ds1-2019

‫كــليـــــة العــلـــــــوم والتـقـنـيـــات‬
‫مــــــراكـش‬
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
MARRAKECH
Devoir Surveillé N°1
Module Electricité
MIP/MIPC
2019
Exercice 1
Soit un cylindre de rayon R, de longueur infinie, chargé uniformément avec une densité volumique
 (   0) . On désire déterminer le champ électrique en tout point M de l’espace, crée par cette
distribution. M est un point de l’espace repéré par ces coordonnées ( r ,  , z ).
z
1) En utilisant la symétrie et les invariances, déterminer la direction de E (M ) et les variables dont il
dépend.
A) Calcul du champ électrique :
2) Calcul de E par la le théorème de Gauss : forme intégrale.
a) Faire un schéma de la surface de Gauss que vous utilisez et représenter le champ E et le
vecteur dS sur toutes les surfaces.
b) Déterminer le champ E en tout point de l’espace (r < R et r > R) (le champ électrique à
une valeur finie en r = 0).
3) Calcul de E par le théorème de Gauss : forme locale.
c) Rappeler la forme locale du théorème de Gauss.
d) Déduire le champ E en tout point (r < R et r > R) en utilisant la forme locale du théorème
de Gauss.
B) Calcul du Potentiel électrique :
1) En utilisant l’expression du champ électrique, déterminer l’expression du potentiel en tout
point de l’espace (On prendra V=0 pour r = 0).
2) Montrer que l’équation de Laplace est vérifiée
On donne : div E  1  (rE r )  1  ( E )   ( E z )
r r
r 
z
V 
1  V
1  2V  2V
(r
) 2

r r r
r  2 z 2
Exercice 2
Soit un demi-cercle de rayon R, chargé uniformément avec une densité linéique  (  0) (figure 1).
Partie I
y
t
u
Figure 1
O
Pr. L. Hajji
x
1) En utilisant la symétrie, donner la direction du champ E crée par ce demi-cercle :
 au centre O du demi-cercle.
 En un point M quelconque de l’axe Ox
2) a) Donner l’expression de la charge élémentaire dq du demi-cercle en fonction de R,  et  .
b) Donner l’expression du champ d E crée par cette charge dq au point O (Faire un schéma et
représenter d E sur la figure 1)
c) Déterminer l’expression du champ total crée par le demi-cercle au point O et vérifier que son
module est donné par E 

20 R
Partie II
On place maintenant une charge positive q au point O et une autre charge positive q’ au point M tel
que OM = R (figure2).
y
Figure 2
O(q)
x
M(q’)
3) Représenter sur la figure 2 les forces qui s’exercent sur q.
4) Déterminer l’expression de la résultante de ces forces.
5) Pour quelle valeur de q’, la charge q est en équilibre. (on exprimera le résultat en fonction de R et
)
Partie III
On considère maintenant deux demi-cercles de rayons respectivement R et 2R qui portent la même
densité de charge  et ont le même centre O (figure 3).
En utilisant le théorème de superposition, déduire le champ total crée par les deux demi-cercles au
point O.
y
x
2R
Figure 3
O
Pr. L. Hajji
R
x