut pour générer
n'importe quelle onde se propageant au delà. On verra plus loin en exemple
le cas de l'eet d'une lentille divergente (convergente) sur une onde plane).
31
Figure 3.6: Expression de ψ à l'intérieur du volume limité par la surface Σ
en fonction de la valeur de ψ sur la surface Σ (cf Eq.3.2.1)
Mathématiquement cela revient aussi à dire que la solution d'une équation
diérentielle est déterminée par les "conditions initiales", ou, plus généralement, par les "condition aux limites" 1 .
Pour une onde monochromatique se propageant dans le vide k = ω/c
cela donne:
I
1
[
4π
eik|r~0 −~r| −−→ →
−
gradψ.d S −
|r~0 − ~r|
I
−−→ eik|r~0 −~r| −
→
ψ(~r)grad(
).d S ]e−iωt
|
r
~
−
~
r
|
Σ
Σ
0
(3.1)
Il s'agit d'une propriété mathématique propre à l'équation diérentielle de
propagation (cf Hecht, Ÿ10-4). Mathematiquement c'est exact, mais en pratique pas commode à utiliser du tout.
ψ(r~0 , t) =
3.2.2 Principe d'Huyghens-Fresnel
Bien avant Kirchho, Huyghens puis Fresnel avaient imaginé sans justication mathématique une méthode pour calculer la propagation de la lumière
considérée comme une onde, et non comme la juxtaposition de rayons lumineux associés à la trajectoire de particules de lumière.
Suivant Huyghens, la surface d'onde (ou surface équiphase d'une phase
donnée) est obtenue en prenant l'enveloppe des surfaces equiphase de même
phase correspondant à des "ondelettes" émises depuis depuis une surface
placée en amont (Fig.3.7). Cette formulation décrit convenablement la propagation de la lumière dans des milieux innis homogènes, et sa déviation au
passage d'un milieu à un autre.
1
Autre situation mathématiquement analogue: équation de Laplace, (ou de Poisson)
en électrostatique: le potentiel V est parfaitement déterminé partout si on se donne la
distribution du potentiel sur un ensemble de surfaces (en particulier des conducteurs).
32
Figure 3.7: Ondelettes d'Huyghens et construction de la surface d'onde à
t > 0 à partir de la surface d'onde à t = 0.
Fresnel complète cette idée en suggérant que les ondelettes doivent interférer entre elles, et précise la valeur de l'amplitude des ondelettes. Le
"principe d'Huyghens-Fresnel" s'énonce alors de la façon suivante:
Soit ψ(~r, t) l'onde, supposée monochromatique, sur une surface Σ. Alors
ψ(r0 ) s'exprime comme la somme ("l'interférence") d'ondes shériques émises
depuis tous les points ~r avec une amplitude proportionnelle à celle de ψ(~r, t)
et une phase identique à celle de ψ(~r, t).
Alors le champ en un point P (X, Y, z) est donné par (cf Fig.3.8)
Z
ψ(P ) =
Σ
Kψ(Q)
eikQP
dxdy
QP
(3.2)
où ψ(Q) est donc le champ au point Q(x, y) dans l'ouverture de taille d, et
K un coecient ne dépendant pas en première approximation 2 de Q et de
P.
2
Pour être cohérent avec Kirchho il faudrait en fait prendre K ∝ −i(cos θ+cos θi )/(2λ)
où θ et θi sont respectivement les angles d'inclinaison par rapport à la normale à Σ de la
direction d'émission de l'ondelette et de la normale à la surface d'onde incidente cf Hecht
Ÿ10.4. On note que cette condition impose K = 0 si θi = θ + π , traduisant le fait qu'il n'y
a pas d'onde émise vers l'arrière.
33
Figure 3.8: Géométrie correspondant à l'Eq.3.2.2.
Dans le cas du calcul de la lumière transmise par un écran percé d'ouvertures
on prend pour surface Σ le plan de l'écran, et on complète ce principe par
les hypothèses suivantes:
Hypothèses supplémentaires
• 1. Juste derrière l'écran ψ = 0. Semble raisonnable.
• 2. Dans le plan de l'écran à l'intérieur des ouvertures ψ est le même
que si il n'y avait pas d'écran. Nettement moins évident!: Clairement
il doit se passer des choses " au voisinage " du bord des ouvertures
où le rayonnement interagit avec la matière. Mais à condition que les
ouvertures soient assez grandes devant la distance caractéristique qui
dénit ces " voisinages " l'expérience de la vie courante suggère que ces
eets sont petits. On imagine que cette distance caractéristique doit
être de l'ordre de λ.
• 3. Les deux cas précédents peuvent se généraliser au cas où le plan
Σ contient des parties absorbantes ou réfringentes. Donc d'une façon
générale on écrira que l'onde ψ(x, y) juste après le plan Σ est le produit
de l'onde incidente ψi (x, y) par une "fonction d'ouverture" T (x, y); Le
cas 1 correspond à T = 0, Le cas 2 correspond à T = 1. Et pour une
lame d'indice n, épaisseur e atténuant l'amplitude d'un facteur t < 1
on aura T = t exp(ikz ne) où kz est la projection du vecteur d'onde
incident sur la normale à Σ.
Rappellons que ce "principe" n'est qu'une approximation de la réalité
physique, dont le domaine de validité n'est pas facile à préciser. Clairement,
34
le domaine de la "nanophotonique" actuellement en plein développement
qui concerne l'étude de la propagation de la lumière dans et au voisinage
de structures de l'ordre ou plus petites que la longueur d'onde λ sort du
domaine de validité de cette approximation. On avait déjà souligné ce point
dans le chapitre précédent en indiquant que "l'approximation scalaire" était
également en défaut dans ce cas et que l'étude de ces situations passait par
la résolution numérique des équations de Maxwell.
Sa formulation peut être considérée comme "un truc" dont la principale
justication est que 1) elle est mathématiquement simple, et 2) elle est en
accord avec l'expérience dans un grand nombre de situations pratiques. On
a pu montrer depuis que dans le cas de la propagation dans un milieu homogène, l'Eq.3.2.2 peut être déduite de l'expression du théorème intégral de
Kirchho Eq.3.2.1 moyennant certaines hypothèses (cf Hecht Ÿ10-4 et note
relative à l'Eq.3.2.2) sur la valeur du coecient K .
L'utilisation de cette formule implique d'exprimer QP . La suite de la
discussion va porter sur l'expression qu'on va prendre pour QP .
Soit z la distance entre Σ et le plan d'observation où se trouve P . Ici
on va se placer à des distances z beaucoup plus grandes que la taille de
l'ouverture d, et considérer des points P répartis sur une extension latérale
petite devant z , situation connue sous le nom de "conditions paraxiales".
Dans ces conditions on pourra prendre 1/QP ∼ 1/z . Par contre l'argument
de l'exponentielle demande un examen plus précis.
Dénissons les coordonnées x, y; z = 0 de Q dans le plan Σ et X, Y, z
celles de P dans le plan d'observation.
Alors
QP = z[1 +
(X − x)2 + (Y − y)2 1/2
(X − x)2 + (Y − y)2
]
∼
z
+
z2
2z
(3.3)
En substituant cette expression dans l'Eq(3.2.2) on obtient
eikz
ψ(P ) =
z
Z
Σ
Kψ(x, y)eik
On pose alors
kx = k
X
z
ky = k
Y
z
et
(X−x)2 +(Y −y)2
2z
dxdy
(3.4)
et l'Equation précédente devient
ψ(P ) =
eikz
exp(ik(X 2 +Y 2 )/2z)
z
Z
Σ
k(x2 + y 2 )
]dxdy
2z
(3.5)
Kψ(x, y). exp[−i(kx x+ky y))]. exp[i
35
En pratique on prendra K ∼ constante.
On remarque que le facteur exp(ik(X 2 + Y 2 )/2z) est de module 1 et
n'intervient donc pas dans la répartition de l'éclairement qui est proportionnel à |ψ|2 . Egalement pour eikz /z qui est une constante pour une distance z
donnée.
3.3 Conditions de Fraunhoer: z très très grand
devant d ("diraction à l'inni")
Diraction de Fresnel
Le cas où z n'est pas très très grand devant d conduit à des calculs compliqués
(cf Hecht Ÿ10.3 ou Perez Ÿ30.II) à cause du facteur exp(ik(x2 + y 2 )/2z) dans
l'intégrale et correspond à ce qu'on appelle la "diraction de Fresnel", qu'on
ne traitera pas dans ce cours. Ce cas correspond en particulier à la diraction
par le bord d'un écran (Figs.3.1 et 3.2).
Diraction de Fraunhoer
Supposons maintenant qu'on se place très loin de Σ, z >> d, de telle sorte
que exp(ik(x2 + y 2 )/2z) ∼ 1. Cela nécessite d2 << λ.z (soit d/λ << z/d).3
Ces conditions correspondent à ce qu'on appelle les "conditions de Fraunhoer" ou "diraction à l'inni". Cette situation correspond en fait à un
très grand nombre de situations expérimentales et à l'intérêt de simplier
considérablement l'Eq.3.5.
Rappelons que ces deux cas, diraction de Fresnel et diraction de Fraunhoer reposent eux-même sur la validité de l'Eq.3.5 qui comme on l'a mentionné n'est valable que si λ << d.
Dans les conditions de Fraunhoer l'Eq.3.5 se réduit à
Z
ψ(X, Y ) ∝
Σ
ψ(x, y). exp[−i(kx x + ky y)]dxdy
(3.6)
Notons ~k le vecteur d'onde de composantes4 kx et ky suivant les directions
x et y . Si O est le point origine dans le plan Σ l'Eq.3.6 peut alors se réécrire:
Z
ψ(X, Y ) ∝
Σ
~
ψ(Q). exp(−i~k.OQ)dxdy
(3.7)
Les composantes de ~k peuvent également s'exprimer au moyen des angles
(en fait de leur sinus) que font avec l'axe Oz les projections de ce vecteur
dans les plans xOz et yOz :
3
cf
4
λ = 500nm, d=0,1mm, z = 100mm alors d/λ = 200 et z/d = 1000
La composante suivant z s'en déduit puisque kx2 + ky2 + kz2 = k2
36
sin α =
et
kx
X
(∼ α ∼
dans les conditions paraxiales)
k
z
Y
ky
(∼ β ∼
dans les conditions paraxiales)
k
z
ce qui permet de réécrire l'Eq.3.6 sous une troisième forme:
sinβ =
Z
ψ(X, Y ) ∝
Σ
ψ(Q). exp(−ik(αx + βy))dxdy
(3.8)
Dans tous cas on note que P (X, Y ) est directement relié à ~k , ou de
manière équivalente à α et β : l'onde diractée peut être considérée comme
une superposition d'ondes planes et on recueille en P celle dont le vecteur
d'onde est ~k . L'onde diractée sera alors caractérisée indiéremment par les
amplitudes qu'on notera ψ(X, Y ), ψ(~k), ou ψ(α, β).
La signication physique de l'approximation de Fraunhoer est exprimée
sur la Fig.3.9. Elle revient à dire que les diérents rayons QP obtenus en
prenant diérents points Q à l'intérieur de l'ouverture de Σ peuvent être
considérées comme pratiquement parallèles, faisant des angles α et β pratiquement identiques.
De fait, une situation très souvent rencontrée expérimentalement est celle
où le plan d'observation est en fait le plan focal d'une lentille. Dans ce cas on
recueille au point P du plan focal l'onde plane émise suivant une direction
donnée par la position du point P (cf Fig.3.9).
D'une façon générale, le calcul de la diraction de Fraunhoer revient à
calculer d'abord l'amplitude de l'onde diractée suivant la direction dénie
par un vecteur d'onde ~k , auquel sont associés les angles α et β . L'amplitude
dans le plan d'observation s'en déduit ensuite en associant à ces angles les
coordonnées X = f α ou X = zα, et Y = f β ou Y = zβ , suivant les 2 cas
représentés sur la Fig.3.9.
Cas où l'onde incidente est plane
Si l'onde incidente sur le plan Σ est plane, caractérisée par le vecteur d'onde
k~i , de composantes kix = kαi et kiy = kβi alors:
~
ψi (Q) ∝ exp(ik~i .OQ)
et donc
~
ψ(Q) ∝ T (x, y). exp(ik~i .OQ)
où l'on fait apparaître la fonction de transmission T dans le plan Σ de telle
sorte que
37
Figure 3.9: Géométrie de la diraction de Fraunhoer. a.: La distance entre
le plan Σ et le plan d'observation est assez grande pour que les diérents
rayons Qi P puissent être considérés comme parallèles. b.: L'interposition
d'une lentille donne au plan focal les caractéristiques d'un plan d'observation
"à l'inni", les rayons émis des points Qi étant tous parallèles par dénition.
Z
ψ(~k) ∝
Σ
~
T (x, y). exp(−i(~k − k~i ).OQ)dxdy
(3.9)
Dans la suite on aura sauf spécication contraire k~i perpendiculaire à Σ
donc ψi (Q) = constante sur Σ, αi = βi = 0 et donc 5 :
Z
ψ(~k) ∝
Σ
~
T (xQ , yQ ). exp(−i~k.OQ)dx
Q dyQ
(3.10)
Cette formule fondamentale s'énonce de la façon suivante:
L'onde diractée dans la direction dénie par le vecteur d'onde ~k a une
amplitude donnée à un facteur près par la transformée de Fourier spatiale de
la fonction de transmission T .
On reviendra longuement sur ce concept de "Transformée de Fourier" qui
sera par ailleurs traité en détail dans le cours de maths.
5
Dans le cas où l'onde incidente est oblique, l'Eq.3.9 peut se réécrire en fonction des
angles α et β sous la forme
Z
ψ(α, β) =
T (x, y). exp[−ik(α − αi )x + (β − βi )y]dxdy
Σ
et on note que
ψαi ,βi (α, β) = ψαi =0,βi =0 (α − αi , β − βi )
Cela indique que la gure de diraction est identique à celle observée dans le cas où l'onde
incidente est normale, mais se trouve simplement décalée angulairement suivant les angles
d'incidence αi et βi .
38
3.4 Diraction de Fraunhoer par une ouverture
rectangulaire éclairée par onde plane en incidence normale: l'onde est diractée suivant les
angles ±λ/d
On considère donc une ouverture rectangulaire de taille a×b (a,b de l'ordre de
d) percée dans un écran opaque éclairée par onde plane en incidence normale
(Fig.3.10). L'amplitude de l'onde diractée dans la direction dénie par les
composantes kx et ky du vecteur d'onde ~k est donc donnée par
Z
ψ(kx , ky ) ∝
Σ
exp(−ikx x − iky y))dxdy
(3.11)
soit
ψ(kx , ky ) ∝
Z b/2 Z a/2
−b/2 −a/2
exp(−ikx x − iky y))dxdy
qui se factorise en deux intégrales indépendantes:
ψ(kx , ky ) ∝
Z b/2
−b/2
exp(−ikx x)dx ×
Z a/2
−a/2
exp(−iky y)dy
se calculant aisément:
1
1
ψ(kx , ky ) ∝
[exp(−ikx b/2)−exp(ikx b/2)]×
[exp(−iky a/2)−exp(iky a/2)]
−ikx
−iky
soit:
ψ(kx , ky ) ∝ [
sin(kx b/2)
sin(ky a/2)
]×[
]
kx b/2
ky a/2
(3.12)
ou en introduisant les variables u = ky a/2 et v = kx b/2:
sin(u)
sin(v)
]×[
]
(3.13)
u
v
Concrètement on s'intéresse à la distribution d'éclairement dans le plan
d'observation, I(X, Y ) ∝ |ψ(kx , ky )|2 , en faisant correspondre les coordonnées X et Y aux composantes kx (associé à l'angle α = kx /k ) et ky (associé
à l'angle β = ky /k ):
ψ(kx , ky ) ∝ [
• si l'écran d'observation est à une distance z très grande, alors X = zα,
Y = zβ donc kx = kX/z , ky = kY /z
• si l'écran d'observation est dans le plan focal d'une lentille de focale f ,
alors X = f α, Y = f β donc kx = kX/f , ky = kY /f
Dans tous les cas la distribution d'éclairement s'exprime au moyen de la
fonction | sin(u)/u|2 représentée sur la Fig.3.11.
39
Figure 3.10: Géométrie de la diraction de Fraunhoer d'une onde plane
monochromatique par une fente rectangulaire.
Figure 3.11: Graphe de la fonction | sin(u)/u|2 intervenant dans l'éclairement
de la gure de diraction par une fente éclairée par une onde plane monochromatique.
40
Figure 3.12: Eclairement observé dans le plan d'observation correspondant
à la gure de diraction par une fente ne verticale éclairée par une onde
plane monochromatique. L'échelle horizontale est graduée suivant la variable
réduite u reliée à la coordonnée Y = [f λ/(πa)]u (cf texte).
3.4.1 Cas particulier où b → ∞
Dans ce cas qui correspond à celui d'une fente ne verticale la fonction
| sin(kx b/2)/(kx b/2)|2 n'est non nulle que pour kx ∼ 0: on n'observe alors
d'éclairement que sur l'axe horizontal Y = 0. L'éclairement suivant la direction OX est donné alors par la fonction | sin(u)/u|2 avec u = ky a/2.
Cette fonction montre un maximum central égal à 1 pour suivi d'une série
d'oscillations s'atténuant de plus en plus (cf Fig.3.12): Le premier maximum
secondaire est obtenu pour u = ±3π/2 et vaut [sin(3π/2)/(3π/2)]2 ∼ 1/20)
de telle sorte que la majorité de l'éclairement est concentrée entre les deux
premiers minima nuls situés de part et d'autre du maximum central pour
u = ±π , soit ky = ±2π/a, α = ±2π/(ka) = ±λ/a, Y = ±2πz/(ka) =
±zλ/a ou Y = ±2πf /(ka) = ±f λ/a.
3.4.2 Cas général
I(X, Y ) ∝ [
sin(u) 2
sin(v) 2
] ×[
]
(u)
(v)
41
Figure 3.13: Figures de diraction de Fraunhoer observées dans le cas de
fentes rectangulaires quelconques.
avec u = ky a/2, v = kx b/2. La gure de diraction à la forme d'une espèce
de croix/damier. Chacune des branches de la croix rappelle la gure de
diraction par des fentes nes respectivement verticale et horizontale de
largeur a ou b. (cf Fig.3.13)
3.4.3 Cas d'une fente large, a, b >> λ
Dans ce cas l'éclairement est concentré en une région de l'espace de taille
petite: l'onde plane incidente n'est que faiblement diractée autour de α, β ∼
0 et se retrouve focalisée au foyer de la lentille.
Noter que dans tous les cas l'éclairement observé ne ressemble pas du
tout à l'ouverture, et que la taille de la partie éclairée varie en raison inverse
de la taille de l'ouverture
3.5 Diraction par une ouverture circulaire éclairée
par onde plane en incidence normale: l'onde est
diractée suivant les angles ±1, 22λ/d
On considère maintenant une ouverture circulaire de rayon r = d/2. Ce n'est
plus aussi simple que le cas de l'ouverture rectangulaire, car on va tomber
sur des intégrales qui ne s'expriment en fonction d'aucune fonction mathématique élémentaire. D'où l'introduction de certaines "fonctions spéciales",
les "fonctions de Bessel.
On eectue un changement de variables cartésiennes x, y -> polaire ρ, φ,
kx , ky -> kθ , Φ adapté à la symétrie du problème (cf Fig.3.14):
42
Figure 3.14: Géométrie de la diraction de Fraunhoer d'une onde plane
monochromatique par un trou circulaire.
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ
,
dxdy = ρdρdφ
kx = kθ cos Φ, ky = kθ sin Φ
avec kθ = k. sin θ
En substituant ces expressions dans l'Eq.3.6 on obtient:
ψ(kθ , Φ) ∝
Z r Z 2π
0
0
exp[−ikθ ρ cos(φ − Φ)]ρdρdφ
Par symétrie, cette intégrale ne doit pas dépendre de Φ, qu'on peut prendre
égal à zéro et ψ ne dépend que de l'angle θ ∼ sin θ = kθ /k que fait le vecteur
d'onde avec l'axe Oz :
ψ(kθ ) ∝
Z r Z 2π
0
0
exp[−ikθ ρ cos φ]ρdρdφ
Dans cette expression on voit apparaître une première intégrale du type:
Z 2π
0
exp(it cos φ)dφ
qui est égale à 2πJ0 (t), où J0 est la " fonction de Bessel " d'ordre zéro.
Il existe toute une famille de "fonctions de Bessel" possédant un tas de
propriétés mathématiques, et reliées entre elles par diérentes relations (cf
43
cours de maths, et graphe, cf Fig.3.15. Ainsi la "fonction de Bessel d'ordre
un" J1 est reliée à J0 par la relation:
Z T
0
tJ0 (t)dt = T J1 (T )
Faisant le changement de variable t = kθ ρ, et quelques réductions algébriques
on en tire alors que
Z r Z 2π
0
0
exp[−ikθ ρ cos φ]ρdρdφ = 2πr2
J1 (kθ r)
kθ r
de telle que nalement
ψ(kθ ) ∝
J1 (kθ r)
kθ r
(3.14)
Comme dans le cas de la diraction par une fente, l'éclairement dans le
plan d'observation est obtenu en faisant correspondre les coordonnées polaires q, Φ des points de ce plan avec la composante kθ ou l'angle θ auxquels
elles sont associées. Par symétrie la distribution de l'éclairement a la symétrie
de révolution, ne dépendant que de la distance q à l'axe Oz dans le plan
d'observation, et donc
J1 (u) 2
|
I(q) ∝ |
u
où u = kθ r
De manière assez similaire à la fonction | sin u/u|2 rencontrée dans le cas
de la diraction par une fente, la fonction |J1 (u)/u|2 présente un maximum
pour u = 0 suivi d'oscillations amorties (cf Fig.3.16), le premier minimum
se produit pour u = 3, 832.... soit pour kθ = 3, 83/r, θ = 3, 83/(kr) =
0, 61λ/r = 1, 22λ/2r q = 1, 22zλ/2r ou q = 1, 22f λ/2r.
On observe donc dans le plan d'observation une tache circulaire (cf Fig.3.17)
portant le nom de "disque d'Airy" la majeure partie de l'éclairement étant
concentrée dans un rayon q0 correspondant au premier anneau noir associé
à u = 3, 832..., soit pour kθ = 3, 832/r, ou
θ = 3, 832/(kr) = 0, 61λ/r = 1, 22λ/d
où on a introduit d = 2r diamètre de l'ouverture circulaire
q0 = 1, 22zλ/d
ou
q0 = 1, 22f λ/d
dans le cas ou le plan d'observation est le plan focal d'une lentille.
Noter que si le "disque d'Airy" est circulaire "par symétrie", il ne faut
pas le confondre avec l'image de l'ouverture circulaire.
44
Figure 3.15: Graphes de quelques fonctions de Bessel Ji (u) intervenant dans
le calcul de la gure de diraction par une fentr circulaire.
Figure 3.16: Graphe de la fonction |J1 (u)/u|2 intervenant dans l'éclairement
de la gure de diraction par un trou éclairé par une onde plane monochromatique.
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Figure 3.17: Eclairement observé dans le plan d'observation correspondant
à la gure de diraction par une ouverture circulaire éclairé par une onde
plane monochromatique. L'échelle horizontale est graduée suivant la variable
réduite u reliée à la coordonnée q = [f λ/(π2r)]u (cf texte).
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3.6 Synthèse de ces résultats
Conclusion : Que ce soit pour une ouverture rectangulaire de côté a ou
circulaire de rayon r, on voit que la tache de diraction a une taille qui vaut
environ 2f λ/a dans le premier cas, et 2, 44f λ/d dans le 2ème cas.
Dans tous les deux cas on voit que le faisceau diracté est dispersé dans
un intervalle angulaire de l'ordre de 2λ/d où d est la taille de l'ouverture
diractante.
Chaque fois qu'on veut localiser le rayonnement dans une petite région
de l'espace, il en résulte une divergence δθ qui varie inversement proportionnellement à la taille d de la région de localisation, le produit δθ × d étant de
l'ordre de la longeur d'onde. On en verra un autre exemple dans le cas des
faisceaux gaussiens qui seront étudiés dans le prochain cours.
3.7 Fonction d'étalement de point et limite de résolution des instruments d'optique
3.7.1 Exemple: cas d'un objectif photographique
Un objectif photographique forme l'image de points objets éloignées situés
à une distance D, sur le détecteur situé dans un plan d'observation à une
distance D0 . On peut assimiler cet objectif à un système de 2 lentilles et d'un
diaphragme circulaire (cf Fig.3.18): la première transforme l'onde sphérique
émise par un point objet en une onde plane, qui subit une diraction de type
Fraunhoer par le diaphragme, l'onde diractée étant ensuite focalisée par la
deuxième lentille de focale f dans le plan du détecteur. La situation est très
semblable dans le cas de l'oeil, où le détecteur est la rétine. Ainsi l'image
d'un point objet n'est pas un point mais un spot dont le prol porte le nom
de "fonction d'étalement de point" ("point spread function" ou "PSF" en
anglais).
La taille de ce spot est ultimement xée par les phénomènes de diraction. En pratique il arrive fréquemment qu'elle soit plus grande à cause des
aberrations géométriques se produisant avec des optiques imparfaites. Pour
un objectif parfait le rayon δ du spot est donné par focale×rayon angulaire
du disque d'Airy, soit
λ
δ = f × 1, 22
d
où d est le diamètre du diaphragme de l'objectif.
Exemple λ =550nm; f =35mm; d =12.5mm (ouverture à f/2,8); Alors
δ =1,9µm
Remarquer bien sûr que si l'on ferme le diaphragme pour une raison ou
une autre la taille du spot de diraction augmente et la dénition est moins
bonne.
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Figure 3.18: Fonctionnement schématique d'un objectif d'appareil photo:
L'image d'un point se formant dans le plan focal d'observation est un spot
résultant de la diraction de Fraunhoer à travers le diaphragme circulaire
de diamètre d.
Exercice: Vérier si le nombre de pixels annoncés par les constructeurs
d'appareils photo numériques est bien un critère de qualité.
3.7.2 Critère de Rayleigh
Ainsi dans tous les cas, pour tous les systèmes d'imagerie optiques, l'image
d'un point est un spot. Par conséquent 2 points objets seront facilement distinguables ("résolus") si leurs images sont séparées d'une distance supérieure
à la taille des spots. La limite de résolution des instruments d'optique est
souvent donnée en suivant le "critère de Rayleigh": deux points objets seront
réputés distinguables si les centres des spots-images sont séparés d'une distance au moins égale au "rayon" de chacun des spots (pour système limité
par diraction on prend pour "rayon" le rayon du premier anneau noir) (cf
Fig.3.19).
3.7.3 Exemple: Microscope
On considère un objectif de microscope dont la "pupille" a un diamètre d, et
dont on observe les images au moyen d'une "lentille de tube" de focale f 0 (cf
Fig.3.20). La diraction forme un spot image de rayon 1, 22f 0 λ/d. Suivant
le critère de Rayleigh deux points objets espacés de δ seront séparés si leurs
images sont espacées de δ 0 > 1, 22f 0 λ/d.
δ 0 est relié à la distance δ entre les points objets (espace objet) via la
48
Figure 3.19: Critère de Rayleigh et limite de séparation de deux objets.
"relation d'Abbe" (ou "condition des sinus") (cf Perez Ÿ3-II)
nδ sin θ = n0 δ 0 sin θ0
où θ et θ0 sont les angles que fait avec l'axe optique un rayon issus du point
objet et où n et n0 sont respectivement les indices des milieux dans lesquels
se trouvent la préparation observée (espace objet) et le détecteur (espace
image). En général n0 = 1. Par contre on utilise parfois des "objectifs à
immersion" où la préparation est immergée dans un milieu d'indice n où
baigne l'objectif.
Pour le rayon passant juste au bord de la pupille l'angle θ0 vaut θ00 = d/2f 0
auquel est associé un certain angle θ = θ0 dans l'espace objet.
Les images seront donc séparées si
δ>
soit
δmin =
d
1
n sin θ0 2f 0
1, 22f 0 λ
λ
= 0, 61
d
n sin θ0
La quantité n sin θ0 porte le nom d'"ouverture numérique" de l'objectif,
dont c'est une caractéristique xée par le constructeur. Plus cette ouverture
numérique est grande, plus l'image sera lumineuse, car l'objectif capte une
grande partie de la lumière émise par l'objet. Et plus petit sera δmin donc
plus grand sera le "pouvoir séparateur".
D'où l'intérêt des "objectifs à immersion" prévus pour baigner dans
un milieu d'indice n > 1, permettant d'avoir une ouverture numérique
supérieure.
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Figure 3.20: Fonctionnement schématique d'un microscope: L'image d'un
point se formant dans le plan focal d'observation est un spot résultant de la
diraction de Fraunhoer à travers le diaphragme circulaire de diamètre d.
Exemples
Objectif à sec ouverture numérique = 0,6 θ0 = sin−1 (0, 6) = 37o
λ =550nm; δmin = 0, 56µm.
Objectif à immersion dans huile n = 1, 5
ouverture numérique = 1,4 θ0 = sin−1 (1, 4/1, 5) = 69o
λ =550nm; δmin = 0, 24µm.
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