RÉDUCTION CANONIQUE DU PROBLÈME À DEUX CORPS ( ) ( ) ( )

RÉDUCTION CANONIQUE DU
PROBLÈME À DEUX CORPS
I. ÉLÉMENTS CINÉTIQUES
I.1 Référentiel barycentrique
• On considère deux points matériels M1 et M2 de masse m1 et m2. On note M la masse totale : M = m1 + m2 .
On appelle G leur centre d’inertie
G G G
G G G
• On considère deux référentiels : ℜ = O, i , j , k référentiel galiléen et ℜ* = G, i , j , k .
G
G
G
G
 dA 
 dA 
G
G
ℜ * est en translation par rapport à ℜ , donc ωℜ*/ ℜ = 0 et 
 = 
 + ωℜ*/ ℜ ^ A .
 dt ℜ  dt ℜ*
(
)
(
)
Rappels de définition :
JJJJG
 dOM 
G
v ( M ) = 
 = vitesse absolue de M
 dt ℜ
JJJJG
 dGM 
G
v * ( M ) = 
 = vitesse relative de M
 dt ℜ*
G
G
G
On a vu dans le cours que v ( M ) = v * ( M ) + vG
I.2 Mouvement relatif de 2 par rapport à 1
G JJJJJJG
G
G
On pose r = M 1 M 2 = r u1→2 avec u1→2 vecteur unitaire dirigé de M1 vers M2.
G
u1→2
r
M2
M1
On cherche à déterminer le mouvement relatif de 2 par rapport à 1, c’est par définition déterminer le vecteur
G JJJJJJG
G
r = M 1 M 2 = r u1→2 .
La vitesse relative de 2 par rapport à 1 est :
JJJJJG JJJJJG
JJJJJJG
G
 d GM − GM 
 dM1M 2 
2
2
G
G G
G
G
G
G
G
G
 dr 


=
= 
v2/1 = v2 − v1 = ( v2 * + vG ) − ( v1 * + vG ) = v2 * −v1 * =
 dt 


dt
 dt ℜ*


ℜ*

ℜ*
G
G JJJJJJG
G
G  dr 
On notera par la suite : r = M 1 M 2 = r u1→2 et v =   la vitesse relative de 2 par rapport à 1
 dt ℜ*
(
)
Ne pas confondre vitesse absolue, vitesse relative et vitesse relative de 2 par rapport à 1.
JJJJJG
G JJJJJJG
G JJJJJJG
On cherchera par la suite à déterminer r = M 1 M 2 . Connaissant r = M 1 M 2 , on pourra remonter facilement GM 1 et
JJJJJG
GM 2 et donc connaître le mouvement de M1 et M2 dans ℜ * et donc dans ℜ .
I.3 Masse réduite
JJJJJG
JJJJJG G
Par définition du barycentre, on a : m1 GM 1 + m2 GM 2 = 0
JJJJJG
JJJJJJG G
JJJJJG
JJJJJG
JJJJJJG G
m1 GM 1 + m2 GM 1 + m2 M 1 M 2 = 0 , soit ( m1 + m2 ) GM 1 + m2 M 1 M 2 = 0 , d’où
JJJJJG −m1 JJJJJG
JJJJJG
m2 JJJJJJG
m1 JJJJJJG
GM 1 = −
M 1 M 2 et GM 2 =
GM 1 =
M1M 2
m1 + m2
m2
m1 + m2
On définit la masse réduite µ telle que : µ =
m1 m2
1
1
1
ou
=
+
µ m1 m2
m1 + m2
JJJJJG
JJJJJG 1 G
1 G
On a donc GM 1 = − µ r et GM 2 =
µ r . Ces deux relations se retrouvent très facilement avec la relation de
m1
m2
Chasles.
I.4 Quantités de mouvement barycentrique
G
G
G
On a vu dans le chapitre « Mécanique d’un système de points matériels » que P* = 0 = p1 * + p2 *
Q Réduction canonique du problème à deux corps (33-208)
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JJJJJG
G
 dGM 2 
m  dr 
G
G
G
G
G
G
= 2 µ   = µ v . On en déduit que p1 * = − p2 * = − µ v
p2 * = m2 v2 * = m2 

 dt 

ℜ* m2  dt ℜ*
G
G
p2 * = µ v
I.5 Moment cinétique barycentrique
Le moment cinétique barycentrique ne dépend pas du point où le calcule. On le calcule très souvent en G :
JJJJJG G
JJJJJG G
JJJJJG JJJJJG G
JJJJJJG
G
G
σ G * = GM 1 ^ p1 * +GM 2 ^ p2 * = −GM 1 + GM 2 ^ p2 * = M 1 M 2 ^ µ v
G
G
G
σ G * = r ^ µv
(
)
I.6 Énergie cinétique barycentrique
2
2
( p1 *) ( p2 *) 1  1 1  2 2 1 1 2 2
1
1
2
2
+
=  +
Ec * = m1 ( v1 *) + m2 ( v2 *) =
µv
(µ v ) =
2
2
2m1
2m2
2  m1 m2 
2µ
Ec * =
1 2
µv
2
II. RÉDUCTION CANONIQUE DU PROBLÈME À DEUX CORPS
II.1 Problème à deux corps – Le référentiel barycentrique est galiléen
On appelle problème à deux corps l’étude d’un système isolé de deux points matériels.
Il n’y a pas de forces extérieures au système.
G G G
On applique le théorème du centre d’inertie au système isolé {M 1 , M 2 } dans le référentiel ℜ = O, i , j , k galiléen.
G
G
G
G
 dP 
 dvG 
= Rext = 0

 = M 

 dt  ℜ
 dt ℜ
G a donc un mouvement rectiligne uniforme.
ℜ * est donc en translation rectiligne uniforme par rapport à ℜ .
Le référentiel ℜ * est donc galiléen pour le problème à deux corps
(
)
II.2 Équation du mouvement relatif
• On applique le PFD à la masse m2 dans le référentiel ℜ * galiléen :
G
G
G
G
G
G
G
G
G
 dv 
 dv2 * 
 dp2 * 
 dv 
µ
= f int sur 2 + f ext sur 2 = f1→2 , soit 
= µ   = f1→2 , d’où   = f1→2 (1)
m2 


 dt ℜ*
 dt ℜ*
 dt ℜ*
 dt ℜ*
• On applique le PFD à la masse m1 dans le référentiel ℜ * galiléen :
G
G
G
G
G
G
G
G
 dv1 * 
 dp1 * 
 dv 
= f int sur 1 + f ext sur 1 = f 2→1 , soit 
= − µ   = f 2→1 = − f1→2 d’après le principe des actions
m1 


 dt ℜ*
 dt ℜ*
 dt ℜ*
G
G
 dv 
réciproques, d’où µ   = f1→2 (2).
 dt ℜ*
On obtient les mêmes équations (1) et (2).
G
Cela permet de déterminer r , c'est-à-dire le mouvement relatif de 2 par rapport à 1.
Nous allons introduire le mobile réduit qui permet d’avoir une représentation concrète du mouvement relatif de 2 par
rapport à 1.
II.3 Mobile réduit (ou mobile équivalent)
On appelle mobile réduit (ou mobile équivalent ou mobile fictif) un point matériel qui serait situé au point M tel que
JJJJG JJJJJJG G
mm
GM = M 1 M 2 = r et dont la masse serait égale à la masse réduite : µ = 1 2 .
m1 + m2
JJJJG
G
 dGM 
G
 dr 
On a 
 =   = v = vitesse relative de 2 par rapport à 1
 dt ℜ*  dt ℜ*
= vitesse du mobile réduit dans ℜ *
G
G
 dv 
On a vu que µ   = f1→2
 dt ℜ*
Le mouvement du mobile réduit peut s’étudier dans ℜ * comme celui d’un point matériel de masse égale à la
G
masse réduite µ et auquel serait appliqué la force f1→2 que le point M1 exerce sur le point M2.
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z
M2
M1
M
G
y
x
La méthode du mobile réduit ramène l’étude du problème à deux corps à celle du problème à un corps. On dit que l’on
a procédé à la réduction canonique du problème à deux corps.
G
Un intérêt supplémentaire est que Ec * et σ G * calculés précédemment s’identifient à ceux de son mobile réduit :
G
G
G
1 2
µ v = énergie cinétique du mobile réduit dans ℜ * et σ G * = r ^ µ v = moment cinétique en G du mobile réduit
2
dans ℜ * .
JJJJJG
JJJJJG
G
On a donc une équation différentielle permettant de connaître r . On peut donc en déduire GM 1 et GM 2 et si
JJJJJG
JJJJJG
nécessaire OM 1 et OM 2
Ec * =
II.4 Conservation du moment cinétique et conséquences
On a vu que le référentiel ℜ * est galiléen.
Le théorème du moment cinétique appliqué au système {M 1 + M 2 }
JJG
G
On a donc conservation du moment cinétique : σ G * = cte
JJJJG G G
G
G
G
G
G
Or σ G * = r ^ µ v , donc σ G * ⊥ r . On a vu que GM = r ⊥ σ G *
G
G
G
 dσ G * 
s’écrit : 
= Rext = 0

 dt ℜ*
G
Le mouvement du mobile réduit est donc le plan passant par G et orthogonal à σ G *
G
G
Remarque : Si σ G * = 0 , alors on un mouvement rectiligne.
G
G
On choisit l’axe Oz tel que σ G * = σ * u z
On utilise les coordonnées cylindriques pour repérer la position de M.
G
G
G
G
G
r + rθuθ = µ r 2θu z
σ G * = rur ^ µ ru
G
G
G
G
On pose σ G * = σ * u z = µ r 2θu z = µ Cu z
(
y
G
ur
M
)
La constante des aires vaut C = r 2θ
Le mobile réduit suit donc la loi des aires.
G
uθ
r
θ
x
G
z
µ
µ


JJJJJG
JJJJJG 1 G
r
r
1 G
GM 1 = r1 =
GM 2 = r2 =
m1
m2
µ r . On a donc : 
et 
On a vu que GM 1 = − µ r et GM 2 =
m1
m2
θ = θ + π
θ = θ
 1
 2
2
y
2
m 
m 
On a C = r 2θ , donc C =  1 r1  θ1 et C =  2 r2  θ2
µ


 µ 
2

 µ 
2 r1 θ1 = C   = C1

 m1 
On a donc : 
2
 µ 
 2
 = C2
r2 θ 2 = C 
 m2 

Les mouvements de M1 et M2 s’effectuent selon la loi des aires avec C1 ≠ C2 .
M
M2
G
θ
θ2
x
θ1
M1
II.5 Cas particulier des forces d’interaction newtonienne
a) Équation différentielle du mouvement du mobile réduit
G G k G
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit pour le mobile réduit dans ℜ * : µ a = f = 2 ur
r
G
2
2
On utilise la formule de Binet pour l’accélération et on projette suivant ur : − µ C u ( u + u ") = k u 2
On en déduit l’équation différentielle du mouvement : u + u " =
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−k
.
µC 2
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Dans le chapitre « Interaction newtonienne entre deux particules », on a résolu cette équation différentielle. En
utilisant la même méthode, on trouve :
p
µC 2
avec p =
.
• Pour une force attractive, on obtient r =
k
1 + e cos θ
Pour une force répulsive, on obtient : r =
•
µC 2
p
avec p =
.
k
e cos θ − 1
b) Conservation de l’énergie mécanique
b1) Démonstration avec le système constitué des deux particules
On applique le théorème de l’énergie cinétique au système {M 1 + M 2 } dans le référentiel ℜ * galiléen.
dEc * = δ Wint + δ Wext = δ Wint car le système est isolé.
G
k G
On considère deux points matériels en interaction newtonienne : f1→2 = 2 u1→2 . On a vu dans le chapitre
r
k
précédent que δ Wint = −dE p avec E p = .
r
On a donc dEc * = δ Wint = −dE p , d’où Ec * + E p = cte
b2) Démonstration simplifiée mais suffisante avec le mobile réduit
Le mobile réduit est soumis à une force qui dérive d’une énergie potentielle : E p =
k
.
r
1 2
µv
2
On a donc conservation de l’énergie mécanique du mobile réduit dans ℜ * : Em * = Ec * + E p = cte .
On a donc conservation de l’énergie mécanique avec Ec * =
On peut donc reprendre tout le cours que l’on a vu sur les forces d’interaction newtonienne à condition de
G
k G
raisonner dans le référentiel ℜ * sur le mobile réduit de masse µ et soumis à une force f1→2 = 2 u1→2 avec
r
k
Ep = .
r
c) Énergie potentielle effective pour des forces d’interaction newtonienne
1
k
L’énergie mécanique dans ℜ * vaut : Em * = Ec * + E p = µ v 2 + .
2
r
JJJJG
G
G
G
G
C
r + rθuθ . Soit v 2 = r 2 + r 2θ 2 . On remplace θ par 2 .
En coordonnées polaires, on a OM = rur et v = ru
r
2
1
k 1
k
  µC
Soit : Em * = Ec * + E p = µ r 2 + r 2θ 2 + =  µ r 2  +  2 + 
2
r 2
2
r
r
 
(
)
On définit l’énergie potentielle effective : E p eff =
µC 2
2r 2
+
k
. Comme r 2 > 0 , on doit avoir E p eff < Em *
r
c1) Force attractive (k < 0)
Ep eff
Ep eff
Em> 0
valeurs de r
inaccessibles
valeurs de r
inaccessibles
rmin
r
Ep eff
rmin
r
Em= 0
r1
r2
r
Em< 0
mouvement
borné
hyperbole
parabole
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ellipse
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•
•
•
Si Em* > 0, e > 1. On a une branche d’hyperbole.
Si Em* = 0, e = 1. La trajectoire est une parabole.
Si Em* > 0, e < 1. La trajectoire est une ellipse (e = 0 correspond au cercle).
c2) Force répulsive (k > 0)
Em* > 0, e > 1. On a une branche d’hyperbole.
Ep eff
Em> 0
valeurs de r
inaccessibles
r
rmin
d) Expressions simplifiées de l’énergie mécanique
On peut redémontrer (voir chapitre « Interaction newtonienne entre deux particules ») les résultats suivants :
k 2
Em * =
( e − 1)
2p
•
Pour une parabole, l’énergie mécanique est nulle : Em = 0.
•
Pour une ellipse, l’énergie mécanique est toujours négative, on retient la formule : Em * = −
•
•
k
.
2a
Pour une hyperbole, l’énergie mécanique est toujours positive (force répulsive ou force attractive), on
k
retient par cœur la formule : Em * = −
.
2a
k
ON PEUT RETENIR QUE POUR UNE ELLIPSE OU UNE HYPERBOLE, ON A : Em * = ±
. IL
2a
SUFFIT DE RÉFLÉCHIR AU SIGNE DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE POUR SAVOIR QUEL SIGNE
IL FAUT METTRE.
e) Troisième loi de Kepler
dA 1 2 C
C
= r θ = , d’où dA = dt .
dt 2
2
2
C
C2 2
Sur une période, on a : A = π ab = T . En élevant au carré, on obtient π 2 a 2 b 2 =
T (1).
2
4
k
b2 µC 2
C2
.
Or p =
=
On a donc 2 =
a
k
µa
b
Le mobile réduit suit la loi des aires :
•
•
•
Il reste à remplacer dans l’équation (1) : π 2 a 2 =
T 2 4π 2 µ
1 k 2
.
T , d’où 3 =
a
k
4 µa
Remarque : Très souvent, on demande une démonstration simplifiée avec un mouvement circulaire uniforme.
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