PROGRAMME LINEAIRE
FORMES CANONIQUE ET STANDARD
I) Exemples
a) Problème de production
Une usine fabrique 2 produits A et B à l’aide de 3 matières premières.
A
B
2
1
Qté
Disponible
8
II
1
2
7
M.P III
0
1
3
Profit unitaire
4
5
M.P I
M.P
Le problème consiste à déterminer les quantités à produire en A et B de sorte que le profit total soit maximum.
Formulation mathématique :
Maximiser la quantité (réel) Z = 4X1 + 5X2 sous les contraintes :
2X1 + X2 ≤ 8
(I)
X1 + 2X2 ≤ 7
(II)
X2 ≤ 3
Résolution :
Xi ≥ 0
(III)
Graphique
X2
(I)
3 B
C
2
(III)
La solution est au point D
D
D
(II)
1
A
E
1
X1 = 3, X2 = 2
2
et Z = 22
3
4
X1
b) Problème de transport :
Une entreprise possède 3 usines a, b et c sur le territoire tunisien. Elle reçoit de la marchandise en deux ports I et II.
Q(a) = 400 Tonnes ; Q(b) = 300 Tonnes ; Q(c) = 200 Tonnes
Q(I) = 550 Tonnes ; Q(II) = 350 Tonnes
Tableau des coûts de transport unitaire :
Usine a
Usine b
Usine c
5
6
3
3
5
4
Port I
Port II
Le problème consiste à trouver un plan de transport minimisant le coût total de transport.
Formulation mathématique :
On pose Xia (i = 1, 2) (resp. Xib, Xic), la quantité de marchandise transportée du port « i » à l’usine « a » (resp. b, c).
Minimiser la quantité (réel) Z = 5X1a + 6X1b + 3X1c + 3X2a + 5X2b + 4X2C
≤
X1a + X1b + X1c
X2a + X2b + X2c
X2a
X1a
+ X2b
X1b
X1c
Résolution :
II)
550
≤ 350
≥
400
≥
300
Xi ≥ 0
+ X2c ≥ 200
????
Notations
a) Soit I un ensemble, | I | représente le cardinal de I.
b) Soit A une matrice ayant m lignes et n colonnes. On note | A | = m*n et Aij représente l’élément de
l’ième ligne et la jème colonne.
c) Si | A | = m*n et
| B | = n*q
alors | C | = |A*B| = m*q et Cij = Σ Aik * Bkj
d) Soit X un vecteur de Rn et J ⊂ {1 ;….. ;n} ; XJ désigne le |J|-vecteur dont les éléments sont Xj ; j ∈ J
e) Soit C un vecteur ligne et X ∈ Rn ; CX = Σ Cj * Xj
f)
| A | = m*n ; J ⊂ {1 ;… ;n}, I ⊂ {1 ;… ;m}
| AJ | = m*| J |
| AI | = | I | *n
| AI J| = | I | *| J |
AJXJ = Σ Aj * Xj
YIAI = Σ Yi * Ai
et CJXJ = Σ Cj * Xj
g) La transposée de A est notée
t
A.
h) X ∈ Rn ; on note X ≥ 0 Xj ≥ 0 j= 1 ; 2 ; … ;n
i)
Um est la matrice unité ayant m lignes.
Dans la suite, on notera par A une matrice ayant m lignes et n colonnes, b un vecteur colonne de Rn et C un vecteur ligne
ayant m composantes.
III) Programme linéaire ; Forme canonique et standard
Définition 1:
Soit D ⊂ Rn. Tout point de D est appelé solution réalisable.
Soit la fonction f : D
R et le problème : Trouver x0 ∈ D qui rend maximum f(x) (ou minimum)
Toute solution du problème est appelée solution optimale.
Exemples : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = -2x + 1. Déterminer x0 qui rend maximum f(x) dans les cas suivants :
1-
D = [ -1 ; 4]
2-
D = [-1 ;4] ∩
3-
D=
4-
D = ]-1 ; 4]
[5 ; 7]
] -∞ ; 4] ≠ Ø
alors :
x0 = -1
et f(x0) = 3
alors :
D=Ø
alors :
D est non vide mais f est non bornée
alors : D est non vide et f est bornée mais la solution optimale n’existe pas.
≠Ø ,
Remarque 1 :
Min[f(x)] =
x∈D
Max[ f(x)].
x∈D
On notera par :
Z (Max)
Définition 2:
Un programme linéaire est un programme dans lequel :
•
Le domaine D est défini par un ensemble d’équations et d’inéquations linéaires de type (≤ ; ≥ ) (les
inégalités strictes sont interdites) appelées contraintes.
•
D’une fonction f dite fonction objective ou économique qui est linéaire.
Formes canoniques :
Soit
D = { X∈ Rn /
(PC1)
Trouver X ∈
D
AX ≤ b ; X ≥ 0 }
Soit
D = { X∈ Rn /
(PC2)
Trouver X ∈
/ CX = Z(Max)
On note : CM (A,b,C)
D
/ CX = Z(Min)
On note : Cm (A,b,C)
Ou :
(PC1)
AX ≤ b
CX = Z(Max)
X≥0
(PC2)
AX ≥ b
CX = Z(min)
AX ≥ b ; X ≥ 0 }
X≥0
Définition 3:
Deux P.L (P) et (P’) sont dits équivalents, et on note (P) ~ (P’), si à toute solution réalisable de l’un on peut faire
correspondre une solution réalisable de l’autre de telle façon que les valeurs des deux fonctions objectives soit égales pour
cette paire de solutions.
Formes standard :
Soit
D = { X∈ Rn /
(PS1)
D
Trouver X ∈
AX = b ; X ≥ 0 }
Soit
D = { X ∈ Rn /
(PS2)
Trouver X ∈
/ CX = Z(Max)
On note : SM (A, b, C)
D
AX = b ; X ≥ 0 }
/ CX = Z(Min)
On note : Sm (A, b, C)
Ou:
(PS1)
AX = b
CX = Z(Max)
X≥0
AX = b
CX = Z(min)
(PS2)
X≥0
Remarque 2 :
a) Cm(-A, - b, - C) ~ - CM(A, b, C)
b) SM(A, b, C) ~ -Sm(A, b, - C) ~ Sm (-A, - b, - C)
c) Sm(A, b, C) ~ -SM(A, b, - C) ~ SM (-A, b, - C)
d) SM(A, b, C) ~ CM(A’, b’, C)
e) CM(A, b, C) ~ SM(A”, b, C”)
A” = (A, Um); C” = (C, 0)
Exercice 1:
Ecrire le programme linéaire relatif au problème du transport (exemple 2 du paragraphe 1) sous forme
canonique à minimiser puis à maximiser. On explicitera les paramètres A, b et C.
Notion de variable d’écart.
la ième contrainte de (P) s’écrit :
•
•
AiX ≤ bi :
AiX ≥ bi :
il existe
il existe
yi ≥ 0
yi ≥ 0
/
/
AiX + yi = bi
AiX - yi = bi
Exemple :
1)
Exemple 1 du paragraphe 1 :
Maximiser la quantité (réel) Z = 4X1 + 5X2 sous les contraintes :
2X1 + X2 + y1
X1 + 2X2
X2
+ y2
= 8
(I)
= 7
(II)
+ y3 = 3
(III)
2) Exemple 2 du paragraphe 1 ?
Xi ≥ 0
et
yi ≥ 0
Remarque 3 :
Xi ≤ 0.
•
Cas où
•
Cas où Xi ∈ R.
Changement de variable :
Xi = X′i - X″i
avec
X i : = - Xi ≥ 0
X′i = Max(0, Xi) ≥ 0
et
X″i = - Min(0, Xi) ≥ 0
Théorème :
Tout programme linéaire peut s’écrire sous forme canonique ou standard.
Exercice 2:
a) Ecrire le programme linéaire suivant sous forme canonique et standard:
(P1)
2X1
X1
4X1
5X1
– 3X2
+ 2X2
+ X2
- 8X2
+ 7X3 ≤ 5
- 4X3 ≥ 18
+ 6X3 = 12
+ 10X3 = Z(Max)
X1 ≥ 0
X2 ≤ 0
X3 < > 0
b) D’une façon générale, soient I , J et K ⊂ {1,…,n} , L, M et N ⊂ {1,…,m}. Considérons le programme linéaire
suivant :
(P)
ALX ≤ bL
AMX ≥ bM
ANX = bN
CX = Z(Max)
XI ≥ 0, XJ ≤ 0 et XK < > 0
Ecrire (P) sous forme canonique et standard.
