Solutionnaire TP1

Octobre 2015
Statistique et Probabilité
TP 1 : solutionnaire
Question 1
Le tableau suivant fournit la répartition de familles ayant un enfant étudiant à
l'université, classée en fonction de leurs dépenses annuelles en frais scolaires :
Dépenses annuelles (en euros)
Fréquences absolues
300 ≤ X < 400
5
400 ≤ X < 500
60
500 ≤ X < 600
15
600 ≤ X < 700
95
700 ≤ X < 800
30
800 ≤ X < 1000
5
a) Déterminez tout d’abord la classe modale de cette répartition et calculez le
mode.
b) Calculez la moyenne des dépenses annuelles en frais scolaires.
c) Calculez ensuite la médiane de la distribution et interprétez cette valeur.
d) Calculez enfin le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous indique.
e) De quel côté cette série est-elle étalée ? Pourquoi ?
Solution :
a) La classe modale est la classe dont la fréquence est la plus élevée. Dans le cas
présent, il s’agit donc de la classe [600 ; 700[. Le mode est le centre de la classe
modale, soit 650 euros.
b) La moyenne peut être calculée de la manière suivante :
Moyenne = (5 * 350 + 60 * 450 + 15 * 550 + 95 * 650 + 30 * 750 + 5 * 900) / 210
= 598,8 euros.
c) Pour déterminer la médiane, construisons tout d'abord le tableau suivant :
Xi
Fréquence
[300, 400[
[400, 500[
[500, 600[
[600, 700[
[700, 800[
[800, 1000[
5
60
15
95
30
5
210
Fréquences
relatives (en %)
2.38
28.57
7.14
45.24
14.29
2.38
Fréquences cumulées
(en %)
2.38
30.95
38.09
83.33
97.62
100.00
1
Octobre 2015
La médiane répartit l’ensemble des observations en deux groupes de même taille.
C’est ainsi l’observation du milieu. La classe médiane est la suivante : [600, 700[.
La médiane a pour valeur exacte : 600 + 100*((50 – 38.09) / 45.24) = 626,3 euros.
d) La classe du troisième quartile Q3 est la suivante : [600,700[.
La valeur exacte du troisième quartile est calculée comme suit :
Q3 = 600 + 100*((75 – 38.09) / 45.24) = 681,5 euros.
Cela signifie que 75% des familles dépensent moins de 681,5 euros pour leur enfant
étudiant à l'université et que 25% des familles dépensent plus que ce montant.
e) Pour savoir si la distribution est symétrique ou pas, il faut comparer la médiane
avec la moyenne et le mode. Si les trois sont égaux, la distribution est symétrique,
sinon elle est asymétrique (étalée à gauche ou à droite).
Dans cet exemple, nous avons trouvé que la moyenne < médiane < mode, la
distribution est étalée vers la gauche.
Question 2
La distribution des revenus bruts de la population d'une petite agglomération se
présente de la façon suivante :
Revenu brut
Fréquence
(en 1000 €)
15
20
25
30
35
relative
0.1
0.3
0.2
0.3
0.1
a) Calculer la moyenne et la variance du revenu brut d'un habitant.
b) Considérons deux façons d’imposer les revenus : i. Impôt = 20% du revenu brut ;
ii. Impôt = 50% du revenu brut excédant 12(000) €. Pour chacun de ces modes
d’imposition, calculer la moyenne de l'impôt payé.
Solution :
Moyenne = X = Somme des (revenus * Fréquence relative) = Somme des
(différents revenus possibles * probabilité de gagner ce revenu) = 15 * 0.1 + 20 *
0.3 + 25 * 0.2 + 30 * 0.3 + 35 * 0.1 = 25(000) €.
2
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


(
X

X
)²
F
i
i
2
2
2
i
²


(
X

X
)²
f

(
0
.
1
*
(
15

25
)

0
.
3
*
(
20

25
)

0
.
2
*
(
25

25
)
i
j
Ni
2
2

0
.
3
*
(
30

25
)

0
.
1
*
(
35

25
)

35
b) i. I = impôts = 0.2X  I = 0.2 X = 0.2 * 25 = 5 € et variance : 0.2² Var (X)
= 1,4
ii.
I = 0.5(X - 12)  I = 0.5 X – 6 = 6.5 € et variance : 0.5² Var (X) = 8,75
Question 3 (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., chapitre 2)
Une station balnéaire décide de réaliser une étude de son climat. Pour cela, le
nombre de jours de soleil par mois d’été a été retenu comme mesure du climat. La
distribution du nombre de jours de soleil par mois d’été durant les cinq dernières
années est donnée dans le tableau ci-dessous.
Quel est le mois que vous choisiriez pour vos vacances ? Explicitez votre réponse
en vous aidant de la moyenne et de l’écart-type ?
Année
1
2
3
4
5
Juin
10
10
14
14
10
Juillet
15
15
14
14
15
Août
20
7
20
20
7
Solution :
Calculons la moyenne et l’écart-type du nombre de jours d’ensoleillement pour les
trois mois d’été. Nous considérons les données comme provenant d’un échantillon.
1) Mois de Juin
Moyenne = (10 + 10 + 14 + 14 + 10) / 5 = 58 / 5 = 11.60
X = jours de soleil
10
10
14
14
10
(X- X )
-1.60
-1.60
2.40
2.40
-1.60
=0
(X- X )2
2.56
2.56
5.76
5.76
2.56
=19.20
3
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Variance = 2 = 19.20 / 4 = 4.80.
Petit échantillon  division par (n-1)
Ecart-type =  = 2.19
2) Mois de Juillet
Moyenne = (15 + 15 + 14 + 14 + 15) / 5 = 73 / 5 = 14.60
X = jours de soleil
15
15
14
14
15
(X- X )
0.40
0.40
-0.60
-0.60
0.40
=0
(X- X )2
0.16
0.16
0.36
0.36
0.16
=1.20
Variance = 2 = 1.20 / 4 = 0.30
Ecart-type =  = 0.55
3) Mois d’août
Moyenne = (20 + 7 + 20 + 20 + 7) / 5 = 74 / 5 = 14.80
X = jours de soleil
20
7
20
20
7
(X- X )
5.20
-7.80
5.20
5.20
-7.80
=0
(X- X )2
27.04
60.84
27.04
27.04
60.84
= 202.80
Variance = 2 = 202.80 / 4 = 50.70
Ecart-type =  = 7.12
Conclusion : Malgré le fait que le mois d’août est le mois d’été pour lequel le nombre
de jours d’ensoleillement est le plus élevé en moyenne, il semble préférable de
partir en vacances au mois de juillet puisque la moyenne du nombre de jours
d’ensoleillement est légèrement plus faible (14.6 jours contre 14.8) mais l’écart4
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type pour ce mois est nettement plus bas que pour le mois d’août (0.55 contre
7.12).
Question 4
Nous tirons une carte au hasard dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Nous
considérons les événements suivants :
A = la carte choisie est le roi de coeur ;
C = la carte choisie est soit l'as de pique, soit une carte coeur ;
a) Calculez la probabilité des événements A, C ;
b) Calculez la probabilité de l’intersection suivante : A et C ;
c) Calculez la probabilité de la réunion suivante : A ou C ;
d) Calculez la probabilité conditionnelle suivante : P(A/C).
Solution :
a) La probabilité de choisir le roi de coeur est de P(A) = 1/52
soit l'as de pique, soit une carte cœur : P(C) = 1/52 +
13/52 = 14/52
b) Calculons la probabilité de l’intersection (évènement A ET C) :
P(A  C)= P(C) * P(A \ C) = 14/52 * 1/14 = 1/52
c) Calculons la probabilité des réunions (évènement A OU C) :
P(A  C)= P(A) + P(C) - P(A  C) = 1/52 + 14/52 - 1/52 = 14/52 = P(C)
d) Calculons la probabilité conditionnelle : P(A/C) = 1/14
Question 5
Trois chasseurs se promènent dans la campagne. La probabilité qu'ils atteignent
leur cible est de respectivement 0,5 ; 0,7 et 0,8. Un lièvre passe. Les trois
chasseurs tirent.
a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au moins une fois ?
b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché que par un des trois
chasseurs ?
a) On cherche P(X  1)
P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) avec P(X  3) = 1
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P(X =0) = P( A  B  C ) = P( A) * P( B) *¨(C )  0,5 * 0,3 * 0,2  0,03 car les événements
A, B et C sont indépendants.
Ainsi, on obtient que P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) = 1 – 0,003 = 0,97.
b)
P( A  B  C )  P( A  B  C )  P( A  B  C )  0,5 * 0,3 * 0,2  0,5 * 0,7 * 0,2  0,5 * 0,3 * 0,8  0,22
= P(X = 1).
Question 6
Un examen à choix multiples comporte 10 questions. Pour chaque question,
l'étudiant devra choisir entre 5 réponses proposées dont l'une seulement est
correcte. Supposons qu'un des étudiants choisisse les réponses au hasard. Quelle
est la probabilité qu'il réponde correctement à au moins 5 questions ?
Solution : La variable aléatoire suit une loi binomiale : X ~ Bi (10 ; 0.2)
P(X ≥ 5) = 0.033 (cf. table statistique de la loi binomiale)
Question 7
Un système composé de 4 radars identiques fonctionnant de manière indépendante
les uns des autres, permet de détecter la présence d'avions dans un certain espace
aérien. Chaque radar a une probabilité de 0.95 de détecter un avion. Soit la
variable aléatoire, X, qui détermine le nombre de radars ayant détecté un avion
dans cet espace aérien.
a) A quelle loi la variable X obéit-elle ?
b) Donner la distribution de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X.
Solution :
a) La variable aléatoire X suit une loi binomiale (où X mesure le nombre de
réussites dans une série de n tentatives d’un processus de Bernouilli).
b) X ~ Bi (4 ; 0,95) car la variable aléatoire X définit le nombre de radars ayant
détecté un avion.
La probabilité d’avoir s succès, donc que X = s se calcule en faisant :
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P(X = s) = C ns p s q n  s
Distribution de probabilités :
X
P(X)
=
0
1
=
4!
0,951 0,053  4(0,95)1 (0,05) 3  0,0005
1!3!
=
4!
0,952 0,052  6(0,95) 2 (0,05) 2  0,0135
2!2!
2
=
4!
0,953 0,051  4(0,95) 3 (0,05)1  0,1715
3!1!
=
4!
0,954 0,050  (0,95) 4 (0,05) 0  0,8145
4!1!
3
4
4!
0,950 0,054  0
0!4!
c) La moyenne de la loi binomiale est calculée en multipliant le nombre de tentatives
n par la probabilité de succès de l’évènement, p, tandis que la variance est donnée
par n*p*q.
X = 4 * 0,95 = 3,80
Var (X) = 4 * 0,05 * 0,95 = 0,19
=> Ecart type (X) = 0,44
Question 8 (solution donnée lors du TP 2)
Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale
standardisée Z
P(Z  1.96) =
P(Z ≥ 1,645) =
P(-0.9  Z  0) =
P(-1.56  Z  -0.2) =
7