lim

NOM : ………………………………………………..
PRENOM : …………………………………….. CLASSE : ………
Samedi 22 Novembre 2008
08 h 30 – 11h 30
Lycée Marie Curie Versailles
DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES N°2
Tales ES 1 - 2 - 3 - 4
Les exercices sont indépendants.
La calculatrice est autorisée.
L’énoncé sera rendu avec la copie.
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MATHEMATIQUES
Série : ES Spécialité et Obligatoire
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Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient le jour du bac : 5 (Obligatoire)
Coefficient le jour du bac : 7 (Spécialité)
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Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
Les exercices 1, 2 et 3 sont communs à tous les candidats. Pour l’exercice 4, le candidat traitera
l’exercice correspondant à son choix d’option ( spécialité ou obligatoire )
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
( 6 points )
( Commun à tous les candidats )
Voici, ci-dessous, la courbe représentative Cf
d’une fonction g. L’unité est le centimètre.
d’une fonction f et la courbe représentative Cg
T’
T
La droite (T) est la tangente en A ( 5 ; 9 ) à la courbe Cf ; (T) passe par le point B ( 2 ;1 ).
On donne f (1,5) = 1,3.
La droite (T ’) est la tangente en C ( 9 ; 2 ) à la courbe Cg ; (T ’) passe par le point D ( 0 ; 3 ).
La droite d’équation y = 1,5 est asymptote à la courbe Cg en + ∞.
On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f.
1] a) Lire f (0) , f (1) , f (5).
b) Donner, en justifiant, f ’(1) et f ’ (5).
c) Déterminer une équation de la droite (T).
d) Donner x lim
f (x).
→ +∞
2] a) Lire g (1) , g (4) , g (9).
b) Donner, en justifiant, g’ (9).
c) Donner, en justifiant, x lim
g (x).
→ +∞
3] Soit u la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par u(x) = ( go f )(x) = g ( f (x) )
a) Déterminer u(0) , u(1) et u(5).
b) Calculer u’ (5).
u (x). Justifier la réponse.
c) Calculer x lim
→ +∞
BONUS
d) En utilisant le sens de variation des fonctions f et g, donner le sens de variation de la
fonction u puis dresser le tableau de variation de la fonction u.
Exercice 2
( 4 points )
( Commun à tous les candidats )
Dans chacun des six items suivants quatre affirmations sont proposées.
Vous devez indiquer “V” pour les propositions qui vous semblent vraies et “F” pour celles qui
vous semblent fausses dans la case en fin de ligne destinée à cet effet.
Laissez vide si vous ne savez pas.
Une case correctement remplie rapporte 1 point.
Une case non correctement remplie fait perdre 1 point.
L’absence de réponse ne provoque ni gain, ni perte de points.
Si la somme des points est négative la note est ramenée à 0.
La note globale est ramenée sur 4 points en divisant le total des points par 6.
lim f (x) = 2
⎧⎪ lim f (x) = – ∞
telle que ⎨ lim f (x) = 4
⎪⎩ lim f (x) = – ∞
x→–∞
1] Soit la fonction f
x→+∞
x→2
x<2
x→1
On peut affirmer que :
La courbe représentative de la fonction f admet la droite d’équation x = 2 pour asymptote…..
La courbe représentative de la fonction f admet la droite d’équation y = 2 pour asymptote. …
La courbe représentative de la fonction f admet la droite d’équation x = 1 pour asymptote. …
La courbe représentative de la fonction f admet la droite d’équation x = 4 pour asymptote. …
2] Soit f une fonction définie et dérivable sur IR et telle que x lim
f(x) = – ∞.
→+∞
On peut affirmer que :
La fonction f est décroissante sur IR ………………………………….……………………..…
La courbe représentative de la fonction f n’admet pas de droite asymptote horizontale en + ∞.
La courbe représentative de la fonction f admet la droite d’équation y = 0 pour asymptote. …
f ’(x) ≥ 0 pour tout réel x. ……………………………………………………………………….
lim f (x) = 2
⎧ lim g (x) = 3
3] Sachant que ⎨ lim f (x) = − ∞
⎩ lim g (x) = 0
x→–∞
x→2
x→3
x→–∞
On peut affirmer que :
lim f g (x) = 2 ...………………………………………………………………………..……..
x→–∞ °
lim g ° f (x) = 2 …………………………………………………………………………..…….
x→–∞
lim g ° f (x) = 3 …………………………………………………………………………..…….
x→–∞
lim f ° g (x) = 0 …………………………………………………………………………..……...
x→3
Tourner la page S.V.P.
4] La courbe ci-dessous est celle de la fonction f :
On peut estimer d’après cette courbe que :
f n’est pas définie en x = −4 ……………………………………………………………..……...
lim f (x) = + ∞ ……………………………………………………………………..…………….
x→2
x<2
f n’est pas continue en x = 1 ……………………………………………………………..…….
f n’est pas continue en x = 4 ……………………………………………………………..…......
5] Soit f une fonction définie et continue sur [1 ; 5 ] et telle que f (1) = 2 et f (5) = 300.
On peut affirmer que :
f est croissante sur [ 1 ; 5 ] ……………………………………………………………………...
l’équation f (x) = 20 admet une unique solution ………………………………………………...
l’équation f (x) = 20 admet au moins une solution …………………………….………..……...
300−2
Le coefficient directeur de f est
……………………………………………….…..…...
5−1
6] La courbe ci-dessous est celle de la fonction f :
On peut estimer d’après cette courbe, en supposant qu’elle se prolonge de la même façon
indéfiniment vers la gauche et vers la droite, que :
La droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe représentant f. ………………………...
lim f (x) = 0.…………………………………………………………..………………..……...
x→–∞
La fonction f n’est pas continue. …………………………………………………….....……...
La fonction f n’a pas de limite quand x tend vers + ∞. ……………………………....……...
Exercice 3
( 5 points )
( Commun à tous les candidats )
3
4 x2 + 2 x + 13
On considère la fonction f définie sur ] – ∞ ; [ par f (x) =
4x–6
2
On note C la courbe représentant f dans un repère du plan.
1] Déterminer lim f (x).
x→–∞
2] Déterminer x →
lim
f (x).
3/2
x < 3/2
En déduire l’existence d’une asymptote. Quelle est son équation ?
3] a) Démontrer que la droite ∆ d’équation y = x + 2 est asymptote oblique en – ∞ à C.
b) Etudier la position relative de la courbe C par rapport à la droite ∆.
16 x2 – 48 x – 64
4] a) Montrer que la dérivée de f est donnée par la formule f ’(x) =
( 4 x – 6 )2
b) Étudier le signe de f ’(x).
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f .
Exercice 4
( 5 points )
( Candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématique )
Une entreprise fabrique des sacs. Chaque jour, l’entreprise en produit x, ce nombre x étant
compris entre 0 et 50. Le coût de production journalier de ces x sacs est la somme de frais fixes
et du coût de fabrication de ces x sacs.
Le coût de production journalier, exprimé en euros, de x sacs est donné par la fonction f telle que :
f ( x) = x 2 + 30 x + 400 .
A. 1. Calculer f(0) ; que représente le nombre trouvé ?
2. a) Calculer le coût de production journalier de 10 sacs.
b) Calculer, en pourcentage, l’augmentation du coût de production journalier si la
production passe de 10 sacs à 12 sacs.
B. Chaque sac est vendu 120 €.
1. On appelle R(x) la recette pour x sacs vendus. Exprimer R(x) en fonction de x.
2. On désigne par B(x) le bénéfice réalisé, chaque jour, par la vente de x sacs.
a) Montrer que B ( x) = − x 2 + 90 x − 400 sur l’intervalle [0 ; 50 ].
b) Calculer B’(x).
c) Dresser le tableau de variation de la fonction B.
d) En déduire le bénéfice maximal et le nombre de sacs à fabriquer chaque jour pour
avoir ce bénéfice maximal.
C. L’entreprise travaille 300 jours par an et produit 45 sacs par jour. On admet qu’ils sont tous
vendus.
1. Calculer le bénéfice total réalisé.
2. L’entreprise décide de placer à intérêts composés au taux de 4,5 % l’an, le bénéfice réalisé
par la vente de la production des 100 premiers jours.
Calculer la valeur acquise, en euros, au bout de 6 ans de placement.
( On en donnera la valeur arrondie à l’unité près. )
Exercice 4
( 5 points )
( Candidats ayant choisi la spécialité mathématique )
On étudie l’évolution de deux populations en même temps : la première est une population
de prédateurs et la deuxième une population de proies. On note xn le nombre de proies et yn le
nombre de prédateurs à l’année n.
Au départ ( année 0 ) la population des proies a un effectif x0 = 2000 et la population de
prédateurs a un effectif y0 = 1000.
Chaque année la population des proies triplerait si il n’y avait pas de prédateur. Comme en
moyenne un prédateur mange deux proies par an on a donc :
xn + 1 = 3 xn − 2 yn .
Par ailleurs le nombre de prédateurs évolue aussi chaque année, s’ils étaient seuls leur
population diminuerait de 50% chaque année, en présence de proies il se reproduisent plus de sorte
que pour eux on a la relation :
1
1
yn + 1 = yn + xn .
2
2
1] Donner la valeur exacte de chacun des trois premiers termes de (xn) et des trois premiers termes
de (yn).
1
xn − 2 yn .
2
Démontrer que la suite (an) est constante. Que vaut an ?
2] On définit une nouvelle suite (an) en posant an =
3] On définit une nouvelle suite (bn) en posant bn = xn − yn.
a) Démontrer que la suite (bn) est géométrique de raison
b) Calculer b0 puis exprimer bn en fonction de n.
2 an − bn
.
−3
b) Quelle est la limite de (yn) quand n tend vers + ∞ ?
4] a) Vérifier que yn =
5] En déduire la limite de (xn) quand n tend vers + ∞ ?
5
.
2