Dynamique des Fluides - L3 Mécanique de l`Université Paris Sud

Master 1 de Mécanique Physique
Année 2007–2008
— P-MEC-402A —
Dynamique des Fluides
Travaux dirigés
(Version du 18 juillet 2007)
Fig. 1 – En vrac et dans le désordre : Daniel Bernoulli, Pierre Simon de Laplace, Osborne Reynolds,
Leonhard Euler, Archimède, George Stokes...
1
Table des matières
1 — Introduction à la dynamique des fluides
3
2 — Analyse Dimensionnelle
5
3 — Ressaut hydraulique dans un canal
8
4 — Équations de continuité
10
5 — Statique des fluides
12
6 — Écoulements potentiels
16
7 — Dynamique de fluides parfaits
18
8 — Écoulements de Bernoulli
22
9 — Dynamique des gaz
26
10 — Fluides visqueux
28
11 — Couche limite visqueuse
30
12 — Écoulements avec vorticité
34
A — Vidange d’un réservoir dans un long tube capillaire
40
B — Écoulement dans un amortisseur visqueux
42
C — Effet Marangoni
44
D — Écoulement d’un fluide visqueux
45
E — Croissance d’une bulle
48
F — Écoulement d’un fluide visqueux
50
G — Éolienne
52
H — Effet siphon
55
I
59
— Formulaire
J — A propos du théorème du transport de Reynolds
2
63
1
— Introduction à la dynamique des fluides
1.1
Définitions
Définir ce que sont les :
(i) lignes de courant ; (ii) lignes d’émission ; (iii) trajectoires des particules fluides.
Indiquer de quelle manière il est possible de mettre chacune d’elles en évidence dans un écoulement. Dans
quel cas sont-elle toutes les trois confondues ?
1.2
Manipulation de l’opérateur ∇ dans R3
1) Établir les formules suivantes :
a) ∇ ∧ ~r = 0 ;
b) ∇ · ~r = 3 ;
c) ∇ · r̂2 = 0 ;
r
d) ∇f (r) = f 0 (r)r̂ ;
e) ∇ ∧ (f (r)~r) = 0 ;
f ) ∇ · (f (r)~r) = 3f (r) + rf 0 (r) ;
g) ∇ · (rn~r) = (n + 3)rn ;
h) ∇2 f (r) = f 00 (r) + 2r f 0 (r).
2) Montrer alors que :
a) ∇2 (f (r)~r) = (4f 0 (r) + rf 00 (r)) r̂,
b) ∇2 (rm~r) = m(m + 3)rm−2~r.
3) Établir les relations suivantes lorsque ~a désigne un vecteur de R3 :
a) (~a · ∇) ~r = ~a ;
b) ∇ (~a · ~r) = ~a ;
c) ∇ · (~a ∧ ~r) = 0 ;
d) ∇ ∧ (~a ∧ ~r) = 2~a ;
e) ∇ · (f (r)~a ∧ ~r) = 0 ;
4) Établir les relations suivantes :
~ =a ∇·V
~ + V
~ · ∇ a;
a) ∇ · aV
~∧B
~ =B
~ ∇∧A
~ −V
~ ∇∧B
~ ;
b) ∇ · A
~∧B
~ = B
~ ∧∇ A
~−B
~ ∇·A
~ − A
~·∇ B
~ +A
~ ∇·B
~ .
c) ∇ ∧ A
1.3
Propriétés générales d’écoulements particuliers
1) Démontrer les deux égalités suivantes :
−→ −−→ a) rot grad f = ~0 ;
−→ ~ = 0.
b) div rot A
−−→
2) En déduire qu’un champ de vitesse dérivant d’un potentiel ~v = grad φ, correspond à un écoulement
−→
de vorticité ω
~ = rot ~v uniformément nulle (écoulement irrotationnel), et que le champ de vitesse d’un
~ sur un
écoulement incompressible (à divergence nulle) résulte de la circulation d’un champ vectoriel ψ
contour fermé (fonction courant).
3
1.4
Champ électromagnétique
~ et le champ magnétique H
~ satisfont aux équations de Maxwell :
Dans le vide, le champ électrique E
~ = 0,
∇·E
~ = 0,
∇·H
~ =−
∇∧E
~
∂H
,
∂t
1) Montrer qu’ils satisfont alors aussi à l’équation d’onde :
∇2 ~u =
∂ 2 ~u
.
∂t2
2) Réciproquement, montrer que si ~u vérifie cette équation d’onde, alors :
(
~ = ∇ ∧ (∇ ∧ ~u)
E
~ = ∇ ∧ ∂~u
H
∂t
et
(
~
E
~
H
= −∇ ∧ ∂~u
∂t
= ∇ ∧ (∇ ∧ ~u)
sont deux solutions des équations de Maxwell.
4
~ =
∇∧H
~
∂E
.
∂t
2
— Analyse Dimensionnelle
Rappels sur le théorème π, ou théorème de Buckingham : soit une relation homogène en dimension u1 =
f (u1 , · · · , uk ) reliant k grandeurs physiques faisant intervenir r grandeurs dimensionellement indépendantes (r
est la dimension minimum nécessaire pour décrire les grandeurs physiques ui ). Cette relation peut être réduite à
une relation π1 = Φ(π2 , π3 , · · · , πk−r ) où les k − r grandeurs sans dimension (adimensionnée) πi sont des termes
formés à partir d’une grandeur dimensionnée et de r autres grandeurs dimensionellement indépendantes. Les
a
a
termes π sont de la forme π = uaαα · uββ · uγγ · · · où aα , aβ · · · sont des relatifs entiers ou fractionnaires.
2.1
Chute libre dans un fluide visqueux
On considère la chute lente, à la vitesse V constante, d’une particule sphérique de diamètre d dans un fluide
visqueux de viscosité dynamique µ. On veut déterminer l’expression de la force de frottement F en fonction
de d, V , µ (grandeurs caractéristiques du problème). Les forces d’inertie sont négligeables devant la force de
viscosité.
1) Écrire les équations aux dimensions de F , d, V , µ en fonction de (M, L, T ) (masse, longueur, temps).
2) Déduire le nombre minimum r de variables nécessaires pour exprimer les grandeurs F , d, V , µ, puis le
nombre de grandeurs adimensionnées indépendantes.
3) Chercher le(s) terme(s) π comme un produit des puissances des r grandeurs indépendantes et de la
quatrième grandeur restante.
4) Comparer la relation trouvée avec la loi de Stokes (F = 3πµdV ). Conclure.
2.2
Débit d’un déversoir
Fig. 1 – Vue de côté et de face du déversoir
On suppose que le débit Q (m3 /s) d’un déversoir rectangulaire, en écoulement permanent, est une fonction
de la hauteur h du fluide en amont du déversoir, de la largeur b du déversoir et de l’accélération de la gravité g
(le fluide ne s’écoule que sous l’action de son poids).
1) Écrire les équations aux dimensions de Q, h, b, g.
2) Déduire le nombre minimum r de variables nécessaires pour exprimer les grandeurs Q, h, b, g puis le
nombre de grandeurs adimensionnées indépendantes.
3) A partir de la liste des grandeurs h, b, g sélectionner r grandeurs indépendantes.
4) Chercher les termes π comme le produit des puissances de ces r grandeurs indépendantes et d’une autre
grandeur.
Q
=Φ h .
5) Déduire la relation adimensionnée p
b
gh5
5
2.3
Écoulement sous gradient de pression dans une conduite cylindrique
On considère l’écoulement en régime permanent d’un fluide incompressible soumis à un gradient de pression
dans une conduite cylindrique. On suppose que le gradient de pression G = ∆p/δl appliqué au fluide est une
fonction du diamètre D de la conduite, de la masse volumique ρ et de la viscosité dynamique µ du fluide, ainsi
que de la vitesse moyenne V du fluide :
G = f (D, ρ, µ, V ).
1) Écrire l’équation aux dimensions de G, D, ρ, µ, V en fonction de (M, L, T ).
2) Déduire le nombre minimum r de variables nécessaire pour exprimer les grandeurs G, D, ρ, µ, V puis le
nombre de grandeurs adimensionnées indépendantes.
3) A partir de la liste des grandeurs D, ρ, µ, V sélectionner r grandeurs indépendantes (prendre les expressions
dimensionnelles les plus simples), puis écrire les termes π comme produit de ces r grandeurs indépendantes
et d’une autre grandeur.
4) Déduire la relation adimensionnée :
GD
= Φ(Re),
ρV 2
ρV D
µ est le nombre de Reynolds.
5) On veut obtenir la fonction Φ expérimentalement dans un intervalle donné du nombre de Reynolds.
Pour cela, on mesure les accroissements de pressions appliqués et les vitesses moyennes correspondantes
sur un tuyau cylindrique de 1, 5 m de longueur et de 1, 25 cm de diamètre intérieur. Le fluide est de l’eau
à 15, 6◦ C ; masse volumique ρ = 999 kg/m3 , viscosité dynamique µ = 1, 12 · 10−3 N s/m2 . Compléter le
tableau des GD2 et des Re.
ρV
où Re =
V (m/s)
0,36
0,59
0,89
1,78
3,39
5,16
7,11
8,76
G(N/m3 )
1, 97 · 102
4, 90 · 102
9, 71 · 102
3, 33 · 103
1, 03 · 104
2, 14 · 104
3, 97 · 104
5, 43 · 104
GD/ρV 2
Re
6) Tracer en échelle logarithmique la courbe : GD2 = Φ(Re) (on pourra utiliser la feuille jointe en fin de
ρV
fascicule, ou un logiciel de tracé de courbe). En déduire la fonction Φ.
7) Comparer avec la formule de Blasius :
D
Eu = 0.1582 Re−1/4 ,
δl
où Eu est le nombre d’Euler (voir par exemple H. Schlichting, “Boundary theory” — 7ème édition,
référencé à la BU sous les côtes Sm 478 ou Sm 63).
2.4
Modèles et similitudes
Un modèle (ou maquette) est une représentation d’un système physique qu’on peut utiliser pour prévoir
le comportement d’un prototype dans certaines conditions. Le prototype vérifie une relation entre les valeurs
adimensionnées π1 , π2 , · · · , πn qu’on obtient à partir des connaissances sur la nature générale du phénomène
et des variables qui interviennent : π1 = Φ(π2 , π3 , · · · , πn ). Une relation semblable doit être aussi vérifiée pour
le modèle : π1m = Φ(π2m , π3m , · · · , πnm ). Si l’on choisit l’égalité des valeurs des grandeurs adimensionnées du
modèle et du prototype : π2m = π2 , · · · , πnm = πn , alors π1m = π1 et la mesure de π1m sur le modèle permet
de prédire la valeur de π1 , sur le prototype. Tous les termes adimensionnés correspondants entre modèle et prototype doivent être égaux : c’est la condition de similitude (similitude géométrique, dynamique, cinématique,
etc), que nous allons appliquer ici au cas d’un sillage oscillatoire avec génération de tourbillons.
6
Un corps de section transverse de largeur D et de longueur L, placé dans l’écoulement d’un fluide incompressible à vitesse uniforme V , peut développer dans son sillage des tourbillons qui se détachent régulièrement
à la fréquence ω (allée de tourbillons de Bénard-von Kármán). La structure élastique du corps peut alors se
mettre à vibrer en résonance avec la fréquence de forçage ω, et conduire à un endommagement de la structure.
On considère en illustration la structure d’un pont piétonier d’épaisseur D = 0, 1 m et de longueur transverse
L = 0, 3 m, et l’on veut connaı̂tre pour une vitesse du vent V = 50 km/h la fréquence ω correspondante de l’allée
de tourbillons. On prendra pour masse volumique et viscosité dynamique de l’air respectivement ρ = 1, 23 kg/m3
et µ = 1, 8 · 10−5 N s/m2 . Les grandeurs caractéristiques du problème sont les longueurs D et L du corps, la
vitesse V , la masse volumique ρ et la viscosité dynamique µ du fluide. La fréquence ω doit donc être une fonction
de ces grandeurs :
ω = f (D, L, V, ρ, µ).
A partir d’une maquette à échelle réduite de dimension Dm = 20 mm qui a été testée dans un tunnel à eau, on
mesure une fréquence des tourbillons ωm = 50 Hz. On prendra pour masse volumique et viscosité dynamique
de l’eau respectivement ρm = 103 kg/m3 et µm = 1, 12 · 10−3 N s/m2 .
1) Écrire les équations aux dimensions de ω, D, L, V, ρ, µ.
2) Déduire le nombre minimum r de variables nécessaires pour exprimer les grandeurs ω, D, L, V, ρ, µ ; puis
le nombre de grandeurs adimensionnées indépendantes.
3) A partir de la liste des grandeurs D, L, V , ρ, µ, sélectionner r grandeurs indépendantes. Chercher les
termes π comme produits de ces r grandeurs indépendantes et d’une autre grandeur.
4) Déduire la relation adimensionnée :
St = Φ
D
, Re ,
L
ρV D
où St = ωD
V est le nombre de Strouhal et Re = µ le nombre de Reynolds.
5) Déterminer la dimension Lm du modèle (similitude géométrique).
6) Déterminer la vitesse de l’eau dans le modèle (similitude géométrique et similitude du nombre de Reynolds). A quelle vitesse faudrait-il souffler si l’expérience modèle était faite également dans l’air ?
7) Déduire la fréquence des tourbillons sur le prototype (similitude du nombre de Strouhal).
7
3
— Ressaut hydraulique dans un canal
On considère un écoulement stationnaire dans un canal ouvert rectangulaire et de pente négligeable. On
s’intéresse à la formation d’un ressaut immobile (changement brutal de la profondeur de H1 en amont, à H2
en aval ; ce changement s’effectue sur une distance comparable à la profondeur, avec H1 < H2 ). Pour simplifier
l’analyse, on modélise cet écoulement en négligeant la viscosité et la compressibilité du fluide et en supposant
~1 et V
~2 uniformes et horizontales en amont comme en aval du ressaut. La géométrie
les vitesses d’écoulement V
de l’écoulement est représentée sur la figure 1.
Fig. 1 – Ressaut hydraulique
1) Montrer que la répartition de la pression dans le fluide en amont et en aval du ressaut est hydrostatique.
Exprimer la pression P (z) en amont et en aval du ressaut en fonction de la masse volumique ρ du fluide,
de la hauteur z considérée et de la pression atmosphérique P0 .
2) Equation de conservation de la masse. Donner l’expression du débit massique Dv en fonction de (V1 , H1 , L)
et (V2 , H2 , L), L étant la largeur du canal.
3) Equation de transport de la quantité de mouvement.
a) Utiliser le théorème du transport de Reynolds relatif à la densité de quantité de mouvement pour
obtenir la relation entre les grandeurs amont et aval :
1
1
g H12 + V12 H1 = g H22 + V22 H2 ,
2
2
où g est l’accélération de la pesanteur.
b) On définit les nombres de Froude amont et aval :
V1
F r1 = √
,
gH1
V2
F r2 = √
gH2
et
α=
H2
.
H1
Calculer V1 et V2 , puis F r1 et F r2 , en fonction de H1 , H2 et g, et enfin α en fonction de F r1 .
c) Montrer que pour α > 1 on a F r1 > 1 (régime super-critique ou torrentiel) et F r2 < 1 (régime sous
critique ou fluvial).
d) Application numérique : avec un débit par unité de largeur de 1,5 m2 s−1 et une profondeur d’approche
de 0,2 m, calculer F r1 puis H2 .
4) Bilan énergétique.
a) On rappelle que pour une particule
de fluide de vitesse ~v dans un champ de pesanteur, la densité
d’énergie est e = ρ v 2 /2 + gz et que la puissance fournie par les forces de pression P à travers une
~ est −P~v · dS.
~ En appliquant le théorème du transport de Reynolds à la densité d’énergie,
surface dS
montrer que l’on a la relation
2
ZZ
◦
~v
P
~
~v · dS,
− Q= ρ
+ gz +
2
ρ
sc
◦
où Q est la puissance dissipée sous forme de chaleur dans le volume de contrôle (VC) par la turbulence
et SC est la surface de contrôle.
8
b) Donner l’expression de la puissance dissipée dans le ressaut en fonction de Dv , des grandeurs V et H
en amont et aval, ainsi que de ρ et g. Calculer la puissance dissipée pour un canal d’un mètre de largeur
contenant de l’eau (H1 = 0, 2 m, Dv = 1, 5 m3 /s). En déduire l’échauffement de l’eau entre l’entrée et
la sortie du ressaut.
5) Vitesse de propagation d’un mascaret. Un mascaret est une surélévation brusque des eaux, qui se produit
dans certains estuaires au moment du flux de marée, et qui progresse rapidement (à la célérité c) vers
l’amont sous la forme d’une vague déferlante (voir Figure 2). En amont du front d’onde, la hauteur d’eau
est H2 et la vitesse d’écoulement est V2 (V2 < c) ; en aval, la hauteur d’eau est H1 (H1 < H2 ) et le liquide
est immobile.
a) Représenter sur une figure le volume de contrôle AA0 B 0 B dans le référentiel se déplaçant à la vitesse −c
par rapport au sol ainsi que les vitesses d’écoulement V10 et V20 en amont et en aval de la discontinuité.
b) En utilisant un changement de référentiel adéquat ainsi que les résultats obtenus pour le ressaut, calculer
la vitesse de propagation c en fonction de H1 , H2 et g.
c) Dans le cas limite où H2 /H1 = (1 + ε), avec ε → 0, comment sont modifiés les résultats lorsque la
vitesse d’écoulement V1 en aval n’est pas nulle ?
Fig. 2 – Mascaret de la Seine au niveau de Quillebef en 1920.
9
4
— Équations de continuité
4.1
Jet impactant sur une plaque mobile
Un jet d’eau cylindrique horizontal vient impacter sur un piston circulaire de même axe que le jet et de
centre C (Figure 3). Dans le référentiel galiléen R0 , la vitesse de l’eau dans le jet est ~v1 = v1 ŷ, et la plaque
possède une vitesse uniforme ~u = uŷ inférieure à v1 . On supposera que la vitesse du jet est uniforme sur toute
une section droite Σ1 du jet et vaut ~v1 , et qu’elle vaut dans une section droite Σ2 du jet sortant v~2 = uŷ + v20 r̂,
où r̂ est le vecteur radial perpendiculaire à l’axe (C ŷ) du disque. On négligera les effets de la pesanteur.
Fig. 3 – Jet impactant sur un piston circulaire.
1) Exprimer v20 en fonction de v1 et u.
2) Dans le référentiel R0 se déplaçant avec la plaque à la vitesse ~u par rapport à R0 , montrer que la plaque
est soumise à une force F~ = ρS1 (v1 − u)2 ŷ, où S1 est l’aire de la section Σ1 .
3) Calculer en fonction de ρ, S1 , v1 et u :
– La puissance mécanique Pm reçue par la plaque (mesurée dans R0 ) ;
– Le débit d’énergie cinétique de l’eau PC1 à travers Σ1 dans R0 ;
– Le débit d’énergie cinétique de l’eau PC2 à travers Σ2 dans R0 ;
Pm , et le calculer pour ρ = 103 kg.m−3 , v = 120 m.s−1 , u = 40
4) Etablir l’expression du rendement η = P
1
C1
m.s−1 , S1 = π · 10−4 m2 .
5) Montrer que Pm peut être évaluée en effectuant un bilan énergétique dans R0 sur un système que l’on
précisera.
4.2
Jet impactant sur une ailette tournante
On considère une plaque rectangulaire de largeur 2l, de masse m, mobile sans frottements solides autour d’un
axe horizontal ∆ qui coı̈ncide avec l’un de ses coté (Figure ). Un jet parallèle horizontal très fin de liquide est
envoyé sur cette plaque, à une distance h de l’axe ∆. Le fluide est supposé parfait, homogène, et incompressible,
de masse volumique ρ. Le débit massique Dm du jet est constant. La vitesse dans le jet est constante et égale en
norme à u. La pression du milieu ambiant est uniforme est égale à P0 . Les effets de la pesanteur sont négligeables
sur la dynamique du fluide.
1) Montrer que partout où les trajectoires dans le liquide sont rectilignes et parallèles, la pression dans le
liquide en contact avec le milieu ambiant est P0 .
2) Après impact sur la plaque, le liquide s’écoule dans un film de faible épaisseur le long de la plaque.
Déterminer, en régime permanent, l’angle α que prend la plaque par rapport à la position verticale —
position d’équilibre en l’absence de jet.
10
3) Après impact, le fluide se sépare en fait en 2 jets fins longeant la plaque, dans le plan vertical du jet
incident, l’un vers le bas, l’autre vers le haut. Déterminer les débits en masse D1 et D2 des 2 jets, en
fonction du débit Dm incident et de l’angle α.
4.3
Rendement d’une éolienne (d’après Partiel novembre 2006)
On suppose que l’action du vent sur les pales d’une éolienne est équivalente à celle du vent sur un disque
perméable de surface S. Cette hypothèse, dite du « disque actuateur »de Froude, permet de faire des calculs à
une dimension selon l’axe Ox.
Fig. 4 – Lignes de courant autour du disque actuateur.
L’allure des lignes de courant est schématisée sur la figure 2. On supposera à partir de maintenant que le
fluide est parfait et l’écoulement stationnaire. On note u(x) la vitesse supposée uniforme dans toute section
transverse à l’intérieur du volume de contrôle et continue pour tout x. La pression p(x) est discontinue en x = 0.
On suppose de plus que les surfaces amont et aval sont suffisamment loin pour que la pression y soit égale à la
pression atmosphérique P0 .
1) Écrire les débits volumiques en x0 , x1 = 0 et x2 en fonction des surfaces et des vitesses qui interviennent
dans le problème.
2) Tracer l’allure des fonctions u(x) et p(x). Calculer le saut de pression PB − PC au niveau du disque. En
déduire la force F s’appliquant sur le disque. Pourquoi ne peut on pas appliquer la loi de Bernoulli au
niveau du disque ?
3) Appliquer le théorème du transport de Reynolds sur le volume de contrôle contenu entre S0 et S2 . Quelles
sont les forces appliquées sur ce volume ? Quels sont les flux de quantité de mouvement ? La pression
atmosphérique P0 apporte-t-elle de la quantité de mouvement au fluide ? Pourquoi ? En déduire une autre
expression de F .
4) En égalisant les expressions de F trouvées en 3b et 3c, et la conservation du débit en déduire que l’on a
u1 = (u0 + u2 )/2.
5) De la conservation du débit en déduire que S1 = 2S0 S2 /(S0 + S2 ).
6) On définit le rendement aérodynamique de l’éolienne comme le rapport η entre la puissance générée
P = F~ · ~u et la puissance entrante Pe . Exprimer η en fonction du rapport a = u2 /u0 . Montrer que ce
rapport est maximum pour a = 1/3 (formule de Betz). Calculer alors η et P pour a = 1/3, puis pour
a = 0 et a = 1. Qu’en concluez-vous ?
4.4
Étude d’un hélicoptère léger
On considère un hélicoptère léger de masse M = 150 kg (passager compris). Le diamètre du rotor est noté
D0 . La masse volumique de l’air vaut ρ = 1.25 kg.m−3 .
1) Étudier, en fonction de D0 , la puissance nécessaire pour maintenir l’hélicoptère immobile en l’air. (On
supposera que l’air sous l’appareil forme un jet cylindrique vertical.)
2) Quelle puissance doit-on demander au moteur en admettant que D0 = 4 m. Compte-tenu des possibilités actuelles des moteurs à explosion (moteur d’automobile, de motocyclette...), la solution paraı̂t-elle
plausible ?
3) Peut-on envisager une solution pratique où la sustentation serait assurée par la seule puissance musculaire
de l’homme ?
11
5
— Statique des fluides
5.1
Autour de soi
1) Un cube de glace flotte dans un verre d’eau. Quand la glace a fondu, quel est le niveau d’eau dans le
verre ?
2) Même question si le cube de glace contient un morceau de métal suffisamment petit pour que le glaçon
flotte encore.
3) Même question si le métal est remplacé par un morceau de liège.
4) Expliquer pourquoi un ballon à gaz montera à une altitude bien déterminée, alors qu’un sous-marin qui
commence à s’enfoncer descendra jusqu’au fond.
5) Dans une voiture qui démarre, un enfant tient un ballon gonflé à l’hélium. De quel côté se déplace le
ballon ?
5.2
Fluides non miscibles
On considère un récipient contenant deux liquides (huile et eau) non miscibles, soumis à la force de pesanteur.
La masse volumique de l’eau est ρeau = 1000 kg.m−3 , celle de l’huile ρhuile = 600 kg.m−3 .
1) Les deux fluides sont au repos. Comment se disposent-ils dans le récipient ?
2) Quelle est la forme de la courbe P (z) de pression en fonction de l’altitude z, z = 0 étant pris au fond du
récipient ?
3) On place maintenant une bille de bois (masse volumique ρbois = 900 kg.m−3 ) dans le dispositif précédent.
Où se trouve la position d’équilibre de la bille ? Quelle fraction du volume de la bille est immergée dans
l’eau ?
4) On remplit maintenant un tube en U avec de l’eau jusqu’à une hauteur de 10 cm par rapport au fond. La
section du tube est de 1 cm2 . On ajoute alors 2 cm3 d’huile dans une des branches du tube.
a) À quelle hauteur se trouve la surface libre de l’huile ?
b) À quelle hauteur se trouve l’interface huile-eau ?
c) À quelle hauteur se trouve la surface libre de l’eau dans l’autre branche ?
5.3
Pression dans une conduite
Pour connaı̂tre la pression absolue à l’intérieur d’une conduite où circule un fluide de masse volumique ρ, on
dispose côte à côte un baromètre et un manomètre, tous deux remplis de mercure de masse volumique ρ0 et on
lit les cotes H0 , H1 et H2 (voir Fig.1).
Fig. 1 – Détermination de la pression absolue d’une conduite.
1) Déterminer l’expression de la pression sur l’axe de la conduite, en fonction des données du problème.
12
2) Calculer en pascals et en bars la pression sur l’axe de la conduite lorsque le fluide est de l’air (ρ ' 0) ou de
l’eau (ρ = 1000 kg.m3 ), avec H0 = 75.6 cm, H1 = 32.4 cm, H2 = 19.2 cm. Masse volumique du mercure :
ρ0 = 13590 kg.m3 ; constante de pesanteur : g = 9.8 m.s−2 .
5.4
Le Principe d’Archimède
L’histoire de la génèse du fameux principe d’Archimède remonte au IIIe siècle avant J.C. Hiéron, roi de
Syracuse (−265 à −215), demanda au meilleur orfèvre de la ville de lui confectionner une couronne en or, et lui
procura l’or dont celui-ci avait besoin pour mener à bien son ouvrage. L’orfèvre revint quelques semaines plus
tard avec le flamboyant joyau. Mais le roi fut pris d’un doute ; certes la couronne avait le poids du précieux
métal initialement mis à disposition de l’orfèvre, mais comment s’assurer que ce dernier n’avait pas remplacé une
certaine quantité d’or par une quantité équivalente, en masse, d’argent — s’enrichissant ainsi frauduleusement
sur le dos de son souverain ? Le roi demanda à son ami et fidèle conseiller, Archimède, de résoudre son dilemne.
Archimède se mit anxieusement mais passionément à la tache... C’est en prenant son bain que l’idée lui vint de
la façon dont il fallait procéder, ce qui lui arracha son fameux “Eurêka ! ” — après l’avoir arraché de son bain
et jeté nu dans la rue. Archimède devint l’un des hommes les plus célèbre de l’Histoire. L’orfèvre quant à lui
connut un tout autre sort. Il fut décapité.
Fig. 2 – Buste d’Archimède.
1) Montrer qu’en effet le Principe d’Archimède permet en théorie de résoudre le problème.
2) On donne les masses volumiques de l’or et de l’argent respectivement : ρAu = 19.3 kg.dm−3 , ρAg = 10.5
kg.dm−3 . En supposant que l’orfèvre ait dérobé au plus 40 % du précieux métal, déterminer l’effet produit
si l’expérience était faite avec de l’eau, et pour une couronne pesant M = 5 kg.
3) L’effet est-il décelable ?
g
5.5
Barrage-poids
On va chercher à établir dans cet exercice les conditions d’équilibre d’un barrage poids.
1) On considère d’abord un barrage dont la section transverse est un triangle rectangle (Figure 3 droite). On
note L la longueur du barrage d’un bord à l’autre de la falaise, h sa hauteur, et l la largeur à sa base. Le
béton constituant le barrage a une densité d = 2.2. On note ρ0 la masse volumique de l’eau. On se place
dans une situation dans laquelle le lac de retenue est plein (hauteur d’eau h).
a) Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le barrage. A quelle condition le barrage ne glisse-t-il pas
vers l’aval sous la pression de l’eau ?
b) Quel est l’effet global de la pression atmosphérique ? (on la négligera dans la suite.)
c) Calculer la résultante des forces pressantes sur la face amont du barrage.
d) Répertorier tous les moments de forces susceptibles de faire basculer le barrage autour du point O, ainsi
que ceux qui le stabilisent.
13
Fig. 3 – Barrage-poids dans le Cantal (à gauche) et sa section transverse à droite.
e) En fait il peut apparaı̂tre des forces de sous-pression sur la base du barrage, notamment si l’eau parvient
à s’infiltrer dans une roche perméable. On suppose que la réaction normale du sol par unité de surface
sur la base du barrage varie alors linéairement avec x :
~
δ F~ = (a + b x) dS
x = 0 en O; x = l en A
En écrivant la condition d’équilibre statique du barrage sur les forces et les moments, déterminer a et
b.
f ) Que se passe-t-il lorsque d > (h/l)2 ? Discuter du rapport (h/l) optimal selon la densité d du béton.
Fig. 4 – Section de barrage triangulaire.
2) On désire à présent optimiser la forme du barrage, la section triangulaire pouvant ne pas nécessairement
être à angle droit (Figure 4).
a) En discutant des moments stabilisants et déstabilisants du problème, déterminer qualitativement si
l’existence d’un parement vertical est une forme optimale pour un barrage poids.
b) Déterminer par le calcul la forme optimale.
c) En admettant, soit que la sous-pression agissant sur la base horizontale du barrage soit nulle, soit qu’elle
varie linéairement le long de cette face depuis la pression maximale jusqu’à zéro, calculer les pentes des
parements et le poids du barrage par mètre courant pour ce tracé optimal.
14
5.6
Poussée d’Archimède à deux fluides
On considère un solide S maintenu à la surface de séparation entre deux fluides incompressibles, non miscibles,
de masses volumiques respectives ρ1 et ρ2 .
1) Préliminaire : montrer que si s(M ) est une fonction scalaire continue à dérivées continues, alors on a,
d’après la formule d’Ostrogradski, l’égalité suivante :
ZZ
ZZZ −−→
s(M )~nδS =
grad s(M ) δτ.
V
Σ
2) Déterminer la résultante des forces s’exerçant sur S, les seules forces volumiques prises en compte étant
celles de pesanteur.
3) Même question pour le moment des forces de pression en un point O. On rappelle que :
ZZ
ZZZ
−→ ~
~ (M ) =
~nδS ∧ V
rot V (M ) δτ
V
Σ
4) Conclure. Appliquer les résultats précédents à un corps flottant sur l’eau.
5.7
Archimède en référentiel tournant
Dans un référentiel R un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ est en rotation uniforme à la
vitesse angulaire ω
~ 0 autour d’un axe vertical porté par ẑ.
1) Déterminer les actions (résultantes, moments résultants) du fluide sur un corps totalement immergé et au
repos par rapport à lui.
2) Écrire ce que deviennent ces actions dans le cas d’un corps homogène de masse volumique ρ0 .
3) Étudier la possibilité d’équilibre relatif d’un corps solide homogène flottant à la surface du fluide tournant.
15
6
— Écoulements potentiels
6.1
Ecoulements 2D-2C
Dans un fluide incompressible, on considère un écoulement stationnaire, dont le champ de vitesse ~v est
irrotationnel. Le mouvement est supposé bidimensionnel :
~v = vx (x, y)êx + vy (x, y)êy .
−−→
1) Montrer que le champ de vitesse dérive d’un potentiel φ : ~v = grad φ, mais qu’il dérive aussi d’un potentiel−
→
~ : ~v = rot A.
~ Montrer que dans le cas particulier considéré, le potentiel-vecteur A
~ peut se mettre
vecteur A
sous la forme :
~ = ψ(x, y)~ez .
A
(La fonction ψ est appelée fonction de courant de l’écoulement.)
2) Établir les relations de Cauchy-Riemann, qui lient le potentiel de vitesse φ à la fonction courant ψ :
∂ψ
∂φ
=
,
∂y
∂x
∂ψ
∂φ
=− .
∂x
∂y
3) Montrer que ces relations deviennent, en coordonnées polaires (r, θ) dans le plan (xOy) :
∂φ
∂ψ
=
,
r∂θ
∂r
∂ψ
∂φ
=−
.
∂r
r∂θ
4) Montrer que φ et ψ satisfont toutes deux à une équation de Laplace. (φ et ψ sont dites fonctions
harmoniques conjuguées.)
5) Rappeler la définition d’une ligne de courant. Établir que les courbes d’altitude z constante sur lesquelles
la fonction de courant ψ est constante s’identifient en fait aux lignes de courant.
6.2
Potentiels complexes d’écoulements simples
Tracer les lignes de courant ψ=Cste et les équipotentielles φ =Cste des écoulements bidimensionnels décrits
par les potentiels complexes f = φ + iψ suivants, et conclure sur la nature de ces écoulements.
1)
2)
3)
4)
f (z) = V z.
f (z) = C ln z, où C est constante réelle.
f (z) = iC ln z, où C est constante réelle.
f (z) = az 2 /2.
2
5) f (z) = V z + az .
6) f (z) = C ln zz −
+ .
2
z.
7) f (z) = V z + az − iC ln a
6.3
Combinaison d’écoulements simples
On étudie dans le plan complexe z = x + iy le potentiel complexe :
qv
ln z.
f (z) = φ + iψ = V z +
2π
1) On peut considérer l’écoulement qu’elle représente comme la superposition de deux écoulements simples.
Quels sont-ils ?
2) Que représente la ligne de courant particulière :
qv
ψ= ?
2
(On trouvera en particulier une ligne en forme de U s’étendant jusqu’à l’infini.)
3) Montrer qu’en remplaçant cette ligne par une paroi solide de même forme, l’écoulement irrotationnel ne
serait pas modifié.
16
6.4
Lignes de courant au voisinage d’un coin
On veut déterminer les caractéristiques de l’écoulement potentiel d’un fluide autour de l’angle α formé par
l’intersection de deux plans (au voisinage du sommet de l’angle). On se placera dans un système de coordonnées
polaires (r, θ) dans le plan de la section droite orthogonal à l’arête du dièdre avec le pôle au sommet (voir Figure
1). L’angle θ est compté à partir de l’une des droites formant l’angle du dièdre.
Fig. 1 – Écoulement au voisinage d’un coin.
1) Représenter sur la Figure 1 l’allure des lignes de courant à laquelle vous vous attendez dans les deux cas
où l’angle est aigu ou obtu.
2) Montrer que le potentiel de vitesse φ est solution d’une équation de Laplace ∆φ = 0. Vérifier que le
potentiel :
φ(r, θ) = Arn cos nθ
est bien solution de cette équation en coordonnées polaires.
∂φ
= 0 pour θ = 0 et α. Quelle condition cela implique-t-il sur
3) Montrer qu’il faut imposer la condition
∂θ
n?
4) En déduire la fonction de courant ψ(r, θ) de l’écoulement. Représenter les lignes de courant au voisinage
du coin, et comparer à la représentation que vous en aviez faite à la question 1.
6.5
Écoulement au voisinage d’un point d’arrêt
L’écoulement au voisinage d’un point d’arrêt est donné par la fonction complexe :
f (z) =
a 2
z .
2
1) Tracer les lignes de courant et les équipotentielles.
2) Quelles sont les composantes de la vitesse au point M de coordonnées :
x = 3 cm
y = 0.2 cm
1 = 1 seconde ?
en admettant pour la constante la valeur a
5
17
7
— Dynamique de fluides parfaits
7.1
Mouvement irrotationnel instationnaire autour d’un cylindre
1) On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide parfait incompressible et homogène, de masse volumique ρ, autour d’un cylindre immobile de rayon a et d’axe (Oz) perpendiculaire à l’écoulement principal
(Figure 2). A grande distance du cylindre, la vitesse du fluide est uniforme mais dépend du temps :
~u = u(t)x̂. L’écoulement est irrotationnel de potentiel φ(~r, t). Les effets de la pesanteur sont négligeables.
Fig. 2 – Écoulement irrotationnel autour d’un cylindre.
a) Montrer que φ satisfait à l’équation de Laplace ∆φ = 0.
b) Établir la forme que prend l’équation de Bernoulli dans le cas instationnaire. Montrer qu’on peut
l’écrire sous la forme :
v2
∂φ
+ P + ρ = F (t).
ρ
∂t
2
c) Une solution de l’équation de Laplace s’écrit :
A(t)r cos θ + B(t) ln
r
a
+ D(t)
cos θ
,
r
où (r, θ) sont les coordonnées polaires par rapport à l’axe de référence Ox. Donner les composantes du
champ de vitesse en coordonnées polaires. Quelles doivent être les valeurs prises par A, B, et D ?
d) Déterminer la pression exercée par le fluide sur la surface du cylindre. En déduire la résultante, par
unité de longueur, des forces de pression. Que se passe-t-il si du = 0 ?
dt
2) Un vent de vitesse uniforme à l’infini V souffle horizontalement dans la direction Ox sur une cheminée
cylindrique verticale de section circulaire, d’axe perpendiculaire à Ox, et de diamètre 2a = 4 m (Fig.). La
vitesse du vent étant modifiée dans le voisinage de la cheminée, à quelle distance horizontale de celle-ci
doit-on se placer sur Ox en amont du cylindre ou sur la direction perpendiculaire Oy pour que la valeur
de cette modification ne dépasse pas 1 % ?
7.2
Écoulement à symétrie de révolution
On considère, dans un fluide parfait, homogène et incompressible, un écoulement irrotationnel à symétrie
de révolution, tel que le champ de vitesse soit dans le plan méridien. On utilisera les coordonnées cylindriques
(coordonnées (r, θ, z)), dont l’axe Oz est l’axe de révolution de l’écoulement. Le champ de vitesse dérive d’un
potentiel φ.
1) Montrer que le champ de vitesse se met sous la forme :
−→ ψ(r, z)
~v = rot
~eθ .
r
où ψ(r, z) est la fonction de courant de l’écoulement de révolution.
18
2) Montrer que ψ est constante sur une ligne de courant.
3) Soient deux lignes de courant voisines, dans un même plan méridien, correspondant à des valeurs ψ et
~ un vecteur élémentaire dans le plan méridien, allant de l’une des
ψ + dψ de la fonction de courant. Soit δl
~ autour de l’axe de révolution engendre une surface annulaire
lignes de courant à l’autre. La rotation de δl
d’aire δS, et de normale ~n. Montrer que le débit volumique δDv de fluide traversant la surface d’aire
δS vaut 2πdψ. En déduire la valeur du débit volumique circulant dans le tube de courant, limité par les
surfaces ψ = ψ1 et ψ = ψ2 .
4) On considère une sphère de centre O et de rayon R, possédant un mouvement de translation rectiligne,
de vitesse ~v0 = v0~ez dans le fluide, ce dernier étant immobile à grande distance de la sphère. On admet
que le potentiel φ du champ de vitesse est de la forme :
φ=
~ · ~r
A
,
r3
~ est un vecteur qui ne dépend, éventuellement, que du temps, et où ~r = OM
~ (potentiel dipolaire).
où A
a) Déterminer l’expression vectorielle du champ de vitesse du fluide.
b) Quelle sont les conditions aux limites pour le champ de vitesse sur la sphère ?
~
c) En déduire l’expression du vecteur A.
d) Évaluer les composantes vr (r, z) et vz (r, z) du champ de vitesse en coordonnées cylindriques.
e) Déterminer la fonction de courant ψ(r, z). Que vaut-elle lorsque r → ∞ ?
f ) Représenter graphiquement les lignes de courant au voisinage de la sphère.
g) Utiliser la fonction ψ pour évaluer le débit volumique du fluide traversant le plan diamétral xOy, à un
instant donné. Retrouver ce débit par un calcul direct, à l’aide du champ de vitesse.
7.3
Régime non stationnaire
Un fluide dans l’état de repos occupe toute la région des z négatifs (z 0 z est un axe vertical ascendant). La
propagation d’une onde de gravitation engendre un mouvement du fluide caractérisé par le champ de vitesse
suivant :

 vx (x, y, z, t) = aωekz cos(ωt − kx)
vy (x, y, z, t) = 0

vz (x, y, z, t) = −aωekz sin(ωt − kx)
On supposera ka 1.
1) Que signifie cette approximation ?
2) Montrer que le fluide se comporte comme un fluide incompressible.
3) Déterminer l’équation des lignes de courant. En donner l’allure graphique.
4) Caractériser les trajectoires des particules fluides.
5) Représenter sur un même schéma les positions occupées par des particules dont les coordonnées au repos
seraient :
λ
avec
0 ≤ n ≤ 4,
z = z0
et
x = x0 = n
8
où λ est la longueur d’onde. On effectuera le calcul pour λ = 80 cm et a = 0, 5 m.
7.4
Écoulement autour d’un tube de Pitot
Dans ce problème, nous allons déterminer le profil d’un tube de Pitot optimal pour la mesure de la pression
statique dans un fluide. L’écoulement est supposé stationnaire, irrotationnel, et de révolution autour d’un axe
longitudinal Oz (perpendiculaire au champ de pesanteur). Le fluide est supposé parfait et incompressible, de
masse volumique ρ. Pour ce type d’écoulement, le potentiel des vitesses d’un écoulement uniforme (de vitesse
V0 ) et le potentiel des vitesses d’une source s’écrivent respectivement, en coordonnées cylindriques `, θ, z :
φ1 = V0 z
φ2 = −
19
−1/2
D 2
` + z2
,
4π
avec D positif. Si ψ désigne la fonction courant de l’écoulement, les relations liant ψ et φ sont :
1 ∂ψ
∂φ
=
;
∂z
` ∂`
∂φ
1 ∂ψ
=−
.
∂`
` ∂z
1) Donner les expressions du potentiel des vitesses φ et de la fonction de courant ψ résultant de la superposition de l’écoulement uniforme et de la source. On exprimera φ et ψ en fonction de ` et z, puis en
coordonnées sphériques en fonction de r et ϕ, avec :
z = r cos ϕ,
` = r sin ϕ.
2) Il existe dans le plan méridien (défini par les vecteurs ~e` et ~ez ) une ligne de courant symétrique par
rapport à ~ez d’extension infinie vers l’aval et délimitant le plan en deux parties. Cette ligne de courant est
obtenue en donnant à ψ la valeur r
D/(4π). Donner l’équation de cette ligne de courant dans le système de
D .
coordonnées r, ϕ. On posera R = 4πV
0
3) Tracer l’allure de cette ligne de courant. La surface de courant engendrée par rotation autour de ~ez donne
l’allure du fuselage d’un tube de Pitot. Calculer le diamètre de ce tube à l’infini aval.
4) On matérialise la surface de courant précédente et on calcule la répartition des vitesses sur le fuselage
obtenu. Exprimer alors le module U de la vitesse sur le fuselage en fonction de r, ϕ.
5) Déterminer le point de vitesse nulle et les points de vitesse V0 .
6) Calculer le coefficient de pression :
p − p0
,
1 2
ρV0
2
où p est la pression en un point du fuselage, et p0 et V0 sont respectivement la pression et la vitesse à
l’infini. Donner l’allure de la variation de Cp en fonction de z.
Cp =
7) En fonction des résultats précédents, donner des indications sur la position souhaitable de la prise de
pression statique pour une mesure précise de la vitesse V0 à l’infini.
7.5
Effet Magnus
Un cylindre de rayon R et de longueur infinie est placé dans un fluide en mouvement. L’écoulement bi~ est uniforme et perpendiculaire à l’axe du cylindre.
dimensionnel est stationnaire ; sa vitesse asymptotique U
~ est suffisamment petit pour qu’il puisse être
On suppose que le fluide est non visqueux, que le module de U
considéré comme incompressible. On suppose également qu’aucune force extérieure n’agit sur le système.
1) Que peut-on dire de la circulation du champ de vitesse :
a) Sur un circuit fermé n’entourant pas le cylindre ? (En déduire que le rotationnel du champ de vitesse
est partout nul dans le fluide).
b) Sur un circuit fermé entourant le cylindre ?
c) Sur deux circuits fermés entourant le cylindre ?
2) Rappeler les équations différentielles satisfaites par le champ de vitesse et la pression.
3) Quelles sont les conditions aux limites imposées au champ de vitesse ?
−−→
a) Montrer qu’on peut définir un “potentiel des vitesses” Φ tel que ~u = grad Φ
b) Quelles sont les équations aux dérivées partielles satisfaites par le potentiel de vitesse Φ et la pression ?
4) Soit K le référentiel d’inertie dont l’axe Oz est confondu avec l’axe du cylindre et dont l’axe Ox est orienté
~ . On cherche, dans ce référentiel, des solutions pour Φ qui, en coordonnées cylindriques, soient à
selon U
variables séparées.
20
a) Montrer que les fonctions :
Φ0 (r, θ) = (a0 ln(r) + b0 ) (c0 θ + d0 )
et
Φn (r, θ) =
bn
an r + n
r
n
(1)
cos(n θ + ψn )
n entier
(2)
sont solutions de l’équation de Φ. Existe-t-il d’autres solutions à variables séparées ?
b) Quelles sont les restrictions imposées par la valeur asymptotique de ~u(r, θ) à la solution générale obtenue
par combinaison linéaire de ces fonctions ?
c) Quelles sont celles imposées par les conditions aux limites sur la surface du cylindre ?
d) Quelles sont celles imposées par la continuité du champ de vitesse ?
e) Déduire de ces résultats la solution la plus générale (notée Φp dans ce qui suit) que l’on puisse construire
avec les fonctions ci–dessus.
5) L’air est en fait faiblement visqueux, mais on suppose que cette viscosité est suffisamment petite pour que
ses effets ne soient notables que dans le “voisinage immédiat” du cylindre. On espère donc pouvoir décrire
approximativement la solution de l’équation de Navier–Stokes avec le champ de vitesse déduit de Φp .
a) Pour un cylindre tournant sur lui même avec une vitesse angulaire Ω quelle serait la circulation C du
champ de vitesse sur un cercle coaxial au cylindre et très voisin de celui-ci ?
b) Le champ de vitesse déduit de Φp et ayant cette circulation satisfait-il, sur le cylindre, aux conditions
aux limites imposées par une viscosité non nulle ?
6) Malgré ses imperfections on prend comme solution approchée le champ de vitesse :
2
R
ur (r, θ) = U 1 − 2 cos(θ)
r
2
2
R
Ω
R
uθ (r, θ) =
r − U 1 + r2 sin(θ)
(3)
Calculer la pression en chaque points du cylindre et en déduire la force par unité de longueur que le fluide
exerce sur celui–ci. Quelle propriété remarquable cette force possède–t–elle ? Est–ce vraisemblable ?
7) Etude grossière des lignes de courant.
8) Déterminer, pour Ω = 0, les points de vitesse nulle à la surface du cylindre et tracer la ligne de courant
passant par ces points. Tracer l’allure des autres lignes de courant.
9) Déterminer dans le cas général les points de vitesse nulle, et la valeur Ω0 de Ω pour laquelle ces deux
points sont confondus. Que se passe–t–il pour Ω > Ω0 .
10) Tracer l’allure des lignes de courant pour : Ω < Ω0 , Ω = Ω0 et Ω > Ω0 .
21
8
— Écoulements de Bernoulli
8.1
De la signification physique de l’équation de Bernoulli
1) Montrer que le théorème de Bernoulli écrit sous la forme :
p
v2
+ gz +
= C te
ρ
2
est une forme particulière du théorème de la conservation de l’énergie, où l’on détaillera la nature de
chacun des termes.
2) Donner une interprétation en termes de pression du théorème de Bernoulli écrit sous la forme :
p + ρgz + ρ
v2
= C te .
2
3) Donner une interprétation graphique du théorème de Bernoulli écrit dans une forme homogène à une
hauteur :
v2
p
+z+
= C te .
ρg
2g
4) Pour des vitesses v du fluide inférieures à environ 0.3 fois la vitesse du son dans le fluide, on peut admettre
avec une bonne approximation que le fluide est incompressible. La masse volumique ρ peut alors être prise
constante, et introduite dans la constante du terme de droite. Dans le cas où le terme ρgz est petit devant
les deux autres, il reste :
v2
p + ρ = C te .
2
Que se passe-t-il lorsque la vitesse v du fluide augmente ? Proposer une expérience simple qui permet de
mettre en évidence ce phénomène.
Fig. 1 – Daniel Bernoulli et Leonhard Euler.
8.2
Étude d’un jet d’eau
On considère le jet d’eau monumental qui orne les bords du lac Léman, à Genève. Son diamètre initial est
de 107 mm, et il s’éleve verticalement à une hauteur de 156 m.
1) En négligeant les pertes par frottements dans l’air, calculer la pression, le débit, et la puissance hydraulique
nécessaire pour alimenter le jet.
22
2) Pour le jet réel, la pression, le débit, et la puissance sont bien ceux calculés précédemment, mais la hauteur
du jet n’est que de 130 m. En déduire le rendement énergétique du jet, et donner une interprétation à la
différence de hauteur observée.
3) La puissance hydraulique est fournie par des groupes dont la puissance consommée est 1020 kW. Calculer
le rendement de la pompe.
8.3
Vidange d’un réservoir
1) On considère un réservoir cylindrique d’eau (fluide supposé parfait et incompressible), de section S, où le
niveau initial de l’eau est h0 . On ouvre une vanne de section s (s S) au bas du réservoir.
a) Montrer que l’écoulement est potentiel.
b) En supposant l’écoulement quasi-stationnaire, déterminer comment varie la vitesse V (t) de l’écoulement
en sortie de vanne en fonction de la hauteur d’eau h(t). En déduire que la vidange ne s’effectue pas à
vitesse constante.
c) En déduire l’équation différentielle vérfiée par h(t). La résoudre, et en déduire le temps que mettra le
réservoir pour se vider.
d) Montrer a posteriori que les termes de dérivées temporelles sont bien négligeables.
2) On ajoute maintenant au bas du réservoir un conduit horizontal rectiligne de longueur l, et de section très
petite par rapport à celle du réservoir. Celui-ci est rempli à une hauteur h0 dont on négligera les variations
au cours du temps. Le fluide est au repos initialement. À t = 0, la vanne (V) est ouverte.
a) Donner l’équation du mouvement dans le tuyau. En supposant la pression dans le jet de sortie égale
à la pression atmosphérique, donner puis
√ résoudre l’équation différentielle vérifiée par la vitesse à la
sortie de la conduite. On posera v∞ = 2gh0 .
b) La distribution d’eau en ville se fait sous une pression de 6 bars. Si la longueur du tuyau de connexion
au réseau principal du robinet est de 10 m, quelle est la durée du transitoire lorsque le robinet est
ouvert ?
8.4
Vase à Mariotte
Un vase à Mariotte permet de vidanger un réservoir avec un débit constant, à la différence des réservoirs
habituels. Le vase, contenant de l’eau, est raccordé, comme l’indique la Figure 2, à un tube vertical de longueur
L. La pression atmosphérique sera prise égale à p0 = 1, 013 bar, et la tension de vapeur d’eau vaut f = 13
millibars. La constante de pesanteur sera prise égale à g = 10 m.s−2 .
Fig. 2 – Principe d’un vase à Mariotte.
23
1) Exprimer la vitesse de sortie V de l’eau en A en fonction de L. Montrer qu’elle est constante, tant que le
niveau de l’eau est au-dessus de l’orifice O (on négligera la perte de charge dans le tube d’alimentation en
air).
2) Sachant que dans l’écoulement, la vitesse maximale est atteinte en un point M de la zone de raccordement,
et qu’elle vaut 1.4V , quelle longueur peut-on donner au tube pour qu’il n’y ait pas cavitation (c’est-à-dire
apparition de bulles ou de poches de vapeur d’eau) ?
3) Quelle est alors la vitesse V d’écoulement maximale ?
8.5
Réaction d’une lance d’incendie
L’embout d’une lance d’incendie a 3 cm de diamètre intérieur ; il est vissé à un tube cylindrique de 8 cm de
diamètre intérieur. Quand l’embout est ouvert, la lance débite 40 litres d’eau par seconde. Déterminer :
1) La pression totale pt1 sous laquelle elle fonctionne ;
2) La résultante des forces à laquelle doit résister le pas de vis :
a) quand l’embout est ouvert ;
b) quand l’embout est fermé (en supposant que pt1 n’a pas changé).
8.6
Coup de Bélier
On appelle coup de bélier les variations de pression provoquées par la modification brusque du régime
d’écoulement dans une conduite. Supposons d’abord que la conduite soit courte. Il se produit, pendant la durée
de manœuvre du vannage, un nombre important d’allers-retours d’ondes, et tout se passe comme si les variations
de débit se transmettaient instantanément. C’est le domaine du coup de bélier en masse. On se propose d’étudier
ce phénomène en utilisant le théorème de Bernoulli pour un fluide en mouvement non permanent. On suppose
que pendant la fermeture de la vanne, la vitesse moyenne de l’écoulement décroı̂t linéairement avec le temps :
t
c = cm 1 −
T
1) Établir la relation de Bernoulli pour un écoulement non permanent.
2) En considérant ce que serait la pression le long du tuyau en régime permanent, montrer que la surpression
créée en A par la fermeture de la vanne s’écrit :
∆p
c2
1 dc
=h−
−
s.
ρg
2g g dt
3) En remplaçant la vitesse par son expression, montrer que la surpression se réduit à la somme de deux
termes :
∆p
∆p1
∆p2
=
+
,
ρg
ρg
ρg
où le premier terme représente l’action normale due à la diminution de la pression dynamique, et le second
terme l’action des forces d’inertie.
4) Déterminer l’expression de la valeur maximale de surpression à l’extrémité du tuyau, et montrer qu’elle
vaut :
ρlcm
∆p2 =
.
T
8.7
Écoulement potentiel d’un fluide incompressible
Nous allons établir un résultat important sur l’effet d’un corps solide sur l’écoulement potentiel d’un fluide
parfait incompressible, en régime permanent ou pas.
1) Montrer que le théorème de Bernoulli, pour l’écoulement potentiel (de potentiel φ) d’un fluide incompressible en régime non permanent, peut se mettre sous la forme :
∂φ v 2
p
+
+ + gz = f (t).
∂t
2
ρ
2) En déduire que l’état de l’écoulement à un instant donné ne dépend que de la vitesse du solide, et pas de
son accélération.
24
8.8
Tubes de Pitot et de Venturi
Les tubes de Pitot et de Venturi sont représentés sur les Figures 3 et 4 respectivement.
Fig. 3 – Tubes de Pitot (à gauche), et leur principe à droite.
Fig. 4 – Un tube de Venturi (image de gauche), et son principe à droite.
1) Un tube de Pitot est formé d’un corps cylindrique allongé de faible section, dont la partie avant est
sphérique. Grâce à sa forme, le tube perturbe peu la distribution des vitesses dans le courant, et l’on peut
donc considérer le fluide parfait (non visqueux).
Pour mesurer la vitesse, on introduit le tube dans le fluide parallèlement aux lignes de courant. Le point
de stagnation (1) est un point critique où la vitesse est nulle et la pression vaut P1 (pression d’arrêt).
Au point statique (2), la vitesse v2 et la pression P2 sont approximativement égales à la vitesse v et la
pression P dans le courant en l’absence du tube.
Calculer la vitesse v en fonction de la dénivellation ∆h entre les deux niveau d’eau.
2) Un tube de Venturi, schématisé sur la Figure , est utilisé pour mesurer le débit de fluide dans un conduit.
Ecrire la relation entre la pression P et la vitesse v aux points 1 et 2 — en négligeant la viscosité. En
déduire le débit massique comme une fonction de P1 − P2 .
25
9
— Dynamique des gaz
9.1
Écoulement barotrope d’un gaz compressible
1) Lorsque l’écoulement considéré est barotrope, la masse volumique ρ en un point ~r ne dépend que de la
pression P en ce point. Les surfaces isobares et iso-densité (isostères) sont alors confondues. Montrer que
−−→
dans ce cas, le terme de pression (−grad P )/ρ dérive d’un potentiel (on peut par exemple montrer la
nullité de son rotationnel). Expliciter le potentiel en question.
2) Rappeler l’équation d’Euler pour un fluide parfait. En déduire la généralisation du théorème de Bernoulli stationnaire au cas d’écoulements compressibles barotropes.
3) En écrivant le premier principe de la thermodynamique pour l’enthalpie massique h, et en considérant
le gaz parfait subissant une transformation isentropique (à entropie constante et uniforme), montrer que
l’on a :
γ P
h=
+ Cste.
γ−1 ρ
Dans l’expression précédente, γ est l’indice d’adiabaticité défini par le rapport cp /cv des chaleurs spécifiques
à pression constante et à volume constant. Quelle est la valeur de γ pour l’air (considéré ici comme un
gaz parfait diatomique) ?
4) En déduire que le long d’une ligne de courant (ou de vorticité, notion à définir), l’enthalpie massique totale
htot =
v2
γ P
+
+ gz
γ−1 ρ
2
est une constante pour les écoulements barotropes.
5) Un réservoir rempli d’air dans lequel règne une pression P1 = 1.5·105 Pa est initialement à l’équilibre thermodynamique à la température T1 = 300 o K. On perfore le récipient d’une mince ouverture. A l’extérieur,
la pression atmosphérique est P2 = 105 Pa. En supposant l’écoulement suffisamment rapide pour être
adiabatique et en négligeant la viscosité de l’air, calculer la vitesse moyenne d’expulsion du jet. Pourquoi
est-il légitime de négliger la force de pesanteur dans le cas présent ?
9.2
Mouvement d’un liquide autour d’une bulle d’air
L’air à l’intérieur de la bulle est considéré comme un gaz parfait. On suppose le mouvement du liquide radial :
~v = v(r, t)êr .
1) Un gaz parfait est-il automatiquement un liquide parfait ?
2) Montrer que l’écoulement du liquide est potentiel.
3) Donner l’expression de v(r, t) en fonction du rayon de la bulle R(t).
4) L’air contenu dans la bulle subit une transformation isentropique lorsque le rayon de la bulle varie. Donner
l’expression de la pression à l’intérieur de la bulle en fonction du rayon. (On rappelle que l’équation d’état
d’un gaz parfait subissant une telle transformation se réduit à P V γ =Cste.)
5) Donner l’équation d’évolution de R(t) (on appellera P0 la valeur de la pression à l’infini et R0 le rayon de
la bulle lorsque p = P0 ).
6) On suppose que le rayon de la bulle oscille légèrement autour de la valeur d’équilibre R0 . Donner l’expression de R(t). Quelle est la fréquence f de ces (petites) oscillations ?
7) Application numérique : on calculera f pour R0 = 1 mm et R0 = 5 mm, γair = 1.4, ρeau = 1000 kg.m−3 ,
P0 = 105 Pa.
9.3
Pression atmosphérique
1) Quelques ordres de grandeur.
a) De quoi résulte la pression atmosphérique P0 au niveau de la mer ?
b) Que vaut-elle dans les conditions normales ?
c) Estimer la force de pression qu’exerce sur un homme l’air environnant. Quelle masse équivalente cette
force représenterait-il sur nos épaules ?
26
d) Comment expliquer que notre corps n’implose pas sous l’effet de cette pression ?
2) On s’intéresse à présent à l’équilibre d’un fluide au repos dans un champ de gravitation. On note φ le
potentiel gravitationnel duquel dérive la pesanteur ~g :
−−→
~g = −grad φ.
a) Établir l’équation de la statique du fluide.
b) En déduire que
−−→
−−→
grad ρ × grad P = ~0.
Quelles sont les conséquences en ce qui concerne les surfaces isochores (définies par ρ =Cste) et isobares ?
c) En intégrant l’équation de la statique du fluide (dans le cas général où ρ peut dépendre de l’altitude),
déterminer la relation (intégrale) entre les isobares et les équipotetielles.
d) En déduire que la pression ne dépend que de l’altitude z si la masse volumique ρ du fluide et la pesanteur
g sont uniformes. Ces conditions sont-elles plausibles pour l’atmosphère d’une planète ?
3) Dans le cas d’une atmosphère isotherme (considérée comme un gaz parfait), montrer que la courbe de
pression P (z) en fonction de l’altitude z s’écrit :
P (z) = P0 e−z/z0 .
Comment varie l’étendue d’une telle atmosphère avec la température ?
4) On considère maintenant le cas d’une atmosphère isenthropique (à entropie uniforme).
a) Montrer que le premier principe de la thermodynamique exprimé avec l’enthalpie h s’écrit dans ce cas :
dh = dP/ρ.
−−→
b) En déduire que le gradient d’enthalpie grad h est constant. Que vaut cette constante ?
c) Écrire la relation entre l’enthalpie h et la température T pour un gaz parfait, et en déduire que le
gradient de température est lui aussi constant.
d) En déduire qu’une atmosphère isentropique est en fait aussi une atmosphère adiabatique.
e) Montrer alors que dans un champ de pesanteur uniforme (~g = −gẑ), le champ de température varie
linéairement avec l’altitude z.
f ) En considérant l’équation d’état pour un gaz parfait adiabatique P 1−γ T γ =Cste, établir la loi de
variation de la pression avec l’altitude :
P (z) = P0
z
1−
z0
γ
γ−1
,
où z0 est une échelle caractéristique de hauteur que l’on déterminera.
g) En déduire la loi de variation de la masse volumique ρ avec l’altitude z.
27
10
— Fluides visqueux
10.1
Écoulement de Poiseuille
On s’intéresse ici à l’écoulement le plus simple (cas académique) : l’écoulement permanent d’un fluide visqueux dans une conduite cylindrique de très grande longueur. La vitesse n’a alors qu’une seule composante (le
long de l’axe de la conduite, qu’on identifiera avec l’axe Oz). On suppose aussi que l’écoulement est à symétrie
axiale (pas de dépendance vis-à-vis de la variable angulaire θ) :
~v = v(r, z)êz .
1) Montrer que dans les conditions évoquées, si le fluide est incompressible, alors (~v · ∇) ~v = 0.
2) En déduire que la vitesse ne dépend en fait que de la variable radiale r, et que l’équation de NavierStokes se réduit à l’équation de Stokes (en négligeant les effets de la pesanteur dans la conduite) :
−∇p + µ∆~v = ~0.
3) En projetant cette équation sur êr , montrer que la pression est indépendante de r.
4) Par projection sur êz , déduire que le gradient de pression Gp est nécessairement une constante.
5) En intégrant l’équation différientielle de la vitesse, et en choisissant des conditions aux limites adéquates,
montrer que le profil de vitesse est parabolique. C’est l’écoulement de Poiseuille.
6) Comment le profil de vitesse dépend-il du gradient de pression Gp ? En déduire si l’écoulement s’effectue
des hautes vers les basses pressions.
10.2
Oscillations dans un fluide visqueux
On considère un fluide visqueux incompressible en contact avec une plaque plane illimitée animée, dans son
plan, d’un mouvement oscillatoire. On demande d’étudier le mouvement induit dans le fluide en présence d’un
champ de gravité vertical, perpendiculaire à la plaque.
1) Milieu semi-infini. Le fluide occupe le demi-espace z > 0. Le plan solide horizontal xOy est animé d’un
mouvement parallèle à l’axe Ox, avec une vitesse algébrique U0 cosωt. On cherchera une solution de la
forme ~u = (u(z, t), 0, 0) (et P = P (z)), avec u(z, t) = Re u0 (z)e−iωt ; u0 (z) est une amplitude complexe.
a) Vérifier que l’équation de conservation de la masse est satisfaite.
b) Déterminer à une constante additive près, la fonction P (z).
c) Écrire l’équation différentielle satisfaite par u0 (z). La résoudre
avec les conditions aux limites u0 (0) = U0
p
et u0 (∞) = 0. On pourra poser k 2 = iω/ν et δ = 2ν/ω. Quelle est la signification physique du
paramètre δ ? Estimer sa valeur numérique pour une fréquence de 100 Hz, dans une huile de viscosité
cinématique ν = 10−1 m2 /s. Voyez-vous une analogie entre le problème considéré ici et un phénomène
concernant un courant électrique de haute fréquence dans un milieu conducteur ?
d) Déterminer la force visqueuse f~(t) par unité d’aire que la plaque mobile exerce sur le fluide. Déterminer
également la puissance moyenne par unité d’aire fournie par la plaque au fluide.
e) Montrer que la puissance dissipée par les forces de viscosité dans un élément de volume V s’écrit, dans
le cas présent :
Z 2
∂u
P = ρν
dv.
∂z
V
En déduire la puissance moyenne par unité d’aire dissipée dans le fluide par les forces de viscosité.
Conclusion ?
2) Epaisseur finie. On suppose maintenant que le fluide occupe seulement une hauteur h au-dessus du plan
xOy. La surface libre, sur laquelle ne s’exerce aucune force, demeure plane et constitue le plan z = h. La
vitesse de la plaque xOy est encore U0 cos ωt, selon l’axe Ox.
a) Quelles sont les conditions aux limites en z = 0 et z = h ? Déterminer l’amplitude complexe u0 (z).
Déterminer l’amplitude complexe f0 de la force par unité d’aire que la plaque exerce sur le fluide.
b) Dans le cas limite h → ∞ donner l’expression de la force réelle f (t) correspondante et vérifier que
l’on retrouve le résultat de la partie précédente. Lorsque h δ, donner l’expression explicite de la
force réelle f (t) et expliquer la signification physique du résultat. Quelle peut-être l’application d’un tel
montage ?
28
10.3
Ecoulement de Poiseuille et gradient de pression oscillant
Soit un fluide visqueux, illimité dans les directions Ox et Oz, incompressible et de densité ρ. On notera µ
sa viscosité dynamique, ν = µ/ρ sa viscosité cinématique, P la pression et (u, v, w) les composantes du champ
de vitesse sur les axes Ox, Oy et Oz. On supposera que l’action de la pesanteur est négligeable. On se propose
d’étudier des écoulements dans le plan xOy, invariants par translation selon Oz et dont les lignes de courant
sont parallèles à Ox.
1) Donner la forme du champ des vitesses qui découle des hypothèses de travail dans lesquelles on se place.
(On utilisera avec profit la conservation de la masse.)
2) Montrer que l’équation de Navier-Stokes permet alors d’établir que la pression P ne dépend que de x
et t et qu’ainsi l’équation du mouvement se découple et peut se mettre sous la forme :
∂P
= G(t)
∂x
et
µ
∂u
∂2u
−ρ
= G(t) .
∂t
∂y 2
(1)
3) On considère désormais une configuration où le fluide est compris entre deux parois planes immobiles
situées en y = ±a et on impose un gradient de pression de la forme G(t) = Re {−G0 e−iωt } (attention au
signe). Cette forme de G(t) et les résultats de la question (1) permettent de chercher une solution pour
le champ de vitesse sous la forme u(y, t) = Re {u0 (y) e−iωt } ; u0 (y) étant une amplitude
p complexe. Ecrire
et résoudre l’équation dont u0 est solution. On pourra poser k = (1 − i)/δ avec δ = 2ν/ω.
4) On se place tout d’abord dans la limite “basse fréquence” où |ka| 1 (c’est à dire a δ). Montrer que
l’on retrouve un profil de Poiseuille oscillant en phase avec le gradient de pression.
5) Dans la limite |ka| 1 (c’est à dire a δ), montrer que le profil u0 (y) est presque constant, sauf au
voisinage des parois dans une bande (une couche limite) dont on indiquera l’épaisseur. Tracer grossièrement
l’allure de |u0 (y)|. Montrer que le fluide se comporte dans presque tout l’espace comme un fluide parfait
soumis à la densité volumique de force −G(t). Expliquer ce phénomène par un raisonnement simple portant
sur le temps d’établissement de la couche limite. Retrouver l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche
limite par √
un calcul élémentaire (on rappelle que la vorticité diffuse en un temps t sur une distance de
l’ordre de νt).
6) Lorsque |ka| 1 on cherche à retrouver le profil de vitesse de manière approchée. On écrit d’après la
question précédente et dans l’esprit de la couche limite :
u0 (y) =
iG0
+ v+ (y) + v− (y) ,
ρω
(2)
v± n’ayant de valeur notable qu’au voisinage de y = ±a. On impose les conditions limites de manière
approchée en écrivant
v± (y = ±a) = −
iG0
ρω
et
v± (y) → 0
lorsque
(a − (±)y) δ .
(3)
Montrer qu’on obtient
v± (y) = −
iG0
exp{k(−a ± y)}.
ρω
Donner alors la forme de la solution approchée u0 (y) ainsi obtenue. Montrer que cette solution peut être
obtenue directement en faisant une approximation simple dans l’expression exacte de u0 (y).
29
11
— Couche limite visqueuse
11.1
Écoulement sur une plaque plane
Soit un fluide newtonien incompressible, de masse volumique ρ et de viscosité dynamique µ, s’écoulant audessus de, et parallèlement à, une plaque plane peu épaisse. En amont de la plaque, la vitesse du fluide est
uniforme et égale à U . On suppose qu’une couche limite s’établit au-dessus de la plaque. On souhaı̂te étudier
l’écoulement stationnaire associé. On se place dans un référentiel cartésien attaché à la plaque (0, x̂, ŷ, ẑ), tel
que x̂ est dans la direction de l’écoulement, et ŷ est normal à la plaque.
1) On souhaite ici établir les équations qui régissent la dynamique du fluide dans la couche limite. On
introduira la viscosité cinématique ν = µ/ρ.
a) On suppose la plaque de longueur caractéristique L. Déterminer le nombre et l’expression des paramètres
sans dimension du problème. Que faire pour une plaque semi-infinie ?
b) Écrire les équations de conservation (2D) de la masse et de la quantité de mouvement pour le cas étudié.
c) Évaluer par une analyse dimensionnelle l’épaisseur δ de la couche limite à partir des données du
problème :
– En supposant que les termes de l’équation de Navier-Stokes sont du même ordre de grandeur ;
– En remarquant qu’à cette échelle, le temps de diffusion visqueuse d’une particule fluide est comparable
au temps de convection.
Montrer ainsi que l’on a :
p
δ ∼ νL/U .
En déduire comment varie le rapport des longueurs caractéristiques δ/L avec le nombre de Reynolds
Re.
d) Déterminer l’échelle de vitesse en y.
e) On note Π l’échelle de pression. Rendre les équations adimensionnelles et montrer que pour Re 1, on
peut négliger le gradient de pression normal à la plaque. Écrire le jeu d’équations à l’ordre 0 en 1/Re.
f ) Écrire l’équation différentielle sur la pression en dehors de la couche limite.
g) Simplifier les équations pour le cas d’une vitesse uniforme en dehors de la couche limite.
2) On recherche à présent la solution auto-similaire de l’écoulement de couche limite pour une plaque supposée
semi-infinie, avec un écoulement uniforme en dehors de la couche limite. On s’intéresse plus précisément
à la fonction courant ψ solution du problème.
−−→
a) Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par grad ψ ?
b) En supposant que la vitesse longitudinale adimensionnée u/U ne soit fonction que de la variable η =
y/δ(x) :
u
= g(η),
U
montrer que la fonction de courant ψ se met sous la forme ψ = U δf (η), où f est une fonction à
déterminer à partir de g.
c) À partir de l’équation de conservation de la quantité de mouvement suivant x̂, établir l’équation dimensionnelle satisfaite par ψ ainsi que les conditions aux limites associées. En déduire une relation entre f ,
f 00 et f 000 . Définir les conditions aux limites pour f et montrer qu’elles sont en nombre suffisant.
d) Cette équation doit être intégrée numériquement pour donner le profil de Blasius. Que devient le profil
de f pour η 1 ? Quelle doit être la valeur de sa dérivée pour η 1 ? Tracer un profil qualitatif de
f (η).
e) Donner une expression de la contrainte exercée par le fluide sur la plaque.
f ) Donner une expression de la composante transverse de la vitesse pour η → ∞.
30
11.2
Mesure de la traı̂née sur une plaque (méthode de von Kármán)
Une mince plaque plane immobile est placée sous incidence nulle dans un écoulement de champ de vitesse
uniforme ~ve = Ue x̂ de nombre de Reynolds Re = Ue L/ν 1. L est la dimension longitudinale de la plaque
et ν la viscosité cinématique du fluide incompressible. Il se forme une région de transition d’épaisseur δ(x) près
de la plaque, où le champ de vitesse bidimensionnel se met sous la forme
~ (x, y) = u(x, y)x̂ + v(x, y)ŷ.
V
On désire calculer la force de traı̂née subie par la plaque en utilisant l’équation intégrale de von Kármán.
1) Equation intégrale approchée de von Kármán. On donne la forme des équations de Prandtl dans la
couche limite pour x > 0 et 0 ≤ y ≤ δ(x), établie pour l’écoulement laminaire permanent d’un fluide
incompressible :
u
∂u
∂u
+v
∂x
∂y
∂u ∂v
+
∂x ∂y
= ν
=
∂2u
∂y 2
équation du mouvement longitudinale
0
équation de continuité
et les conditions aux limites :
~v (x, y = δ(x)) ' Ue x̂
~v (x, y = 0) = 0
a) En déduire par continuité la condition aux limites portant sur ∂y u en y = δ(x), puis la condition aux
limites sur ∂y2 u(x, y) en y = 0. (On note ∂y ≡ ∂/∂y.)
b) Montrer que le terme convectif de l’équation du mouvement est égal à ∂x (u2 ) + ∂y (uv).
c) Montrer que
Z
0
δ(x)
∂(uv)
dy = −Ue
∂y
Z
δ(x)
0
∂u
dy.
∂x
d) Etablir la relation
Z
0
δ(x)
∂2u
∂u dy = − ∂y 2
∂y y=0
e) On donne la relation de Leibnitz
d
dx
Z
0
g(x)
Z g(x)
dg(x)
∂f
f (x, y) dy =
f (x, g(x)) +
dy,
dx
∂x
0
(on peut la considérer comme une version unidimensionnelle du théorème du transport de Reynolds).
En déduire la forme intégrale des équations de Ludwig Prandtl (1905) :
(Z
)
δ(x)
d
∂u [u − Ue ] u dy = −ν
dx
∂y 0
y=0
31
f ) Quel peut-être l’intérêt de cette équation d’un point de vue expérimental ?
2) Épaisseur de la couche limite et force de traı̂née subie par la plaque. On suppose que dans la couche limite
(0 ≤ y ≤ δ(x)), la composante longitudinale de la vitesse prend la forme simple
πy
u(x, y) = Ue sin
.
2δ(x)
a) Cette expression de la composante u(x, y) ainsi que ∂y u(x, y) et ∂y2 u(x, y) vérifient-elles les conditions
aux limites en y = 0 et y = δ(x) ?
b) Etablir l’équation différentielle vérifiée par δ(x) en utilisant la forme intégrale des équations de Prandtl
de la couche limite. On rappelle que sin2 θ = (1 − cos 2θ)/2. Calculer δ(x) puis δ(x)/x et comparer avec
le calcul numérique exact de Blasius en 1908 (δ(x)/x ≈ 4, 9 Re(x)−1/2 ).
c) Calculer la contrainte de cisaillement τ0 (x) exercée par le fluide sur la plaque puis sa valeur moyenne
hτ0 i sur une plaque d’extension L le long de l’écoulement. On exprimera τ0 (x) et hτ0 i en fonction de la
densité d’énergie cinétique ρUe2 /2 et du nombre de Reynolds.
d) De l’eau s’écoule le long d’une plaque plane avec une vitesse en amont de 0.02 m/s. Déterminer la vitesse
à une distance de 10 mm de la plaque, aux abscisses 1,5 m et 15 m en aval du bord.
On donne la viscosité cinématique de l’eau à 15◦ C : ν = 1, 12 · 10−6 m2 s−1 et on rappelle que le régime
de l’écoulement est laminaire pour Re < 3·105 . Calculer la force de traı̂née sur une plaque de 15×15 m2
se déplaçant à cette vitesse.
11.3
Couche laminaire d’une paroi quelconque
Considérons l’écoulement laminaire permanent, bidimensionnel, d’un fluide incompressible le long d’une
paroi quelconque dont le rayon de courbure est très supérieur à l’épaisseur δ de la couche limite, de sorte que
les équations de Prandtl sont valables :
u
∂u
∂u
+v
∂x
∂y
∂u ∂v
+
∂x ∂y
= −
=
1 dp
∂2u
+ν 2
ρ dx
∂y
0,
2
avec p + ρ U2 =Cste pour y = δ, x désignant l’abscisse curviligne comptée le long de la paroi, y désignant la
distance à celle-ci (Fig. 1). u et U sont respectivement les vitesses à l’intérieur de la couche limite et sur sa
frontière extérieure. On appellera δ1 l’épaisseur de déplacement, δ2 l’épaisseur de quantité de mouvement de
cette couche limite, τ0 la contrainte tangentielle par unité de surface à la paroi, ν = µ/ρ la viscocité cinématique
du fluide.
Fig. 1 – Couche limite sur une paroi quelconque.
1) Calculer le débit en masse à travers la couche limite :
Z δ
q=
u dy
0
en fonction de δ et δ1 .
32
2) Calculer le débit de quantité de mouvement :
Z
δ
M=
ρu2 dy
0
en fonction de δ, δ1 , et δ2 .
3) Utiliser ces relations et le théorème des quantités de mouvement appliqué à un élément de volume ABCD,
d’épaisseur dx, pour établir l’équation de Karman :
δ 2 dU
δ1
τ0 δ 2
U dδ22
=− 2
2+
+
.
2ν dx
ν dx
δ2
µ U
4) On suppose que le profil des vitesses dans la couche limite peut être représenté par la forme parabolique :
u
y
m
=l +
U
δ2
2
2
y
δ2
u
=1
U
0≤y≤δ
y>δ
l et m étant des paramètres ne dépendant que de x.
a) En calculant δ2 , montrer que l et m sont nécessairement liés par une relation de la forme :
l = φ(m)
qu’on n’explicitera pas.
b) Calculer le rapport δ1 /δ2 , et montrer qu’on doit avoir une relation de la forme :
δ1
= ψ(m)
δ2
qu’on n’explicitera pas.
c) En utilisant les équations de Prandtl et les conditions à la paroi, montrer que :
m=−
δ22 dU
.
ν dx
5) Vérifier que le deuxième membre de l’équation de Karman ne dépend que de m.
6) On peut montrer que ce second membre peut être représenté approximativement par la fonction linéaire
(0.45 + 6m)/2. Donner dans ces conditions une formule permettant de calculer δ2 en fonction de U . Faire
le calcul de δ2 et de m lorsque U = U0 sin kx, où U0 est une constante et 0 ≤ kx ≤ π.
33
12
— Écoulements avec vorticité
12.1
Vortex libre
En superposant, sur le même axe origine, une source linéaire de débit qv par unité de longueur et un
filet tourbillon (vortex libre) de circulation Γ, on obtient un écoulement bidimensionnel rencontré dans les
turbomachines.
1) Déterminer les équations du potentiel complexe, du potentiel des vitesses, et de la fonction courant de cet
écoulement.
2) Calculer les composantes radiale et tangentielle de la vitesse.
3) Montrer que la vitesse V satisfait à une relation de la forme V r =Cste, où r est la distance à l’origine.
4) Montrer que les lignes de courant de cet écoulement sont des spirales logarithmiques.
5) Dans le cas où qv = 0.4 m3 .s−1 par mètre, et Γ = 0.2 m2 .s−1 , calculer la vitesse au point M de coordonnées
x = 3 m et y = 4 m, ainsi que l’angle qu’elle fait avec le rayon vecteur OM .
12.2
Dynamique d’une tornade
Une tornade résulte de l’ascendance tourbillonnaire des couches basses et chaudes de l’atmosphère, qui entrent
en contact avec des masses d’air froid en altitude, provoquant un mouvement tourbillonnaire extrêmement
violent. On propose ici un modèle simplifié pour décrire la dynamique de ces objets fluides. On considère l’air
comme un fluide incompressible, de masse volumique ρ constante, et de viscosité cinématique ν. Soit ~u(r, θ, z, t)
le champ de vitesse de ce fluide en tout point M repéré dans un référentiel cylindrique fixe (O, r̂, θ̂, ẑ), par
~u = ur̂ + v θ̂ + wẑ.
Fig. 1 – Tornade.
−→
1) En prenant le rotationnel de l’équation de Navier-Stokes, établir l’équation pour la vorticité ω
~ = rot ~u :
−−→ ∂~
ω −−→ + ~u · grad ω
~ = ω
~ · grad ~u + ν∆~
ω.
∂t
2) Modèle simplifié de transport de vorticité. Dans le modèle simplifié de la tornade, on suppose d’une part
l’écoulement axisymétrique ∂ = 0, et d’autre part la vorticité purement axiale à tout instant t (~
ω = ωẑ).
∂θ
Dans ce qui suit on se propose d’examiner l’évolution de la vorticité ω en fonction du temps.
a) Montrer que les conditions d’axisymétrie et de vorticité axiale impliquent :
– que ω ne dépend que d’une coordonnée à préciser.
– qu’il existe une relation différentielle simple entre u et w.
b) Quelles conditions supplémentaires faut-il imposer au champ de vitesse pour que ω reste axiale à tout
instant t ? En déduire de quelles coordonnées dépendent les composantes de ~u.
c) Déterminer, à partir de l’équation de continuité, les expressions de u et w telles que :
– w = 0 en z = 0 ;
– w = W en z = H ;
34
– u reste fini en r = 0.
d) En déduire que ω satisfait une équation du type :
∂ω
ν ∂
∂ω
− αr
= βω +
∂t
∂r
r ∂r
∂ω
r
∂r
où α et β sont des constantes à déterminer.
3) Dynamique de la tornade. On considère à présent un champ de tourbillon unidirectionnel ω
~ = ω(r, t)ẑ.
L’évolution de ω est supposée régie par l’équation :
∂ω
∂ω
ν ∂
∂ω
− αr
= 2αω +
r
∂t
∂r
r ∂r
∂r
où α est une constante positive et ν la viscosité cinématique du fluide. On se propose ici de “deviner” le
profil de la solution stationnaire.
a) soit l’équation :
∂ω
∂ω
−c
=0
∂t
∂r
Montrer que ω ne dépend que d’une seule variable h, combinaison des variables r et t que l’on
déterminera. En déduire la forme de la solution à un temps t quelconque.
b) Même question avec ∂ω − αr ∂ω = 0.
∂t
∂r
c) Quel est le comportement décrit par le terme 2αω ? Représenter graphiquement ω(r, t = 1 s), en prenant
pour condition initiale, à t = 0 :
(
r Ω
pour r < R,
ω0 (r) =
1− R
(1)
ω0 (r) = 0
pour r > R,
où Ω est une constante, et R = 5 cm. (On prendra α = 1 Hz et c = 1 cm.s−1 .)
d) En déduire, qualitativement, l’évolution de ω qui satisfait à l’équation de transport purement convectif :
∂ω
∂ω
= αr
+ 2αω
∂t
∂r
e) Quel est le rôle du terme νr ∂ (r ∂ω ) ?
∂r ∂r
f ) Déterminer les deux temps caractéristiques du problème. En déduire le paramètre adimensionnel qui
intervient dans la description du profil stationnaire de ω.
g) Établir la solution stationnaire ω(r) telle que ω et ∂ω soient bornés en r = 0.
∂r
12.3
Fluides en rotation
On considère un fluide incompressible de densité ρ. On rappelle :
– l’équation de Navier-Stokes :
1 −−→
∂~u −−→ + ~u · grad ~u = − grad p + ~g + ν∆~u
∂t
ρ
– l’équation d’évolution de la vorticité :
−−→ ∂~
ω −−→ + ~u · grad ω
~ = ω
~ · grad ~u + ν∆~
ω.
∂t
– Dans le cas d’un écoulement circulaire dont la vitesse est de la forme ~u = u(r)θ̂, en un point de coordonnées
−→
cylindriques (r, θ, z) muni de vecteurs unitaires (r̂, θ̂, ẑ), on a rot ~u = 1r d (ru(r)) ẑ.
dr
35
1) Le fluide, soumis à la pesanteur ~g , est contenu dans un cylindre de rayon R qui tourne autour de son axe
vertical Oz avec une vitesse angulaire constante Ω. On suppose que l’écoulement est stationnaire et que
la vitesse est de la forme :
~ × ~r = Ωrθ̂.
~u = Ω
a) Vérifier la conservation de la masse, et que les conditions aux limites sur la paroi du cylindre, pour un
fluide visqueux, sont satisfaites.
b) Vérifier que le terme d’advection s’écrit :
−−→ u2
~u · grad ~u = − r̂
r
et montrer que le terme ν∆~u de l’équation de Navier-Stokes est nul.
c) Utiliser l’équation de Navier-Stokes pour calculer la pression en fonction de r et z, à une constante
additive près.
d) La surface libre du fluide est soumise à la pression atmosphérique, constante. Déterminer la forme Z(r)
de cette surface. Quel est son nom ? Dessiner son profil.
2) On considère maintenant, en l’absence de parois, un autre écoulement : un tourbillon rectiligne vertical.
−→
La vorticité ω
~ = rot ~u est concentrée sur l’axe des z :
ω
~ = ~Γδ (2) (~r),
où ~Γ = Γ~ez (la distribution δ (2) (~r) est telle que δ (2) (~r) = 0 si ~r 6= 0 et
la forme ~u = u(r) θ̂.
a) Déterminer la fonction u(r) en utilisant le théorème de Stokes.
36
R
δ (2) (~r)dS = 1). La vitesse est de
b) On suppose la viscosité négligeable. Montrer que l’équation de Navier-Stokes — qui se réduit à
l’équation d’Euler — permet à l’écoulement d’être stationnaire, avec un gradient de pression approprié
(on tiendra compte de la pesanteur ~g ). Calculer la pression correspondante, à une constante additive
près.
c) Montrer qu’on peut obtenir le même résultat à partir du théorème de Bernoulli.
d) Déterminer la forme Z(r) de la surface libre du fluide. Dessiner son profil.
3) On tient compte maintenant des effets de viscosité. Par contre, on considère une région suffisamment
éloignée de la surface libre pour qu’on puisse considérer le système comme invariant par translation dans
la direction de l’axe des z. Au temps t = 0, l’écoulement est celui de la question 2 : ω
~ = ~Γδ (2) (~r), et
~u = u(r) θ̂. A cause des effets de viscosité, cet écoulement n’est pas stationnaire. On se propose d’étudier
son évolution au cours du temps.
a) En admettant que l’écoulement garde ses symétries initiales, montrer que l’équation d’évolution de la
vorticité ω
~ prend une forme simple. Citer d’autres problèmes de physique où apparaı̂t cette équation.
b) On rappelle la forme de la solution :
~ − r2
Ω
e 4νt .
ω
~ (r, t) =
4πνt
Utiliser le théorème de Stokes pour déterminer ~u(r, t).
c) A t donné, indiquer les comportements de u en fonction de r pour r petit et pour r grand. Comparer ces
comportements à ceux considérés dans les questions 1 et 2. Faire un croquis de la courbe représentant
u en fonction de r.
4) Vortex de Burgers. Montrer qu’en superposant dans l’exercice (3) au champ orthoradial un champ de
vitesse axiale uz = a z et radial ur = −b r on peut obtenir une solution stationnaire, l’étirement de la
vorticité compensant la dissipation visqueuse.
12.4
Allée de tourbillons de Bénard-von Kármán
Un cylindre d’axe Oz est placé dans un écoulement suivant la direction Ox, perpendiculaire à son axe. Lorsque
le nombre de Reynolds est d’environ 100, des tourbillons sont émis périodiquement en aval de l’écoulement,
formant une double rangée appelée allée de Bénard–von Kármán. On se propose d’étudier le mouvement de
cette allée de tourbillons.
Fig. 2 – Allée de von Kármán créée dans le sillage d’un cylindre.
1) Un tourbillon. Décrire le champ des vitesses pour un seul tourbillon rectiligne d’axe Oz, avec une
vorticité concentrée dans un cœur de rayon négligeable porté par cet axe. On appellera Γ le flux de la
vorticité ω
~ à travers une section du cœur. Exprimer en fonction de Γ la circulation de la vitesse sur un
contour entourant le cœur.
2) Allée de tourbillons. On considère maintenant deux lignes parallèles infinies de tourbillons disposés en
alternance comme sur la figure. La circulation est Γ pour les tourbillons dont les cœurs sont sur l’axe Ox
aux points x = na, n = 0, ±1, ±2 . . . ; la circulation est −Γ pour les tourbillons dont les cœurs sont sur
la droite y = b aux points de coordonnées [(n + 1/2)a, b]. La vitesse de chaque cœur est la résultante des
vitesses dues à tous les autres tourbillons. On raisonnera par exemple, sur le tourbillon qui est en O.
37
a) Montrer, par symétrie, que les tourbillons de l’axe Ox ne donnent pas de contribution à la vitesse de
O.
b) Calculer les composantes ux et uy de la vitesse de O dues au tourbillon dont le cœur est en [(n+1/2)a, b].
Montrer, par symétrie, que la résultante des uy est nulle.
c) Calculer la vitesse de O due à tous les autres tourbillons. On donne la série :
+∞
X
π
πα
1
2 = 2α th 2 .
α + (2n + 1)
n=−∞
2
(2)
Décrire le mouvement des tourbillons.
d) En plus du mouvement dû aux tourbillons, le fluide à l’infini est animé d’une vitesse uniforme U dans
la direction Ox. Quel est l’effet sur le mouvement de l’allée de tourbillons ?
12.5
Tourbillon de Rankine
Soit le champ de vitesse ~v d’un fluide de masse volumique constante ρ :
(
~v = rΩêθ
r<a
2
a
r≥a
~v = Ω r êθ
(r, θ, z) sont les coordonnées cylindriques.
1) Montrer que l’écoulement est potentiel à l’extérieur du cylindre de rayon a.
2) Donner l’expression de la pression dans chacun des domaines. À l’infini, P = P∞ .
3) Que peut-on dire de la quantité v 2 /2 + P/ρ dans chacun des domaines ? Qu’en conclue-t-on ?
4) En supposant qu’un cyclone peut être représenté par un tel champ de vitesse, calculer la dépression
centrale d’un cyclone dont les vents ont une vitesse maximum de 50 m.s−1 .
5) Si le tourbillon se trouve dans l’océan, déduire des résultats précédents la forme de la surface de l’eau.
38
Annales
39
A
— Vidange d’un réservoir dans un long tube capillaire
D’après l’examen de septembre 2004
A.1
Equations de l’écoulement
On désire étudier l’écoulement laminaire d’un liquide remplissant un réservoir de diamètre D et de hauteur
h0 . Le liquide s’écoule à travers un long tube capillaire vertical de diamètre d et de longueur l (d/l 1 et
d/D 1).
Ce liquide incompressible a une masse volumique ρ , une viscosité dynamique η et une viscosité cinématique
ν = η/ρ . Durant la vidange du réservoir, la hauteur du liquide h = h(t) au dessus du tube varie à chaque
instant t. Il en résulte un écoulement laminaire dans le tube de champ de vitesse ~u(r, t) = u(r, t) ẑ , ẑ est un
vecteur unitaire dirigé vers le haut sur l’axe longitudinal z et r est la distance à l’axe du tube (r 6 d/2).
1) On pose P (r, z, t) = p(r, z, t) + ρgz , où p(r, z, t) est la pression dans le tube et g l’accélération de la
pesanteur.
Ecrire l’équation de continuité et les équations du mouvement en P (z, t) et u(r, t). Déduire que P = P (z, t)
∂P (z, t)
= C(t) , où C(t) est une fonction de t.
et que −
∂z
2) On prend comme origine des pressions la pression atmosphérique et on applique l’hypothèse quasi-statique
pour le calcul de la pression dans le réservoir (loi de l’hydrostatique).
Ecrire les conditions aux limites sur P (z, t) à l’entrée du tube en z = 0 en fonction de h(t) et à l’extrémité
inférieure du tube en z = −l(1 ).
∂P (z, t)
en fonction de h(t) et récrire l’équation différentielle du mouvement
Déduire l’expression de −
∂z
longitudinal en u(r, t) et h(t).
3) Pour obtenir une seconde équation en u(r, t) et h(t) on va utiliser la conservation de la masse. Ecrire la
relation, à l’instant t, entre le volume de liquide V (t) (en m3 ) dans le réservoir qu’on exprimera en fonction
de h(t) et le débit Q(t) (en m3 s−1 ) qu’on exprimera en fonction de u(r, t).
1 comme d/D 1, on considèrera que les vitesses d’écoulement sont faibles pour z > 0 et que l’on peut alors utiliser les lois de
l’hydrostatique.
40
4) Pour résoudre ce système d’équations intégro-différentielles couplées entre h(t) et u(r, t), on remarquera
que lorsque la hauteur de liquide h(t) varie très lentement, le régime est quasi-statique et tend vers un
régime permanent à chaque instant.
Q(t) vérifie donc la loi de Poiseuille du débit dans le tube :
Q(t) = −
π ∂P (z, t) 4
d ,
128η ∂z
(1)
∂P (z, t)
est une fonction de h(t).
∂z
Etablir l’équation différentielle vérifiée par h(t) puis calculer h(t) en fonction de la hauteur initiale de
2
l
liquide h0 . On pourra introduire la durée caractéristique τ = 32νD
4 .
gd
et −
5) Applications numériques :
Le liquide est une l’huile visqueuse : Masse volumique ρ = 912 kg/m3 , viscosité dynamique η = 0, 38 Pa.s,
viscosité cinématique ν = 4, 2 10−4 m2 /s, hauteur de liquide initialement dans le réservoir h0 = 1 m,
diamètre du réservoir D = 1 m, diamètre du tube capillaire d = 1 cm, longueur du tube capillaire l = 10
cm et accélération de la pesanteur g = 9, 81 m/s2 .
6) L’écoulement dans le tube est laminaire lorsque le nombre de Reynolds Re = umax d/ν est inférieur à
2000 (umax est la vitesse maximum dans l’écoulement). Cette relation pour un écoulement de Poiseuille
devient Q < 250πνd.
a) L’écoulement étudié est-il laminaire ? Justifier votre réponse.
b) Calculer la durée pour que 95% du liquide soit vidé du réservoir.
c) Comparer l’ordre de grandeur du terme instationnaire au terme de viscosité dans l’équation du mouvement local. L’hypothèse quasi-statique était-elle justifiée ?
7) Pour calculer la durée de vidange par une autre méthode on désire utiliser l’équation de Bernoulli.
Dans quel cas s’applique t-elle ? On modélise l’écoulement en supposant que la distribution des vitesses
est uniforme à la surface du liquide dans la citerne et à l’extrémité inférieure du tuyau et on applique
l’hypothèse quasi-statique sur une ligne de courant.
a) On pose H(t) = h(t) + l. Obtenir la relation reliant H(t) aux vitesses V1 et V2 à la surface du liquide
dans la citerne et à l’extrémité inférieure du tuyau.
b) Écrire l’équation de conservation de la masse entre V1 et V2 .
c) En exprimant la vitesse V1 en fonction de H(t) déduire l’équation différentielle vérifiée par H(t) puis
l’expression de H(t) en fonction de la hauteur initiale de liquide initiale h0 dans la citerne. On pourra
poser :
v
u
2g
α=u
.
u 4
t D
−1
d
d) Calculer la durée de la vidange complète. Comparer les deux méthodes.
41
(2)
B
— Écoulement dans un amortisseur visqueux
D’après l’examen de novembre 2004
Deux disques circulaires plans de rayon R sont disposés parallèlement l’un au dessus de l’autre. L’espace
entre les deux disques est rempli par un liquide incompressible de masse volumique ρ et de viscosité dynamique
η et l’extérieur est à la pression atmosphérique p0 . La distance initiale H0 entre les disques est négligeable
devant le rayon R (H0 /R 1) et le disque supérieur se rapproche du disque inférieur sous l’action d’une force
dh(t)
, où h(t) est la distance entre les disques à l’instant t. On
extérieure F . Leur vitesse relative est h0 =
dt
négligera dans la suite l’effet de la gravité.
B.1
Analyse dimensionnelle
On applique une force F0 constante. On a alors la relation h0 = f (F0 , H0 , R, η) entre n grandeurs, h0 est une
fonction des grandeurs F0 , H0 , R, η.
1) Ecrire les équations aux dimensions des grandeurs h0 , F0 , H0 , R, η.
2) Déduire le nombre minimum r de variables nécessaires pour exprimer les grandeurs h0 , F0 , H0 , R, η.
3) Sélectionner parmi les grandeurs F0 , H0 , R, et η, un nombre r de grandeurs indépendantes.
4) Déduire la relations entre les n − r grandeurs sans dimension.
On choisit un système de coordonnées cylindriques dont l’origine est au centre du disque inférieur supposé
immobile et l’on désigne par r, z les coordonnées radiale et axiale et r̂, ẑ, les vecteurs unitaires radial et axial.
L’écoulement du fluide à symétrie axiale a un champ de vitesse ~u = ur (r, z, t)r̂ + uz (r, z, t)ẑ et un champ de
pression p = p(r, z, t).
B.2
Simplification des équations locales de l’écoulement
1) Ecrire l’équation du mouvement en ~u et p et l’équation de continuité en ur et uz .
2) Les grandeurs caractéristiques de l’écoulement sont Ur (ordre de grandeur de ur ), R (ordre de grandeur
0
de la coordonnée r) et H0 (ordre de grandeur de la coordonnée z avec H
R 1).
z
a) Calculer le rapport U
Ur , où Uz est une vitesse caractéristique axiale. Quel est le terme dominant ?
η~2
η 2
b) Montrer que le terme de viscosité ρ ∇
~u ∼ ρ ∂ ~u2 .
∂z
2
ρ Ur R
0
c) Montrer que le terme d’inertie est négligeable devant le terme de viscosité si Re H
η
R , où Re =
est le nombre de Reynolds radial.
42
d) Montrer que le terme instationnaire ∂~u est alors négligeable devant le terme de viscosité. Quel temps
∂t
caractéristique choisir ? Peux-t-on comparer ce temps à un temps de diffusion visqueux ?
∂p
∂p
e) En utilisant les équations simplifiées en ur , uz et p calculer l’ordre de grandeur de
et
en fonction
∂z
∂r
de Uz , Ur , H0 et R et déduire que p = p(r, t).
B.3
Calcul de la force de freinage agissant sur la plaque supérieure
1) Ecrire l’équation du mouvement radiale simplifiée et l’équation de continuité en ur (r, z, t), uz (r, z, t) et
p(r, t) ainsi que les conditions aux limites en z = 0 et z = h(t) sur les vitesses ur et uz et en r = R sur la
pression p (on néglige les effets de tension de surface en r = R).
2) On désire calculer la pression p(r, t) en z = h(t) et en r.
∂p
, z et h en tenant compte des conditions aux limites. Quel est le nom et
a) Calculer ur en fonction de
∂r
la forme d’un tel profil ? Tracer l’allure de ce profil de vitesse.
∂p
b) Calculer uz en fonction de
, r, z et h en tenant compte de la condition aux limites en z = 0. Tracer
∂r
l’allure de ce profil de vitesse.
∂p
aux grandeurs r et h(t) en utilisant la condition aux limites sur uz en
c) Déduire la relation reliant
∂r
z = h(t).
d) Intégrer l’équation en p(r, t) en tenant compte des conditions aux limites sur la surface du fluide en
contact avec l’air. Tracer l’allure de la pression en fonction de r.
3) Calculer la contrainte normale Tzz (voir l’annexe) appliquée par la paroi sur le fluide. En déduire la force
F exercée par le fluide sur le disque supérieur. Comparer au résultat de l’analyse linéaire.
4) On applique sur le disque supérieur une force constante F0 . Déduire l’évolution temporelle h = h(t) en
fonction de F0 , H0 , R, η et t.
5) Application numérique : Deux disques de 10 cm de rayon sont initialement séparés de 2 mm. Le liquide
qui remplit le volume compris entre les disques a une viscosité dynamique de 0,1 Pa.s. Le disque supérieur
est soumis à une charge de 100 kg. De quelle durée cette charge peut-elle être supportée si les disques ne
doivent pas s’approcher de moins de 0,02 mm ?
6) Compte tenue des valeurs de l’application numérique, vérifier que la modélisation de cet écoulement est
valable. Justifier votre réponse (on donne η = 1 kg/m3 ).
Formulaire :
Tzz = −p + 2η ∂uz est la contrainte locale en un point d’un plan perpendiculaire à l’axe axial et dans la
∂z
direction axial.
43
C
— Effet Marangoni
D’après l’examen de septembre 2005
La tension de surface, par exemple entre un liquide et sa vapeur est généralement une fonction décroissante
de la température. Nous allons étudier un système qui permet en principe de mesurer cette dépendance. On
suppose qu’un mince couche de liquide d’épaisseur de l’ordre de h est disposée dans un récipient rectangulaire
horizontal (voir figure 1). On notera σ la tension de surface et σ 0 = ∂σ sa dépendance en température que l’on
∂T
supposera constante et négative dans la gamme d’étude (σ 0 < 0). On notera η et ρ la viscosité dynamique et
la masse volumique du liquide. On impose un gradient de température G = ∂T uniforme et constant (G < 0)
∂x
entre la gauche et la droite du récipient. On négligera pour l’instant la variation de la masse volumique du
liquide avec la température (qui conduit à la convection thermique classique).
Fig. 1 – Fine couche de liquide placée dans un gradient horizontal de température.
1) Montrer qualitativement que la dépendance en température de la tension de surface conduit à un mouvement du liquide en surface. Dans quel direction se fait ce mouvement de surface ? Tracer l’allure de
l’écoulement en régime permanent.
Dans la suite nous allons quantifier ce phénomène et montrer qu’il conduit en régime permanent à une
inclinaison de la surface libre d’un angle θ que l’on va calculer. Nous supposerons que cet angle reste
toujours faible et que le récipient est long afin de pouvoir négliger les effets de bords.
2) En considérant une portion de surface comprise entre x et x + dx, écrire toutes les forces agissant sur cette
surface (on négligera
la viscosité de l’air). A-t-on une surface libre stricto sensu ? En déduire une relation
∂u
0
entre σ et
, ou u est la composante horizontale de la vitesse selon Ox.
∂z h
3) Ecrire l’équation de Navier-Stokes en régime permanent. En utilisant les approximations de la lubrification
(écoulement faiblement non-parallèle), à quelle condition les termes inertiels sont-il négligeables devant
2
∂p
et ∂ u2 .
les termes visqueux. Dans ce cas, trouver une relation entre
∂x
∂z
4) Par intégration et en appliquant la condition au limite à la surface trouvée en 2, calculer la fonction u(z).
5) Calculer le débit Q =
Rh
0
udz. En déduire une relation entre σ 0 et
∂p
.
∂x
6) Tracer l’allure de la vitesse horizontale u(z).
7) On s’intéresse maintenant au lien entre le gradient de pression horizontal et la pente de l’interface. Montrer
∂p
ρgh
qu’en régime permanent
est relié à ∂h = θ. En déduire la relation : σ 0 = 23 G θ.
∂x
∂x
8) A.N. : On donne G = 10◦ K/m, ρ = 860 kg/m3 , h = 3 mm et θ = 1◦ . Calculer σ 0 . Si le liquide est de
l’huile, η = 0, 1P a.s, calculer la vitesse du liquide en surface. L’approximation d’écoulement de lubrification
était-elle justifiée ?
44
D
— Écoulement d’un fluide visqueux
D’après l’examen d’octobre 2005
D.1
Analyse dimensionnelle et similitudes
On s’intéresse dans ce problème au bon dimensionnement des blocs de béton nécessaires au renforcement
des berges d’une rivière. On va dans un premier temps déterminer par l’analyse dimensionnelle la relation entre
la vitesse du courant et la force de traı̂née sur le bloc. Dans un second temps, on étudiera les conditions de
mise en mouvement d’un modèle de laboratoire, pour extrapoler ensuite aux capacités de résistance maximale
du bloc en situation réelle.
1) Les grandeurs caractéristiques du problème sont la masse volumique ρ0 de l’eau, la vitesse relative v du
fluide par rapport au bloc, la surface S du bloc soumise à l’action de l’eau, et la force de traı̂née F de
l’eau sur le bloc.
a) Écrire les équations aux dimensions de F , S, v, ρ0 en fonction de (M, L, T ).
b) En déduire le nombre minimum r de variables nécessaires pour exprimer ces quatre grandeurs. (On
choisira les grandeurs dimensionnellement les plus simples.)
c) En déduire le nombre de grandeurs sans dimension indépendantes (grandeurs Π).
d) Chercher le(s) terme(s) Π comme un produit des r grandeurs indépendantes, et d’une des grandeurs
restantes.
e) Pouvez-vous donner une interprétation physique aux grandeurs Π du problème ?
2) On réalise une expérience en laboratoire avec un bloc de béton cubique d’arête L2 = 10 cm, de densité
d2 = 2.5 (masse volumique de l’eau ρ0 = 103 kg.m−3 ). On place le bloc dans une veine d’essai en eau,
dont on peut contrôler la vitesse d’écoulement.
a) Quel est le poids effectif Peff du bloc de béton dans l’eau ?
b) On suppose que la force de frottement au sol est proportionnelle à la force de réaction normale RN du
sol sur le bloc (et qui s’oppose au mouvement) :
R f = f RN
où f est un coefficient constant. En déduire l’intensité de Rf en fonction de ρ0 , L2 , g, d2 , et f .
c) Lorsque le bloc se met en mouvement, c’est avec une vitesse de glissement constante en direction et en
intensité. En déduire l’expression de la force de traı̂née F de l’eau en fonction du poids effectif Peff du
bloc, et montrer qu’elle vaut :
F = f ρ0 g(d2 − 1)L32
(On supposera que f conserve la même valeur lors du glissement.)
d) Dans l’expérience faite en laboratoire, le bloc est mis en mouvement pour un courant v2 = 3 m.s−1 . En
déduire, par des arguments de similitude, à quelle vitesse maximale v1 du cours d’eau un bloc cubique
d’arête L1 = 1 m et de densité d1 = 3.5 peut résister en situation réelle.
e) Quelle devrait être la taille L3 du bloc pour résister à une vitesse de v3 = 20 km.h−1 ? Cela vous paraı̂t-il
raisonnable ? Proposez différentes options pour renforcer la stabilité des blocs.
45
D.2
Théorème de Bernoulli en référentiel tournant
On considère l’écoulement permanent d’un fluide parfait newtonien, incompressible, dans un référentiel R0 qui
~ par rapport au référentiel galiléen R du laboratoire
peut être mis en rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω
(voir Figure). L’altitude du fluide est repérée par la côte z, et la seule force agissant sur la particule fluide est
−−→
son poids (l’accélération de pesanteur ~g dérive d’un potentiel φg : ~g = grad φg ). On va chercher à établir la
forme prise par la surface libre du fluide à l’équilibre hydrostatique. On note ~v la vitesse d’une particule fluide
−→
et P0 la pression atmosphérique. (Attention : l’écoulement n’est pas supposé irrotationnel ici : rot ~v 6= ~0.)
1) Le référentiel R0 est initialement au repos (Ω = 0).
a) Que vaut le potentiel φg ?
b) Rappeler l’équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien. Quels termes peuvent se simplifier dans
les conditions de l’énoncé ? En déduire la forme simplifiée que prend l’équation dans ce cas.
c) Montrer que l’équation obtenue équivaut à considérer la charge C constante le long d’une ligne de
courant (théorème de Bernoulli dans un référentiel galiléen)2 , avec :
C=
1 2
ρv + p + ρgz.
2
d) En déduire la condition d’équilibre hydrostatique du fluide, puis la distribution de pression dans le
fluide lorsque R0 est immobile par rapport à R.
e) Montrer alors qu’à l’équilibre hydrostatique la surface libre est plane et horizontale.
2) Le système est maintenant en mouvement (Ω 6= 0), avec une vitesse de rotation constante.
a) Faire le bilan des forces de volume qui agissent sur une particule fluide. (On rappelle que la force
centrifuge massique s’écrit f~e = ρ Ω2 ~r, où ~r est le vecteur distance à l’axe de rotation, et la force de
~ ∧ ~v .)
Coriolis massique f~c = −2ρ Ω
b) En déduire l’équation d’Euler à laquelle doit satisfaire ~v .
c) On considère la solution hydrostatique, où la particule fluide est au repos dans R0 . En déduire la nouvelle
expression de la charge C dans cette situation.
d) En écrivant l’équation précédente pour la surface libre, montrer que la forme de cette surface est une
paraboloı̈de de révolution. (On négligera la tension interfaciale entre l’air et l’eau.)
D.3
Écoulement créé par un dipôle source/puits
On considère l’écoulement permanent, bi-dimensionnel à deux composantes dans le plan (x, y), d’un fluide
parfait incompressible.
−−→
1) Rappeler sous quelle condition l’écoulement est potentiel (~v = grad φ), et sous quelle condition la vitesse
−→
dérive d’un potentiel vecteur (~v = rot (ψ ~ez )).
2 On
−−→ ~ ~
−→ ~
−→ ~
→~
→~
~∧−
~ ∧−
~ ·−
~·−
rappelle que grad (A
· B) = A
rotB
+B
rot A
+ (B
grad )A
+ (A
grad )B.
46
2) Dans ce type de situation, on repère un point M du plan par la variable complexe z = x + iy, et on
définit le potentiel complexe f (z) = φ + iψ. Le potentiel complexe associé à une source ou un puits situé
en z = z0 dans le plan complexe est donné par :
f (z) = C log(z − z0 ).
Démontrer la relation qui existe entre C et le débit Q. Quel est le signe de C pour une source ? pour un
puits ?
3) On considère à présent le cas d’un puits d’intensité −C placé sur l’axe réel en x = − (point P ), et d’une
−−→ −−→
source +C placée en x = + (point S). On notera les vecteurs P M et SM (où M est un point quelconque
du plan ; cf Figure), respectivement sous la forme :
−−→
P M ≡ r1 eiθ1
−−→
SM ≡ r2 eiθ2 .
a) Écrire le potentiel complexe de l’écoulement résultant.
b) En déduire l’expression du potentiel réel φ, et de la fonction courant ψ, en fonction de r1 , r2 , θ1 , θ2 .
c) Montrer que la condition ψ = cste impose une relation entre θ1 et θ2 , que l’on explicitera.
d) Sur un schéma, placer 3 points M1 , M2 , M3 vérifiant la condition ψ = π/2. En déduire la ligne de
courant définie par ψ = π/2.
e) Représenter dans une autre couleur la ligne ψ = 0 (on précisera le code de couleur utilisé pour ψ = 0
et ψ = π/2).
f ) Montrer d’une manière générale que les lignes de courant sont des cercles. Par quels points du plan
complexe les lignes de courant passent-elles toutes ?
4) On réduit la distance entre S et P , en augmentant le débit de telle sorte que le produit −2C tende vers
une limite finie m.
a) En développant le logarithme à l’ordre 1 en , montrer que le potentiel complexe devient, dans la limite
où P et S se confondent en O :
m
f (z) = .
z
b) Que deviennent les lignes de courant et les lignes équipotentielles ?
c) En déduire les composantes de la vitesse en coordonnées polaires.
d) Quelle est la dimension de m ?
5) On superpose à cet écoulement dipolaire un écoulement uniforme de potentiel complexe f (z) = V z, où V
est la vitesse du fluide à l’infini. On réécrira m sous la forme m = V R2 .
a) Écrire le potentiel complexe résultant.
b) Quelle est la dimension de R ?
c) Représenter qualitativement sur un schéma les lignes de courant de cet écoulement. Représenter dans
une autre couleur la ligne ψ = 0.
d) Chercher les points de stagnation (définis par ~v = ~0). Que se passe-t-il pour la vitesse sur la ligne
paramétrée par |z| = R ?
e) À quel type d’écoulement ce potentiel complexe peut-il être associé ?
47
E
— Croissance d’une bulle
D’après l’examen de janvier 2006
On considère l’expansion d’une sphère dans un fluide incompressible (Figure 1). Les effets de la pesanteur
sont négligeables. En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), la surface de la sphère est paramétrée par la fonction
F (r, t) = r − R(t). Le champ de vitesse dérive du potentiel φ :
−−→
~u = grad φ.
Fig. 1 – Sphère en expansion.
1) Montrer que ∆φ = 0.
2) La symétrie sphérique du problème suggère de considérer un potentiel φ(r, θ, ϕ, t) ≡ φ(r, t) fonction des
seules variables r et t. En déduire l’expression du potentiel φ en fonction de r.
3) En considérant que φ → 0 lorsque r → ∞, montrer que φ s’écrit nécessairement sous la forme :
φ=
C
.
r
La “constante” C peut-elle dépendre d’une variable du problème ? Si oui laquelle ?
4) La surface de la sphère étant une frontière matérielle, aucun écoulement de fluide ne peut se produire à
travers elle, et :
DF
= 0,
Dt
où D/Dt est la dérivée particulaire. En réécrivant cette condition pour le potentiel φ, montrer que :
φ(r, t) = −
ṘR(t)
.
r
5) Montrer que l’équation de Bernoulli pour le problème considéré s’écrit :
∂φ 1 −−→ −−→
p
+ grad φ · grad φ + = cste
∂t
2
ρ
6) En déduire l’équation différentielle vérifiée par R(t). On fera apparaı̂tre p∞ la pression (supposée spatialement uniforme) loin de la sphère.
7) On suppose que :
t
R(t) = R0 1 +
.
t0
Montrer que la distribution de pression au point r s’écrit :
4
p(r, t)
A
t
B
t
1−
=
1+
+ 4 1+
.
p∞
r
t0
t0
r
Que valent les constantes A et B ?
48
8) On pose :
R0
t0
2
ρ
= 1.
p∞
Montrer que la pression à la surface de la sphère est indépendante du temps. Quel commentaire cela vous
inspire-t-il ?
9) En déduire le profil radial ur (r, t) de vitesse.
49
F
— Écoulement d’un fluide visqueux
D’après l’examen de septembre 2006
On considère dans ce problème l’écoulement d’un fluide newtonien, de masse volumique ρ et de viscosité
dynamique µ, à travers un tube rectangulaire mince de longueur L0 (direction x), de hauteur 2H (direction y),
et de largeur ` (direction z), telle que H 1. Avec une telle géométrie, on peut négliger les effets de bords sur
`
les plans parallèles verticaux distants de `, et supposer que l’écoulement ne varie pas dans la direction z. On
notera P0 la pression atmosphérique.
1) L’écoulement est causé par une différence de pression ∆P , entre l’entrée et la sortie du fluide :
p = P0 + ∆P
p = P0
en x = 0,
en x = L0 .
(1)
On cherche une solution du champ de vitesse en régime permanent de la forme :
~u = u(y) ~ex ,
(2)
où ~ex est le vecteur unitaire sur l’axe x. La dynamique du fluide est supposé décrite par l’équation de
Navier-Stokes :
∂
~
~ + µ∇
~ 2 ~u.
+ (~u · ∇) ~u = −∇p
(3)
ρ
∂t
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Faire un schéma du système, respectant approximativement les proportions de l’énoncé.
Rappeler la signification physique de chacun des termes de l’équation (3).
Quel terme se simplifie sous l’hypothèse de régime permanent ?
Quel terme se simplifie sous l’hypothèse correspondant à l’équation (2) ?
Écrire les conditions aux limites sur ~u en y = ±H.
Écrire l’équation (3) projetée sur les vecteurs unitaires ~ex , ~ey , ~ez .
En déduire que la pression est une fonction de la seule variable x.
dp
est une constante que l’on exprimera en fonction de ∆P et L0 .
Montrer que
dx
En déduire l’équation différentielle vérifiée par u(y).
Montrer que u(y) = k(H 2 − y 2 ), et donner l’expression de k en fonction de `, H, L0 , ∆P , ρ, et µ.
En déduire l’expression du débit Q (volume transporté par unité de temps) en fonction de ces paramètres. Vérifier la dimension de Q.
2) La canal précédent est placé horizontalement. Il est mis en contact en x = 0 avec un grand volume d’eau
à la pression atmosphérique P0 . Sous l’action des forces de capillarité, la longueur L(t) de liquide rentré
dans le canal augmente en fonction du temps t. Le régime n’est donc pas permanent, mais on suppose
qu’on peut encore appliquer les résultats établis aux questions 10-11 de la partie (??), pour l’écoulement
de Poiseuille. Nous devons donc relier la surpression ∆P aux forces de capillarité :
Fσ = 2σ` cos θ
(4)
sur les deux plans horizontaux, où σ est la tension de surface (en N.m−1 ), et θ l’angle de contact du
ménisque avec les surfaces horizontales.
a) Faire un schéma du dispositif.
b) Exprimer ∆P en fonction de σ, θ et H.
c) Le débit est donné par Q(t) = d (S L(t)), où S est la section du canal. Déduire, du résultat de la
dt
question 11 de la partie (??), l’équation différentielle vérifiée par L(t).
d) Exprimer L(t) en fonction de H, σ, θ, µ. On partira de la condition initiale L(0) = 0.
e) Montrer que le temps τ , mis par la colonne de liquide pour parcourir la distance L0 , peut s’écrire :
τ =α
Que vaut le facteur numérique α ?
50
µL20
.
Hσ cos θ
f ) Calculer l’ordre de grandeur de τ pour les valeurs suivantes des paramètres :
µ
(P a.s)
3 × 10−3
ρ
(kg.m−3 )
103
σ
(N.m−1 )
5 × 10−2
cos θ
0.0872
H
(m)
5 × 10−4
L0
(m)
3 × 10−2
g) L’hypothèse de régime permanent est-elle pertinente ? Justifier soigneusement la réponse.
51
G
— Éolienne
D’après l’examen de novembre 2006
On s’intéresse ici à l’aérodynamique d’une éolienne. Dans toute la suite l’air sera considéré comme un fluide
incompressible de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η. On notera u0 la vitesse du vent supposé
uniforme et constant à l’infini amont et P0 la pression atmosphérique. Le rayon des pales sera noté R et la
vitesse angulaire de rotation de l’éolienne Ω.
Pour les applications numériques on pourra prendre : ρ ≈ 1, 225kg/m3, η ≈ 15 10−6 kg.m−1 .s−1 , R = 15 m,
Ω = 2 rd/s et u0 = 10 m/s.
Fig. 1 – Photo d’une éolienne tripale pour la production d’électricité en Bretagne sud.
G.1
Ordres de grandeur
1) Ecrire l’énergie cinétique par unité de volume dans l’air incident. En déduire une estimation du flux
d’energie cinétique par seconde à travers la surface balayée par les pales. On notera Pe cette puissance
entrante. Faire les applications numériques (A.N.).
2) L’émission sonore d’une éolienne augmente avec la vitesse des pales. En particulier elle augmente très fortement lorsque cette vitesse s’approche de la vitesse du son c ≈ 330 m/s. Calculer la vitesse de déplacement
upale (r) dans l’air supposé immobile. Calculer la valeur maximum du rapport upale /c. Conclusion ?
G.2
Analyse dimensionnelle
On cherche tout d’abord à déterminer par analyse dimensionnelle l’expression de la force F exercée par le
vent sur l’éolienne.
1) En supposant que cette force dépend uniquement de u0 , ρ, η, R et Ω, montrer que F peut se mettre sous
une forme simple en introduisant deux nombres sans dimensions : le nombre de Reynolds Re = ρΩR2/η
et le nombre de Strouhal St = u0 /(ΩR). Pouvait-on définir un autre nombre de Reynolds ? Montrer que
l’on peut définir un coefficient de traı̂née sans dimension CF = F/( 21 ρu0 2πR2) = f (Re, St), où f est une
fonction inconnue.
2) Montrer de même que la puissance entrante Pe peut s’écrire sous forme adimensionnée CP = Pe /( 21 ρu0 3πR2) =
f (Re, St).
52
3) On désire fabriquer une maquette fonctionnant dans l’eau de rayon r = 15 cm. Quelles sont les conditions
pour la vitesse de l’eau et la vitesse de rotation pour que le nombre de Strouhal et de Reynolds soient
respectés ? On donne ηeau = 10−3 Pa.s et ρeau ≈ 103kg/m3. Ces conditions sont-elles réalistes ?
G.3
Modèle du disque actuateur
On suppose que l’action du vent sur les pales est équivalente à celle du vent sur un disque perméable de
surface S. Cette hypothèse, dite du « disque actuateur »de Froude, permet de faire des calculs à une dimension
selon l’axe Ox.
Fig. 2 – Lignes de courant autour du disque actuateur.
L’allure des lignes de courant est schématisée sur la figure 2. On supposera à partir de maintenant que le
fluide est parfait et l’écoulement stationnaire. On note u(x) la vitesse supposée uniforme dans toute section
transverse à l’intérieur du volume de contrôle et continue pour tout x. La pression p(x) est discontinue en x = 0.
On suppose de plus que les surfaces amont et aval sont suffisamment loin pour que la pression y soit égale à la
pression atmosphérique P0 .
1) Ecrire les débits volumiques en x0 , x1 = 0 et x2 en fonction des surfaces et des vitesses qui interviennent
dans le problème.
2) Tracer l’allure des fonctions u(x) et p(x). Calculer le saut de pression PB − PC au niveau du disque. En
déduire la force F s’appliquant sur le disque. Pourquoi ne peut on pas appliquer la loi de Bernoulli au
niveau du disque ?
3) Appliquer le théorème du transport de Reynolds sur le volume de contrôle contenu entre S0 et S2 . Quelles
sont les forces appliquées sur ce volume ? Quels sont les flux de quantité de mouvement ? La pression
atmosphérique P0 apporte-t-elle de la quantité de mouvement au fluide ? Pourquoi ? En déduire une autre
expression de F .
4) En égalisant les expressions de F trouvées en 3b et 3c, et la conservation du débit en déduire que l’on a
u1 = (u0 + u2 )/2.
5) De la conservation du débit en déduire que S1 = 2S0 S2 /(S0 + S2 ).
6) On définit le rendement aérodynamique de l’éolienne comme le rapport η entre la puissance générée
P = F~ · ~u et la puissance entrante Pe . Exprimer η en fonction du rapport a = u2 /u0 . Montrer que ce
rapport est maximum pour a = 1/3 (formule de Betz). Calculer alors η et P pour a = 1/3, puis pour
a = 0 et a = 1. Qu’en concluez- vous ?
G.4
Ecoulement sur une pale
Du fait de la rotation des pales à la vitesse angulaire Ω, l’écoulement dans le référentiel de la pale a une
direction différente de celle que subirait une pale immobile. Nous allons étudier le nécessaire vrillage des pales.
On considère ici une section d’une pale dans un plan parallèle à l’axe de rotation. Cette section coupe la
pale à une distance r de l’axe de rotation (figure 3). On note α(r) l’angle d’incidence qu’aurait la pale si elle
était immobile, angle mesuré par rapport à la direction d’où vient le vent ~u0 .
1) Calculer la vitesse ~upale d’un point de la pale lorsque celle-ci tourne à la vitesse angulaire Ω. En déduire
la vitesse uθ de l’air par rapport à la pale par un jour sans vent. Ecrire la composition vectorielle des
vitesses u0 et uθ et en déduire le vent relatif ~ur dans le référentiel de la pale.
2) En déduire que l’angle d’incidence de la pale est modifié par rapport au cas sans rotation. On appelle β(r)
le nouvel angle d’incidence. Compte-tenu du sens de rotation de la pale lorsqu’elle est poussée par le vent,
β(r) est-il supérieur ou inférieur à α(r) ?
53
Fig. 3 – Ecoulement au voisinage d’une pale. Vue de face et section dans un plan parallèle à l’axe de rotation.
3) Comment doit varier α avec r pour que l’angle effectif d’incidence β(r) reste constant tout le long de la
pale pour un vent u0 donné : β(r) = β0 . Tracer l’allure de l’évolution de α avec r. Cette évolution est- elle
en accord avec le vrillage visible sur la figure 1 ? En prenant β0 = 10˚en déduire que α(R) > 90˚si R est
supérieur à une valeur que l’on calculera.
4) On considère que l’air est éjecté par la pale dans son plan (dans la direction de son bord de fuite, c’est
la condition du Kutta). En déduire qu’en plus de la composante axiale u, la vitesse de l’air en sortie de
pale a une composante orthoradiale uθ qui conduit à une hélicité de l’écoulement en aval de l’éolienne.
Montrer que uθ (r) = −u tan[β0 + arctan(Ωr/u)]. En déduire l’existence d’une circulation non nulle de la
vitesse Γ(r) sur un cercle de rayon r. En supposant β0 très petit, tracer l’allure de Γ(r) avec r.
54
H
— Effet siphon
D’après l’examen de janvier 2007
H.1
Hydrostatique
On aspire à l’aide d’un tube mince de hauteur h, de section circulaire de diamètre φ, de l’eau contenue dans
un récipient. Lorsque le tube est plein, on bouche son extrémité haute avec un doigt, et on retire le tube du
récipient (Figure 1). On note P0 la pression atmosphérique, supposée constante et uniforme.
Fig. 1 – Le tube est rempli d’eau par aspiration (a), bouché sur son extrémité supérieure, et retiré du récipient
(b).
1) Hydrostatique dans un tube d’une hauteur h modérée.
a) En faisant un bilan des forces, expliquer qualitativement pourquoi l’eau ne coule pas sur la Figure 1b.
b) Calculer la pression exercée par l’eau sur le doigt. Application numérique.
2) On suppose maintenant que la longueur du tube peut être très grande.
a) Pour quelle hauteur critique hc du tube, tenu verticalement, la pression s’annulerait-elle sur le doigt,
de telle sorte que de l’eau commencerait à s’écouler par le bas ? Application numérique.
b) Pour h > hc , lorsque l’équilibre est retrouvé, quelle hauteur heq d’eau reste-t-il dans le tube ? Qu’y
a-t-il alors dans le haut du tube ?
c) Quelle serait la longueur critique du tube, au-delà de laquelle du fluide s’écoulerait du tube, s’il était
incliné d’un angle θ par rapport à la verticale ? Application numérique : θ = 60◦ . Que se passerait-il si
le tube était de diamètre plus gros ?
d) Dans la pratique, lorsque la pression de l’eau descend en-dessous d’une valeur ps P0 de pression de
vapeur saturante, l’eau passe de l’état liquide à l’état gazeux. En déduire la hauteur hs d’eau restant
effectivement dans le tube, celui-ci étant maintenu vertical. Estimer la correction (heq − hs )/heq , et
conclure. Application numérique : ps = 1300 Pa à 10˚C.
3) On bouche maintenant l’extrémité basse du tube, et on recourbe l’extrémité haute, formant un U renversé
plein d’eau (figure 2a). La hauteur du bras droit vaut hD , celle du bras gauche hG .
Le fluide ne coule pas, l’équilibre est hydrostatique.
a) Quelle sont les pressions aux points E, H, B ?
b) En déduire la hauteur hGmax maximale du bras gauche qui garantit que le fluide reste dans le tube.
Est-elle atteinte avec le tube de longueur totale h = 20 cm ?
c) On plonge l’extrémité gauche du tube en U dans un récipient contenant de l’eau sur une longueur him
(Figure 2b). Exprimer la pression exercée sur le doigt en fonction de ∆h. Application numérique.
d) On retire le doigt. Décrire qualitativement ce qui se passe. Cet effet est appelé « effet siphon » . Qu’est-ce
qui peut limiter le débit de vidange ?
55
Fig. 2 – a) La partie gauche du tube est recourbée. Le tube est rempli d’eau, et le point B est bouché. b) Le
bras gauche du tube vient plonger dans un récipient d’eau, et le tube au point B est ouvert : l’effet siphon est
amorcé. Une ligne de courant grisée est représentée.
H.2
Écoulement du fluide dans le tube
On a amorcé l’effet siphon dans le tube de la Figure 2b, et on s’intéresse à la dynamique du fluide dans le
tube. Le récipient est considéré comme un réservoir illimité d’eau, tel que son niveau reste quasi-constant au
cours du temps, même lorsque de l’eau s’écoule par le bas du tube. On notera z l’altitude (axe Oz dirigé vers
le haut) avec une origine z = 0 au niveau de la surface libre (zE et zB sont donc négatifs).
1) On considère dans un premier temps que le fluide est parfait, et l’écoulement est irrotationnel et stationnaire.
a) L’équation de Bernoulli s’applique-t-elle ?
b) D’après l’énoncé, que vaut la vitesse en A ? En suivant la ligne de courant dessinée sur la Figure 2b,
calculer la vitesse du fluide à la sortie du tube (point B). On notera VB cette vitesse.
c) Justifier pourquoi la vitesse doit être la même partout dans le tube.
d) Indiquer comment varie la pression P (z) dans le tube. Tracer l’évolution de P (z) et placez y les points
E et H. Comparer au cas hydrostatique.
2) En fait la viscosité dynamique η de l’eau n’est pas nulle.On veut déterminer le profil de vitesse dans la
partie verticale du tube, en amont du point B. Dans la section transverse du tube considéré, d’altitude
z constante, un point de la section est repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), l’axe du tube étant en
r = 0. On suppose que l’écoulement est axisymétrique, de sorte que :
~v = −v(r) ~ez .
(1)
et que le régime est stationnaire.
a) Que vaut la vitesse sur les bords du tube (en r = φ/2 = R) ?
v
b) Montrer que la dérivée lagrangienne de la vitesse D~
Dt est nulle dans les conditions du problème.
c) Montrer que l’équation de Navier-Stokes se réduit, dans la partie verticale du tube, à l’équation de
Stokes :
−−→
~ v = 0,
−grad Pg + η ∆~
(2)
où l’on explicitera la pression motrice Pg .
d) Montrer que la pression P est uniforme dans la section transverse considérée dans le tube.
∂Pg
ne dépend pas de z. En d éduire que Pg est une fonction simple de z.
e) Montrer que K =
∂z
56
f ) En projetant l’équation (2) sur ~ez , déduire de la question 4) que :
η∆v(r) = K,
(3)
où K est une constante que l’on n’explicitera pas.
g) En déduire comment varie le profil de vitesse v(r) dans la section considérée (on tirera profit de l’écriture
du Laplacien en coordonnées cylindriques donnée dans l’Annexe).
h) Dessiner l’allure du profil de vitesse v(r).
i) En déduire la vitesse moyenne (ou débitante) du tube :
ZZ
1
~
Vd =
~v (r) · dS,
S
S
(4)
où S est la section du tube. Comparer Vd à V0 = v(0).
3) Puissance dissipée en régime permanent.
a) Déterminer la force de frottement pariétal, par unité de surface :
dv .
τ =η
dr r=φ/2
(5)
b) En intégrant sur la surface du tube avec laquelle l’eau est en contact, déduire la force de frottement f
totale résultante.
c) En déduire la puissance des forces de frottement :
Pf = f · Vd .
(6)
et l’exprimer en fonction du débit Q.
d) En considérant que toute l’énergie produite par les frottements est transférée sous forme de chaleur
dans le fluide, déterminer l’élévation de température du fluide par unité de volume et de temps (on note
cv la capacité calorifique par unité de masse à volume constant de l’eau).
H.3
Annexe
Caractéristiques de l’eau :
ρ = 103 kg · m−3
η = 10−3 kg · m−2 · s−1
g = 9.8 m · s−2
cv = 4.2 × 103 J · kg −1 · K −1
ps = 1300 Pa à 10˚C
Caractéristiques du tube :
φ = 1 cm
h = 20 cm
hG = 5 cm
hD = 13 cm
him = 2 cm
Pression atmosphérique :
P0 = 105 P a
57
Annexes
58
I
— Formulaire
I.1
Opérateurs différentiels
• Relations usuelles :
−−→
div (grad U ) = ∆U
−→ ~
div (rot A)
=0
−→ −−→
rot (grad U ) = 0
−−→
−→ −→ ~
~−∆
~A
~
rot (rot A) = grad div A
−−→
−−→
−−→
grad (U W ) = U grad W + W grad U
−→
~ = U div A
~+A
~·−
div (U A)
grad U
−→
−→
→~
~ =−
~+U−
rot (U A)
grad U ∧ A
rot A
−−→ ~ ~
−→ ~
−→ ~
→~
→~
~∧−
~ ∧−
~ ·−
~·−
grad (A · B) = A
rotB
+B
rot A
+ (B
grad )A
+ (A
grad )B
→ ~ ~ −→ ~
~ ∧ B)
~ =B
~ ·−
div (A
rot A
− A · rot B
−→ ~
−→ ~
−→ ~ ~
~ div B
~ −B
~ div A
~ + (B
~ ·−
~·−
rot (A ∧ B) = A
− (A
grad )A
grad )B
• Relations intégrales :
ZZ
I
→
~·−
A
dl =
C
→
−→ ~ −
rot A · dS
(théorème de Stokes)
S(C)
I
→
−
U dl = −
C
ZZ
ZZZ
→
~·−
A
dS =
S
−−→
−
→
grad U ∧ dS
ZZ
S(C)
~ dV
div A
(théorème de Green–Ostrogradsky)
V (S)
ZZ
ZZZ
−
→
U dS =
S
−−→
grad U dV
V (S)
ZZZ
ZZ
−
→
~
A ∧ dS = −
−→ ~
rot A dV
V (S)
S
ZZ
ZZZ
−−→
−−→
−
→
(U grad W − W grad U ) · dS =
S
(U ∆W − W ∆U ) dV
V (S)
• Théorème de Leibnitz :
d
dt
Z
h(t)
Z
h(t)
f (x, t) dx =
0
0
dh(t)
∂f
dx + f [h(t), t]
∂t
dt
• Théorème du transport de Reynolds :
ZZZ
ZZZ
d
∂f
d~r
f (~r, t) dV =
+ div f
dV
dt
dt
V (t)
V (t) ∂t
• Coordonnées cartésiennes :
−−→
~ ) = ∂U ~ex + ∂U ~ey + ∂U ~ez
grad (U ) = ∇(U
∂x
∂y
∂z
∂Ax
∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Az
∂Ay
∂Ax
∂Az
∂Ay
∂Ax
−→ ~
~
~
rot (A) = ∇ ∧ A =
−
~ex +
−
~ey +
−
~ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
~ =∇
~ ·A
~=
div (A)
59
Fig. 1 – Notations utilisées dans le système des coordonnées cylindriques (r, θ, z)
~ 2 (U ) =
∆U = ∇
∂2U
∂2U
∂2U
+
+
2
2
∂x
∂y
∂z 2
~ A)
~ =∇
~ 2 (A)
~ = (∆Ax ) ~ex + (∆Ay ) ~ey + (∆Az ) ~ez
∆(
• Coordonnées cylindriques :
−−→
~ = ∂U ~er + 1 ∂U ~eθ + ∂U ~ez
grad U = ∇U
∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aθ
∂Az
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
−→ ~
~ ∧A
~ = 1 ∂Az − ∂Aθ ~er + ∂Ar − ∂Az ~eθ + 1 ∂(rAθ ) − 1 ∂Ar ~ez
rot (A) = ∇
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
r ∂θ
~ =∇
~ ·A
~=
div (A)
2
2
~ 2 U = 1 ∂ (r ∂U ) + 1 ∂ U + ∂ U
∆U = ∇
r ∂r ∂r
r2 ∂θ2
∂z 2
~ A)
~ =∇
~ 2A
~ = (∆Ar − Ar − 2 ∂Aθ ) ~er + (∆Aθ − Aθ + 2 ∂Ar ) ~eθ + (∆Az ) ~ez
∆(
r2
r2 ∂θ
r2
r2 ∂θ
• Coordonnées sphériques :
Fig. 2 – Notations utilisées dans le système des coordonnées sphériques (r, θ, ϕ)
−−→
~ = ∂U ~er + 1 ∂U ~eθ + 1 ∂U ~eϕ
grad (U ) = ∇U
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
60
2
~ =∇
~ ·A
~ = 1 ∂(r Ar ) + 1 ∂(sin θAθ ) + 1 ∂Aϕ
div (A)
r2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂(sin θAϕ ) ∂Aθ
1 1 ∂Ar
∂(rAϕ )
1 ∂(rAθ ) ∂Ar
1
(
−
) ~er + (
−
) ~eθ + (
−
) ~ez
r sin θ
∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
−→ ~
~ ∧A
~=
rot (A) = ∇
~ 2U =
∆U = ∇
1 ∂2
1
∂
∂U
1
∂2U
(rU ) + 2
(sin θ
)+ 2 2
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
2
∂
2 ∂Aϕ
~ A)
~ =∇
~ 2A
~ = (∆Ar − 2 Ar −
∆(
(sin θAθ ) − 2
) ~er
r2
r2 sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
+(∆Aθ −
I.2
2 ∂Ar
2 ∂Ar
2 cos θ ∂Aϕ
Aϕ
2 cos θ ∂Aθ
Aθ
+
− 2 2
) ~eθ + (∆Aϕ − 2 2 + 2
+ 2 2
) ~eϕ
r2 sin2 θ r2 ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r sin θ r sin θ ∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
Conservation de la masse et équation de Navier–Stokes
Pour un fluide Newtonien et incompressible on a :
~ · ~u = 0
div (~u) = ∇
∂~u
~ u = − 1 ∇p
~ + f~m + ν ∇
~ 2u
+ (~u · ∇)~
∂t
ρ
• En coordonnées cartésiennes avec ~u = (u, v, w) :
∂u ∂v
∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
sur l’axe x
ρ
2
∂ u ∂2u ∂2u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂p
+u
+v
+w
+ fx + η
+
+
=−
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x2
∂y 2
∂z 2
sur l’axe y
ρ
sur l’axe z
2
∂v
∂v
∂v
∂p
∂ v
∂2v
∂2v
∂v
+u
+v
+w
=−
+ fy + η
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂x2
∂y 2
∂z 2
2
∂w
∂w
∂w
∂w
∂p
∂ w ∂2w ∂2w
ρ
+u
+v
+w
=−
+ fz + η
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂z
∂x2
∂y 2
∂z 2
• En coordonnées cylindriques avec ~u = (ur , uθ , uz ) :
∂uz
1 ∂(rur ) 1 ∂uθ
+
+
=0
r ∂r
r ∂θ
∂z
sur l’axe r
ρ[
∂ur
∂ur
uθ ∂ur
∂ur
u2
∂p
1 ∂
+ ur
+
+ uz
− θ] = −
+ fr + η[
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
r
∂r
r ∂r
r
∂ur
∂r
−
ur
1 ∂ 2 ur
∂ 2 ur
2 ∂uθ
+ 2
+
− 2
]
2
2
r
r ∂θ
∂z 2
r ∂θ
sur l’axe θ
∂uθ
∂uθ
ur uθ
uθ ∂uθ
∂uθ
1 ∂p
1 ∂
ρ[
+ur
+
+
+ uz
]=−
+ fθ + η[
∂t
∂r
r
r ∂θ
∂z
r ∂θ
r ∂r
∂uθ
r
∂r
−
uθ
1 ∂ 2 uθ
∂ 2 uθ
2 ∂ur
]
+
+
+ 2
2
2
2
2
r
r ∂θ
∂z
r ∂θ
sur l’axe z
∂uz
∂uz
uθ ∂uz
∂uz
ρ
+ ur
+
+ uz
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
∂p
1 ∂
∂uz
1 ∂ 2 uz
∂ 2 uz
=−
+ fz + η
r
+ 2
+
∂z
r ∂r
∂r
r ∂θ2
∂z 2
61
• En coordonnées sphériques avec ~u = (ur , uθ , uϕ ) :
∂ur
2ur
1 ∂uθ
uθ cot θ
1 ∂uϕ
+
+
+
+
=0
∂r
r
r ∂θ
r
r sin θ ∂ϕ
sur l’axe r
"
u2ϕ
∂ur
uθ ∂ur
uϕ ∂ur
u2
∂ur
ρ
+ ur
+
+
− θ −
∂t
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
r
#
=−
∂p
+ fr
∂r
2ur
1 ∂ 2 ur cot θ ∂ur
2 ∂uϕ
1 ∂2
1
∂ 2 ur 2 ∂uθ 2uθ cot θ
(r
u
)
−
+
+
− 2
− 2
+η
+
−
r
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r ∂r
r ∂θ
r
∂θ r sin θ ∂ϕ
r ∂θ
r
r sin θ ∂ϕ
r
sur l’axe θ
ρ[
+η[
u2ϕ cot θ
∂uθ
∂uθ
ur uθ
uθ ∂uθ
uϕ ∂uθ
1 ∂p
+ ur
+
+
+
−
]=−
+ fθ
∂t
∂r
r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
r ∂θ
1 ∂2
uθ
1 ∂ 2 uθ
cot θ ∂uθ
2 ∂ur
1
∂ 2 uθ
2 cos θ ∂uϕ
(r
u
)
−
+
+
+ 2
+
− 2 2
]
θ
2
2
2 ∂θ 2
2
2
2
2
r ∂r2
r
r
∂θ
∂ϕ
r
∂θ
r sin θ
r sin θ
r sin θ ∂ϕ
l’axe ϕ
ρ[
+η[
∂uϕ
∂uϕ
ur uϕ
uθ ∂uϕ
uθ uϕ cot θ
uϕ ∂uϕ
1 ∂p
+ ur
+
+
+
+
]=−
+ fϕ
∂t
∂r
r
r ∂θ
r
r sin θ ∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
cot θ ∂uϕ
1
2 ∂ur
2 cos θ ∂uθ
1 ∂ 2 uϕ
∂ 2 uϕ
uϕ
1 ∂2
+ 2
+ 2 2
+ 2
+ 2 2
]
(r uϕ ) − 2 2 + 2
2
2
r ∂r
r
∂θ
r sin θ ∂ϕ
r sin θ r ∂θ
r sin θ ∂ϕ2
r sin θ ∂ϕ
62
J
— A propos du théorème du transport de Reynolds
Soit une fonction f (~r, t) dépendant des coordonnées d’espace ~r et du temps t. On s’intéresse aux variations
temporelles de la grandeur
Z
M (t) =
f (~r, t) d3~r,
D(t)
où le domaine D(t) considéré peut se déplacer et se déformer au cours du temps (on parle de volume de contrôle).
→
−
On note V (~r, t) la vitesse de déplacement d’un point ~r se situant sur la surface S(t) du domaine mobile D(t).
On peut montrer que
"Z
#
Z
ZZ
→
−
→
−
∂f 3
d
3
f (~r, t) d ~r
=
d ~r + f (~r, t) V (~r, t) · d S
(1)
dt D(t)
D(t) ∂t
S(t)
Z
h
i
→
−
∂f
+ div f (~r, t) V (~r, t)
d3~r
(2)
=
∂t
D(t)
→
−
Ce résultat constitue le théorème du transport de Reynolds, qui peut se généraliser à une grandeur F (~r, t)
→
−
vectorielle. En effet, en écrivant (1) pour chacune des composantes du champ F , il vient :
"Z
#
Z
ZZ
→
−
−
→
−
→
−
→ −
→
d
∂F 3
3
F (~r, t) d ~r =
d ~r + F (~r, t) V · d S .
(3)
dt D(t)
D(t) ∂t
S(t)
Pour un volume de contrôle fixe, on retrouve :
Z
Z
→
−
→
−
∂F 3
d
F (~r, t) d3~r =
d ~r.
dt D
D ∂t
J.1
(4)
Conservation de la masse
Dans le cas particulier où f désigne la masse volumique ρ(~r, t) d’un fluide (éventuellement compressible) de
champ de vitesse ~v (~r, t), le taux de variation de la masse M (t) contenue dans le domaine D(t) est ainsi donné
par
Z
ZZ
Z
−
→ −
−
→
→ 3
∂ρ 3
∂ρ
dM
=
d ~r + ρ(~r, t) V · d S =
+ div ρ V
d ~r.
dt
D(t) ∂t
S(t)
D(t) ∂t
→
−
Le déplacement de D(t) est pour le moment arbitraire (en conséquence de quoi V 6= ~v en général). On peut
néanmoins choisir de suivre dans leur mouvement les particules fluides contenues à l’instant initial dans le
→
−
domaine D(0) (le volume de contrôle est alors un volume “matériel”). Dans ces conditions, V = ~v . De plus,
en l’absence de sources de création ou d’annihilation de matière (cas générique), la masse M (t) se conserve au
cours du temps, indépendamment des déformations de D(t). On a alors
Z
dM
∂ρ
= 0 ⇐⇒
+ div (ρ ~v ) d3~r = 0,
dt
D(t) ∂t
et l’on retrouve la relation de continuité.
Exemple d’application : obtention des équations du mouvement en “eau peu profonde”
J.2
Transport de la quantité de mouvement
Soit à l’instant t = 0 un volume D(0), que l’on suit avec le mouvement des particules fluides qu’il contient
→
−
(volume matériel). Comme précédemment, on a ici V (M, t) = ~v (M, t) pour tous les points M de la surface S(t)
→
−
du volume D(t). On note F (t) la résultante des forces extérieures s’exerçant sur D(t). La relation fondamentale
de la dynamique s’écrit
"Z
#
→
−
d
F (t) =
ρ(~r, t) ~v (~r, t) d3~r ,
dt D(t)
que l’on peut réexprimer à l’aide du théorème du transport :
Z
ZZ
→
−
→
−
∂
F (t) =
(ρ~v ) d3~r + ρ~v ~v · d S .
D(t) ∂t
S(t)
63
(5)
Exemple d’application : voir le TD sur le ressaut hydraulique (page 8). Obtention de la vitesse de propagation
d’un mascaret en fonction des caractéristiques du ressaut.
Exercice 1 A l’aide du théorème du transport, retrouver la règle de Leibnitz
d
dt
Z
h(t)
Z
h(t)
f (x, t) dx =
0
0
∂f
dh(t)
dx + f [h(t), t]
.
∂t
dt
Exercice 2 Interprétation de l’opérateur divergence.
Soit un volume matériel élémentaire δv. Etablir que le taux de variation de δv est donné par la divergence du
champ de vitesse ~v :
1 d(δv)
= div ~v .
δv dt
Exercice 3 Considérons un volume matériel D(t). Montrer que pour toute fonction Φ(~r, t), on a
Z
Z
d
DΦ
ρ Φ d~r =
d~r,
ρ
dt D(t)
Dt
D(t)
où D/Dt désigne la dérivée particulaire. Ce résultat est parfois désigné sous le nom de théorème de Reynolds.
64
65