55 PARTIE 2 ÉLECTROSTATIQUE GB 56 Intérêt du théorème de Gauss : Permet de déterminer en tout point, le champ créé par des distributions de charges présentant des symétries Remarque : Si la distribution de charges ne présente pas de symétrie, on doit se contenter du principe de superposition 4/ Permittivité du vide. Unité rationalisée Angle solide Ω par rapport à 4π (angle solide lequel on voit une surface fermée) : dΦ = K q dΩ devient dΦ = 1 q dΩ avec εo 4π Ω 4π K= 1 4πεo ⇒ Introduction de εo permittivité du vide Système d’unité rationalisé : εo = 1 C2/Nm2 (≈ 8,8542 10-12 C2 N-1m-2) 9 36 π 10 •/• GB 57 5/ Forme locale du théorème de Gauss (Relation locale entre E et ρ) Distribution volumique ρ de charges dans un domaine D entouré par la surface S ⇒ ΦS E = ∫∫ E.ds = ε1 ∫∫∫ρ dτ S o D ⇒Théorème de Gauss sous sa forme intégrale dans le cas particulier d’un domaine renfermant un ensemble de charges libres placées dans le vide M • r E dττ ρ D V S L’intégrale sur D peut s’étendre au volume V enfermé par S Théorème de la divergence : 1 E . ds = div E d τ = ∫∫ ∫∫∫ εo S V ρ dτ ∫∫∫ V ⇒ div E = ρ εo Forme locale du théorème de Gauss dans le vide •/• GB 58 6/ Électrostatique dans les diélectriques a – Milieux conducteurs et milieux diélectriques Matière : assemblage d’atomes composés de particules électrisées (noyaux, électrons) Deux cas : • Sous l’action d’un champ électrostatique : des électrons (de conduction) circulent à travers les atomes. C’est le phénomène de conduction. Il s’agit d’un conducteur • Les électrons restent liés aux noyaux (force de rappel atomique) En présence d’un champ extérieur ⇒ centre de gravité des charges + n’est plus confondu avec celui des charges − ⇒ création de dipôles : les atomes ou molécules se polarisent. C’est la polarisation. Il s’agit d’un milieu isolant ou diélectrique +- Eo REMARQUE : Des diélectriques comme l’eau présentent cette caractéristique en absence de champ électrostatique Ce sont des diélectriques polaires •/• GB 59 b – Champ induit – Induction électrique Ei Domaine diélectrique D comportant des charges libres de densité ρ +- créent un champ E o et E o va créer un champ induit Ei Eo ⇒ champ électrostatique résultant E = Eo + Ei Tout se passe comme si des charges de densité volumique ρp ont créé Ei ⇒ Densité résultante de charges : ρ + ρp Introduction du vecteur polarisation électrique p tel que ρp = −divp ⇒ divE = 1 (ρ + ρp ) εo ⇒ div εo Ε + p = ρ Induction électrique D = εo E + p (electric displacement) ⇒ théorème de Gauss : divD = ρ D continue à vérifier le théorème de Gauss dans les diélectriques polarisés alors que cela n’est plus le cas pour E Intérêt essentiel de D •/• GB 60 c – Diélectrique linéaire ou parfait Vecteur polarisation proportionnel au vecteur champ électrostatique (tous les dipôles sont //) On écrit : p = εo χ Ε div εo Ε + p = ρ χ constante > 0 (sans dimension) : susceptibilité du diélectrique ⇒ div εo Ε + εoχE = ρ ⇒ div E = ρ (1+ χ) εo εr = 1 + χ : permittivité relative du milieu diélectrique (εr > 1 ) ε = εo εr : permittivité absolue du milieu. ⇒ Cas du diélectrique parfait : divE = ρε REMARQUE : Dans le vide (et dans les matériaux qui ne se polarisent pas) : p = 0 ⇒ χ = 0 ⇒ εr = 1 ⇒ Théorème de Gauss sous sa forme intégrale ΦS E = E • ds = 1 ρ dτ ε ∫∫∫ ∫∫ S V •/• GB 61 d – Équations fondamentales de l’électrostatique dans les diélectriques Champ électrostatique dérive du potentiel : E = − gradV équivalent à rot E = 0 ⇒ div E = − div gradV = ρ ε div gradV : laplacien de V, noté ∆V ⇒ ∆V + ρ = 0 Equation de Poisson (Siméon Denis Poisson, 1781-1840) ε E = − gradV ⇒ Deux groupes d’équations équivalentes : ou divE = ρ ε - En absence de charges libres : E = − gradV divE = 0 rot E = 0 ∆V + ρ = 0 ε rot E = 0 ∆V = 0 (équation de Laplace) - Exactement mêmes équations que celles "l’électrostatique du vide" à condition de remplacer εo par ε •/• GB 62 7/ Exemples d’application du théorème de Gauss z u a – Charge ponctuelle placée dans le vide θ M r Soit une charge ponctuelle Q > 0 uθ O y ϕ x Invariance : par rotation autour du centre O uϕ champ électrostatique E ne dépend que de r (distance à O) ⇒ E(r ) Symétries : tout plan passant par O est plan de symétrie E ∈ à tous ces plans à la fois ⇒ radial et s’éloigne de O (Q > 0) ⇒ E = E(r ) u (E(r) > 0) Choix de la surface S fermée : symétrie sphérique ⇒ sphère centre O, rayon r ( ) Th. de Gauss : ΦSfermée E = ∫∫ E • dS = ∫∫ EdS = E ∫∫ dS S ⇒E= 4πε o r 2 E Q εo P P r = ES = 4π r 2 E dS E r u u Q+ O S S Q dS et E= S Q 4πεo r 2 u •/• GB 63 b – Distribution uniforme de charges présentant une symétrie sphérique Boule homogène rayon R et soit une charge Q < 0 Invariance : par rotation autour du centre O champ électrostatique E ne dépend que de r (distance à O) ⇒ E(r ) Symétries : tout plan passant par O est plan de symétrie E ∈ à tous ces plans à la fois ⇒ radial et converge vers O (Q < 0) ⇒ E = −E(r ) u (E(r) > 0) Choix de la surface S fermée : symétrie sphérique ⇒ sphère centre O, rayon r Champ à l’extérieur de la boule chargée (cas r > R) : 1 Q E Φ = q = Th. de Gauss : ∑ int ε Sfermée εo o ( ) dS P ⇒E= S S −Q 4πεo r 2 r et E= Q 4πεo r 2 Résultat identique à celui obtenu pour une charge Q concentrée en O E u M O r u u + O P u dS E E ∫∫ E • dS = −∫∫ EdS = −E∫∫ dS = −ES = −4π r 2E S P S r •/• 64 A l’intérieur de la boule de charge Q ΦSfermée Th. de Gauss : ⇒E= Qint 4πεo r 2 (cas r < R ) On a toujours ( ) S Q E = int εo E(r ) = −E(r ) u GB : sphère de rayon r < R Qint : charge de la boule de rayon r (intérieure à S) u 4 ρ < 0 : densité volumique de charges) Qint = π r 3ρ (ρ 3 ⇒E= −Q E ρ ru 3 εo ∼ r 4πεo R 2 ∼ O R 1 r2 r •/• GB 65 c – Distribution uniforme de charges présentant une symétrie cylindrique Cylindre ∞t long, chargé en surface avec λ : charge par unité de longueur Invariances Dans une rotation θ autour de l’axe z’z Dans une translation suivant z’z (cylindre ∞t long) Coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) ⇒ Champ E indépendant de θ et z E ne dépend que de ρ (distance à z’z) ⇒ E(ρ) Plans de symétrie Plans ⊥ z’z (cylindre ∞t long) Plans passant par z’z E ∈ à tous ces plans ⇒ E ⊥ à z’z Si charges > 0 ⇒ E s’éloigne de z’z ⇒ E = E(ρ) u ρ Choix de la surface S fermée : symétrie cylindrique ⇒ cylindre fermé (hauteur L, axe z’z, rayon ρ) Extérieur du cylindre chargé (ρ > R, Qint= λL charge ‘enfermée’ dans S ) Q Th. de Gauss ΦS E = int εo Qint λ ⇒E= uρ E • dS = E • dS + E • dS = 2π ρL E = 2πεoρ εo S Sbases Slat A l’extérieur du cylindre creux chargé, la norme du champ E varie en 1/ρ ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ •/• GB 66 A l’intérieur du cylindre chargé (ρ < R ) Th. de Gauss : On a toujours ( ) E(ρ) = E(ρ) u ρ S : cylindre fermé, rayon ρ < R, hauteur L ΦS E = 0 = 2π ρL E Charge de ce cylindre de rayon ρ ≡ 0 ⇒E=0 Q E λ 2πεo R Qint = 0 ρ R 1 ∼ ρ O R ρ •/• GB 67 d – Plan infini chargé avec une densité surfacique σ (plan xOy) E Dans une translation suivant x Invariances (plan ∞) Dans une translation suivant y z z Coordonnées cartésiennes (x, y, z) ⇒ E indépendant de x et y uz E ne dépend que de z ⇒ E(z ) Plans de symétrie : Plans ⊥ xOy ux x E ∈ à tous les plans ⊥ xOy ⇒ E ⊥ xOy Σbase r M Σbase y uy O y ds x ds E Si z > 0 E = E(z ) u z Si σ > 0 ⇒ E s’éloigne Si z < 0 E = −E(z ) u z de xOy ⇒ E(z) > 0 Choix de la surface S fermée : cylindre fermé (axe z’z, surface de base S) Q (Q = σS : charge ‘enfermée’ dans S ) Th. de Gauss ΦS E = εo σS σ ⇒E= E • dS = E • dS + E • dS = 2S E = 2ε o εo S Sbases Slat σ σ ⇒E= u z si z > 0 E=− u z si z < 0 ⇒ Champ uniforme 2ε o 2ε o ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫