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Électricité
3. Le théorème de Gauss
3.1 Le flux électrique
fluide  lignes de courant / traversent une section
Définition :
Le flux électrique
lignes de champ
qui traverse une surface
est :
qui est perpendiculaire au
θ : l’angle entre
L’orientation de la surface peut être défini par un vecteur :
- de module égale a
- de direction perpendiculaire au plan de la surface
- le sens reste ambigu  choisissons pour l’instant tel que
positif.
uniforme :
et
soit
le flux associé à un champ électrique uniforme
Situation quelconque : des petits éléments de
surfaces :
à la limite
la somme discrète devient
une intégrale continue et de valeur exacte :
Le flux électrique :
La direction et le sens de vecteur
en un point donné sont par définition la
direction et le sens de la normale sortant de la surface.
sort d’une surface > 0
entrant d’une surface < 0
3-1
Électricité
3.2 Le théorème de Gauss
Supposons :
Charge partielle Q :
Partout sur la surface de la sphère de
Gauss, il y a le vecteur . Il a toujours
la même norme (
) ; seulement
la direction change.
Que vaut le flux électrique à travers
cette surface de Gauss ?
E : cst. sur la surface de Gauss
comme E (charge ponctuelle)
Règles :
•
•
•
•
il suit
Le flux électrique est égal à la charge divisé par une constante.
Le résultat ne dépend pas du rayon r .
(indépendant de notre choix de la surface de Gauss)
Si
est négatif, il n’y a que le sens de qui change est par conséquence
le flux
serait négatif.
La surface de Gauss doit être fermée.
Pour la surface de Gauss jaune on trouverait
le même résultat (sans démonstration).
Le nombre de lignes de charges :
Le flux net est nul dans ce cas la, car toutes les lignes du champ qui entre dans
la surface la quitte aussi.
3-2
Électricité
Le théorème : Le flux net à travers une surface fermée est égal à
nette à l’intérieur de la surface :
que multiplie la charge
note : le cercle sur
l’intégrale signifie que la
surface de Gauss doit être
fermée.
(Le flux électrique à travers une surface de Gauss est proportionnel au nombre
de lignes de champs passant cette surface.)
Exemple :
soit
Le flux positif à travers la surface
Le flux négatif à travers la surface
Le flux à travers la surface
3-3
Électricité
3.3 L’utilisation des théorèmes de Gauss
Exemple A:
Une sphère creuse de rayon R porte une
charge Q uniformément répartie sur sa
surface.
Trouver le champ en un point :
a)
à l’extérieur et
b)
à l’intérieur de la sphère
la direction du vecteur part du centre
de la sphère et se disperse d’une manière
radiale vers l’extérieur de la sphère
(symétrie) 
distribution symétrique de la charge 
uniforme sur la surface de Gauss
a)
sans la loi de Gauss :
avec la loi de Gauss :
A l’extérieur de la sphère creuse, le champ est le même que si la charge était
ponctuelle et situé au centre de la sphère.
b)
surface de Gauss sphérique
comme il y a pas de charges à l’intérieur de la
surface de Gauss
Comme peut prendre toutes les valeurs plus
petites que , suit
partout à l’intérieur
de la sphère.
3-4
Électricité
Exemple B:
Une sphère pleine non conductrice
uniformément chargée, de rayon , de
charge totale
(positive) répartie
uniformément dans le volume de la
sphère.
Trouver le champ :
a)
à l’extérieur et
b)
à l’intérieur de la sphère
a)
b)
(argumentation identique au problème A)
On choisit une coquille sphérique de rayon
•
La densité de charge vaut :
•
La charge à l’intérieur de la surface de Gauss est donnée par le produit de la
densité de charge par le volume :
Le champ électrique est proportionnel à la distance au centre r. Si
Seulement les charges à l’intérieur d’un certain point dans une sphère influence
une attraction sur celle-ci ; c-à-d les charges dans la sphère mais à l’extérieur de
ce point s’annulent.
3-5
Électricité
Exemple C :
Un champ électrique non uniforme
traverse un cube de la manière
suivante :
Déterminer le flux électrique à travers :
a)
la face gauche
b)
la face droite
c)
la face supérieure
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