Amphi 3_11.02.2015 Fichier
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Physique Statistique (PHY433) Amphi 3 Jean-Philippe Bouchaud 1. La “Boîte à outils” de l’ensemble canonique 2. La thermodynamique retrouvée: interprétation statistique de la chaleur Quelques points de repère des Amphis 1,2 Ensemble canonique S R Limite classique: Valeur moyenne d’une observable: classique: S : état propre de , La boîte à outils de l’ensemble canonique Energie interne (= Energie moyenne) : Z: « fonction de partition » Note: < H2 > = Z’’/Z, etc. La boîte à outils de l’ensemble canonique Capacité calorifique: < H > = Z’/Z < H2 > = Z’’/Z Lien entre réponse et fluctuations ! Relation fluctuations-réponse Réponse à une perturbation Fluctuations spontanées Résultat général !! (susceptibilité magnétique, mobilité, etc..) Relation fluctuations-réponse Exemple : particule dans potentiel Réponse linéaire à une force extérieure : Réponse à la force Fluctuations spontanées Relation fluctuations-réponse (dynamique) Particule dans un fluide. Einstein 1905 : Coefficient de diffusion caractéristique du mouvement Brownien Viscosité du fluide Fluctuations spontanées Réponse à une force Rayon de la particule Mesuré par Perrin, confirmant la théorie microscopique de l’équilibre barométrique (cf. Amphi 2) La boîte à outils de l’ensemble canonique Capacité calorifique: Cas des grands systèmes, ordres de grandeur micro-macro: (très grossièrement) cf. J/K Ensemble canonique et grands systèmes Cas des grands systèmes, ordres de grandeur micro-macro: L’ÉNERGIE NE FLUCTUE (PRESQUE) PAS Equivalence d’ensembles: Pour un très grand système, l’ensemble canonique à température et d’énergie interne est équivalent à l’ensemble microcanonique où l’on fixe l’énergie ... en ce qui concerne le calcul des valeurs moyennes: Microcanonique = Canonique Pourquoi introduire plusieurs ensembles?? Cf plus loin Energie la plus probable : prob d’être dans 1 état donné d’énergie En Mais: E est de multiplicité (très) piqué autour de / (Méthode dite de Laplace) max Energie libre Pour un grand système dans ensemble canonique: * Def.: Energie libre canonique * Energie libre, énergie interne Energie libre (?) : Preuve : Relations thermo. classiques S = – dF/dT F = U – TS = U + T dF/dT U = F – T dF/dT A comparer à la définition statistique : U = – d log Z /db = d (bF) / db = F + b dF/db = F – T dF/dT La boîte à outils de l’ensemble canonique: récapitulatif Fonction de partition: Energie interne: Energie libre: (+ Entropie) Capacité calorifique: “Il suffit de” calculer Calcul de la fonction de partition Difficile…sauf dans le cas de particules sans interactions Particule Particule : : Etats propres de : Systèmes sans interactions: Utilisation de l’ensemble canonique: retour sur le modèle d’Einstein Particule Au total: , où est la fonction de partition d’un oscillateur harmonique Modèle d’Einstein : ensemble canonique Même résultat qu’en microcanonique mais très simple ! Dulong et Petit “Recherches sur quelques points importants de la Théorie de la Chaleur”, 1819 Alexis Thérèse Petit Professeur à l’X de 1815 à 1819 Pierre Louis Dulong Professeur à l’X de 1820 à 1829 Directeur des études de 1830 à 1838 Limite classique (haute température) : Le «Théorème d’équipartition» «Théorème d’équipartition de l’énergie»: chaque degré de liberté quadratique dans donne une contribution à l’énergie interne (en physique classique) Cf Amphi 4 Solide: 6 degrés de liberté « quadratiques » (p2 , x2) Dulong et Petit 6N degré de liberté quadratiques: Capacité calorifique d’une mole: Théorème ?? Planck (1900: rayonnement), Einstein (1907: vibrations): le théorème d’équipartition n’est pas valable à basse température car l’énergie de vibration est quantifiée. Th. d’équipartition: Illustration - quizz: “Nano-balle” élastique (bidimensionnelle!) Ressort : quelques dizaines On lâche la balle. Chocs parfaitement élastiques avec le sol (pas de pertes d’énergie) Que se passe-t-il ? Que se passe-t-il ? A, B, C ou D ? Analyse Balle élastique (NB: bidimensionnelle!) particules composantes d’impulsion composantes de position dont , et degrés de liberté quadratiques (modes de vibration) degrés de liberté quadratiques équilibre entre le centre de gravité et le “réservoir” constitué par les degrés de liberté quadratiques Analyse Equilibre canonique: Comment calculer la température? Equipartition: (+ conservation de l’énergie) Distribution exponentielle de avec : Résultat final: Equipartition: hauteur du lâcher nombre particules NB: Quelques détails subtils.... • (Petite) anharmonicité nécessaire pour que les différents modes s’équilibrent (cf. Amphi 2: “faible” couplage entre systèmes 1 et 2) • Limite N grand: l’énergie part entièrement dans les modes de vibrations de la balle : . • Energie gravitationnelle “chaleur” ! Application du canonique: système à deux niveaux Spin 1/2, atome dans site interstitiel, verres – (cf. contrôle 2012), etc. 1 échelle d’énergie importante : Système à deux niveaux Spin 1/2, atome dans site interstitiel (verres), etc. Application: dénaturation de l’ADN Plasmide e-coli, 6500 paires de bases Dénaturation de l’ADN: capacité calorifique ? Dénaturation de l’ADN: plein de systèmes à deux niveaux! Ensemble de systèmes à deux niveaux (ouvert/fermé) Hétérogène “Empreintes digitales” de l’ADN Dénaturation et séquences Température de dénaturation élevée Région riche en A-T Région riche en G-C La thermodynamique retrouvée Thermodynamics is a funny subject. The first time you go through it, you don’t understand it at all. The second time you go through it, you think you understand it, except for one or two small points. The third time you go through it, you know you don’t understand it, but by that time you are so used to it, it doesn’t bother you any more. Arnold Sommerfeld A theory is the more impressive the greater the simplicity of its premises, the more different kinds of things it relates, and the more extended its area of applicability. Hence the deep impression that classical thermodynamics made upon me. It is the only physical theory of universal content concerning which I am convinced that, within the framework of the applicability of its basic concepts, it will never be overthrown. Albert Einstein La thermodynamique retrouvée ? Principe “0” : Egalisation des températures pour deux systèmes en contact cf. Amphi 2 Premier principe : Fonction d’état Transformation . Travail reçu . Chaleur reçue indépendant de la transformation Deuxième principe : Fonction d’état Transformation quasistatique: : Premier principe Qu’est-ce que le travail? Qu’est-ce que la chaleur? Subtil... mais la définition statistique de U suggère la réponse : Premier principe Qu’est-ce que le travail? dépend de paramètres extérieurs Définition Le travail est le changement d’énergie du à un changement de dans la limite où varie assez lentement pour que à tout instant. Exemple: particule dans une boîte Travail dépend de paramètres extérieurs Déf: Force conjuguée à : Théorie des perturbations au premier ordre: Mélange statistique d’états travail reçu par le système: Force moyenne Premier principe Travail + Chaleur ! Deuxième principe: Transformation “quasistatique”: Système à l’équilibre thermique à tout instant, i.e. : Comment change l’entropie statistique au cours d’une transformation quasistatique? Lien avec la chaleur reçue? Formule plus générale (de Shannon) pour l’entropie: (Cf. théorie. de l’information) Microcanonique: = Boltzmann Canonique: ( ) Deuxième principe: Transformation quasistatique: système toujours à l’équilibre thermique. Donc à tout instant: Transformation: Quasistatique: !! Toute la thermodynamique se déduit du postulat microcanonique ! Quelques points essentiels Boîte à outils de l’ensemble canonique: Fonction de partition: Energie interne: Energie libre: Capacité calorifique: Entropie: L’entropie et la température statistique possèdent bien toutes les propriétés de l’entropie et de la température utilisées en thermodynamique
