Exemple synthèse

Exemple synthèse (Chapitre 5)
Un câble coaxial linéaire est formé d’un fil plein de rayon a et ayant une densité linéique
de charge +. Il est entouré d’une gaine (coquille cylindrique) de rayon b et ayant une
densité linéique –. L’isolant entre les deux conducteurs est du nylon dont la constante
diélectrique est . En utilisant le théorème de Gauss et le calcul de la différence de
potentiel entre les conducteurs, démontrez que la capacité d’une longueur L de ce câble est
donnée par : C  2  0 L
ln(b/a)
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Solution:
La capacité est donnée par C = Q/V. Il faut donc
déterminer V et pour cela il faut déterminer
l’expression du champ électrique entre les deux
conducteurs.
Étape suivante 
a
b
Déterminons le champ électrique entre a et b à l’aide du théorème de Gauss. Pour cela,
prenons une surface de Gauss cylindrique de rayon r compris entre a et b et de longueur

L entourant le fil plein comme dans la figure ci-contre.
dA
On peut décomposer la surface de Gauss en trois parties:
S1 et S2 pour les surfaces aux deux bouts du cylindre et
la surface S3 pour la surface latérale du cylindre. La
permittivité de l’isolant est celle du vide multipliée par
sa constante diélectrique : o.
        Q
EdASEdA S2EdA S3EdA ino
1

r
L
a
S1

E
dA
S3

dA sont
Pour les surfaces S1 et S2, les vecteurs E et
 
perpendiculaires alors le produit scalaire EdA est nul.
 
Qin
E

d
A

E
dA
cos




 o
S3
S2

dA
En tout point de la surface latérale du cylindre, la grandeur du champ électrique est
constante puisque la surface
est toujours à la même distance du fil. Aussi, en tout

point de cette surface, E est parallèle à dA de sorte que cos  = 1
Étape suivante 

E

E
E dA cos0 
Qin
où Qin = L
 o
E 2 r L  L
 0
Le champ électrique entre a et b est donné par : E  2 
r 0
On peut maintenant déterminer la différence de potentiel Vb – Va entre les deux
conducteurs.
Puisque le champ varie suivant le rayon:
b
b

Vb Va    Er dr    Er dr cos0
a
a
En remplaçant l’expression du champ obtenu par le théorème de Gauss:
 dr cos0
a 2 r 0
b

dr
Vb Va  

2  0 a r
Vb Va    ln rba    ln( ba)
2  0
2  0
b
Vb Va   
Où le signe négatif indique seulement que le potentiel décroît en se déplaçant de a vers b.
Étape suivante 
La capacité est donnée par C = Q/V
C
Q 2  0
 ln( ba )
C
 L 2  0
 ln( ba )
C
où V est en valeur absolue
où Q = L
2  0 L
ln( ba )
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Jérôme Giasson