Bases - chabotsi
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PS91 – Bases de coordonnées Simon CHABOT 5 octobre 2009 Table des matières 1 Coordonnées polaires – (2D) 1.1 Calcul des dérivées de vecteurs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Expression de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 2 Coordonnées cylindriques – (3D) 2.1 Expression de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 3 Coordonnées sphériques – (3D) 3.1 Expression de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 Passer d’une base à une autre 4.1 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques . 4.2 Des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes . 4.3 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques 4.4 Des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes 4.5 Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes . . . 4.6 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires . . . 5 5 5 5 5 6 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Coordonnées polaires – (2D) F IGURE 1 – Représentation d’un point M en coordonnées polaires −−→ → On a : OM = ρ− eρ 1.1 Calcul des dérivées de vecteurs... → Projection de − eρ dans la base cartésienne. − → eρ → −̇ →e ρ = = = = → → cos φ− ex + sin φ− ey → − → φ̇ × − sin φe + φ̇ × cos φ− e x y → → φ̇ (− sin φ− ex + cos φ− ey ) → − φ̇e φ → Projection de − eφ dans la base cartésienne −̇ → eφ = → → φ̇ × − cos φ− ex − φ̇ × sin φ− ey → − → − φ̇ (− cos φe − sin φe ) = → φ̇− eρ = x y −̇ → −̇ → eφ = −φ̇− eρ eρ = φ̇− eφ et → D’où : → 2 1.2 Expression de la vitesse − → v = = = 1.3 −−˙→ OM → → e ρ̇− e + ρ−̇ ρ ρ − → ρ̇→ eρ + ρφ̇− eφ Expression de l’accélération − → a = = = = −̇ → v → → → → → ρ̈− e + ρ̇−̇ e + ρ̇φ̇− e + ρφ̈− e + ρφ̇−̇ e ρ ρ φ φ φ → → → → → eρ ρ̈− eρ + ρ̇φ̇− eφ + ρ̇φ̇− eφ + ρφ̈− eφ − ρφ̇2 − → → eφ ρ̈ − ρφ̇2 − eρ + 2ρ̇φ̇ + ρφ̈ − 2 Coordonnées cylindriques – (3D) F IGURE 2 – Représentation d’un point M en coordonnées cylindriques −−→ → → On a : OM = ρ− eρ + z − ez 2.1 Expression de la vitesse − → → → De façon à analogue à la précédente, on trouve : → v = ρ̇− eρ + ρφ̇− eφ + ż − ez 3 2.2 Expression de l’accélération → − → → eρ + 2ρ̇φ̇ + ρφ̈ − De même : → a = ρ̈ − ρφ̇2 − eφ + z̈ − ez 3 Coordonnées sphériques – (3D) F IGURE 3 – Représentation d’un point M en coordonnées sphériques −−→ → On a : OM = ρ− eρ 3.1 Expression de la vitesse − → → → → v = ρ̇− eρ + ρθ̇− eθ + ρφ̇ sin θ− eφ 4 Passer d’une base à une autre 4.1 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques ρ = θ = φ = p x2 + y 2 + z 2 z arccos ρ ( 2 arccos x2x+y2 2 2π − arccos x2x+y2 Si y > 0 Si y < 0 4 4.2 Des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes x = y = y 4.3 = φ z = = x2 + y 2 y arctan x z x = ρ cos φ = = ρ sin φ z Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes x = y = 4.6 p Des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes y z 4.5 ρ cos θ Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques ρ = 4.4 ρ sin θ cos φ ρ sin θ sin φ ρ cos φ ρ sin φ Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires ρ = φ = p x2 + y 2 y arctan x 5
