Fiche élève

TP : Expériences à 3 issues & loi trinomiale
« Le jeu de la roue »
Enoncé :
_ Mr Hazard tourne la roue de casino représentée ci-contre.
_ L’expérience consiste à tourner n fois la roue et à regarder la couleur obtenue à
chaque fois.
_ On tombe sur la portion bleue avec une probabilité de
la portion verte avec une probabilité de
1
8
,
1
2
et la portion rouge avec une probabilité de
3
8
.
_ Soit X la variable aléatoire définie par la règle du jeu suivante : le joueur gagne 2€
si au bout de n expériences, la couleur rouge n’est jamais apparue, il gagne 5€ si la
couleur rouge apparaît une seule fois, et perd 1€ si elle apparaît plus d’une fois.
Quel que soit le nombre n d’expériences (répétées de manières identiques et
indépendantes), X peut donc prendre 3 valeurs : X=-1 , X=2 ou X=5.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X se nomme loi trinomiale.
1. Cas où n=3 et arbre de probabilité
a. Compléter l’arbre ci-contre afin d’obtenir tous les chemins possibles.
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b. Dans le tableau suivant, reporter le nombre de chemins réalisant chaque suite de couleurs, sans tenir
compte de l’ordre.
Chemins
possibles
(sans ordre)
Nombre de
chemins
B-B-B V-V-V R-R-R B-V-R V-V-B V-V-R R-R-B R-R-V B-B-R B-B-V Total
Remarque : On vérifiera que le nombre total de chemins trouvé est cohérent avec l’arbre ci-dessus.
c. Quelle est la probabilité que Mr Hazard obtienne dans l’ordre les couleurs « Rouge-Bleu-Vert »?
d. Mr Hazard dit qu’il gagnerait plus facilement la partie si le jeu consistait à avoir la combinaison « RougeBleu-Vert » dans n’importe quel ordre. Pourquoi a-t-il raison ? Quelle est cette probabilité ?
e. Mr Hazard est gagnant s’il obtient un unique Rouge. Quelle est la probabilité qu’il gagne au jeu de la
roue?
Rappelons que X est la variable aléatoire qui prend la valeur 5 si la couleur rouge apparaît une seule fois.
f.
Compléter la loi de probabilité de X.
xi
-1
2
5
P(X=xi)
2. Généralisation et programmation
On se rend vite compte que l’arbre a ses limites : sa représentation devient impossible lorsque le nombre de
répétition de l’expérience augmente (le nombre de branches est de 3n !). C’est pourquoi dans la deuxième partie,
on veut généraliser le nombre de répétitions à n, et écrire un algorithme permettant de calculer les probabilités
de chaque gain.
Travail de groupe demandé :
 A l’aide des indications des deux paragraphes ci-dessous, écrire un algorithme permettant de calculer et
d’afficher P(X=-1), P(X=2) et P(X=5).
 Puis, utiliser le logiciel Algobox pour programmer cet algorithme. Vérifier le résultat de la question f
précédente.
 Quelle est la probabilité que M. Hazard gagne 5€ en tournant 10 fois la roue ?
 Que constatez-vous lorsque l’on fait augmenter le nombre d’expériences n ?
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a. Principe de l’algorithme
 Une grande partie de la programmation consiste à construire l’arbre.
On choisit tout d’abord l’ordre suivant pour explorer l’arbre :
Rouge-Vert-Bleu.
Cela signifie que l’on va parcourir les branches partant d’un nœud
Rouge dans un premier temps, puis les branches avec un nœud Vert
et enfin Bleu.
Ainsi, la première branche parcourue sera Rouge-Rouge-Rouge et la
dernière : Bleu-Bleu-Bleu.
Ci-contre : exemple de l’ordre de parcours pour n=2 (lire l’arbre de
bas en haut)
 A chaque fois qu’une branche est terminée, on compte le nombre de
« Rouge » puis on évalue le gain (X=-1, X=2 ou X=5).
 Ensuite, il faut calculer la probabilité de réaliser la branche.
 Puis, on fait la somme des probabilités de toutes les banches qui ont
le même gain.
 L’algorithme affiche en dernier les 3 probabilités :
- la probabilité de perdre 1€ (si la couleur Rouge est apparue plus
d’une fois) : variable S.
- la probabilité de gagner 2€ (si le Rouge n’est jamais apparu) :
variable Q.
- et la probabilité de gagner 5€ (si le Rouge est apparu exactement
une fois) : variable R.
 Comme Algobox ne considère que les nombres, on identifie la
couleur Rouge à 1, la couleur Verte à 2 et la couleur Bleue à 3.
b. Variables et initialisations
-
-
-
S, Q, R initialisés à 0.
Demander n (nombre d’expériences)
Liste L de taille n (initialisés à n cases rouges)
Combinaison est une variable booléenne : 0 si Faux, 1 si Vraie. Si on vient de changer le rouge en vert ou
le vert en bleu, combinaison vaut 1, par contre, lors d’un changement de nœud, combinaison vaut 0.
Combinaison est initialisée à 0.
La variable booléenne continueBoucle vaut 1 tant que la dernière combinaison Bleu-Bleu-Bleu n’a pas
été générée (et 0 sinon).
continueBoucle est initialisée à 1
Les variables i et indice balayent la liste de 1 à n.
La variable compteur initialisée à 0 compte le nombre de « Rouge », une fois une branche terminée.
La variable proba (initialisée à 1) calcule la probabilité d’obtenir le tirage de la liste L, une branche étant
terminée.
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