Optique de Fourier, suite: Application à la di raction par des

Chapter 6
Optique de Fourier, suite:
Application à la diraction par
des structures périodiques;
Réseaux
6.1 Introduction: Structures périodiques et optique
Dans le chapitre 5 nous avons évoqué le fait que la diraction par un ensemble
d'objets identiques disposés de façon ordonnée conduisait à la formation
d'une onde dont la structure était liée à celle de l'arrangement des objets.
Un exemple, déjà mentionné, est celui de la diraction des rayons X par les
cristaux qui sera traité dans le cours de cristallographie. Dans ce cas noter
que l'arrangement est tridimensionnel.
Un autre exemple plus simple et d'intérêt pratique en optique est celui
d'un grand nombre de sillons parallèles disposés sur un plan, donnant lieu à
ce qu'on appelle un "réseau de diraction". Nous allons voir que ce type de
structure éclairée par une onde plane en génère plusieurs autres par diraction, suivant des directions qui entre autres choses dépendent de la longueur
d'onde incidente. Lorsque l'éclairement est réalisé au moyen d'une source
polychromatique il en résulte une dispersion des rayonnements diracté, un
peu comme avec un prisme, ce qui permet de les séparer et d'en analyser le
spectre 1 . La plupart des spectromètres optiques sont basés sur ce principe
(cf Fig.6.1), les réseaux de diraction pouvant être beaucoup plus ecaces
que les prismes en matière de pouvoir dispersif, étant plus compacts et plus
commodes d'emploi, plus faciles à fabriquer avec une grande souplesse dans
le choix des caractéristiques.
1
C'est ce même phénomène qui est à l'origine de l'aspect irrisé des CD et DVD éclairés
en lumière blanche, où l'enregistrement est gravé suivant des pistes circulaires parallèles
qui diractent la lumière, cf introduction du Ch. 2.
83
Figure 6.1: Schéma d'un spectromètre à réseau de conguration "CzernyTurner". Le rayonnement polychromatique est focalisé au point B. Le miroir
sphérique C transforme le faisceau divergent en un faisceau parallèle assimilable à une onde plane, qui est diracté par le réseau D suivant diérentes
directions fonctions de la longueur d'onde. Le miroir sphérique E refocalise
les rayonnements des diérentes longueurs d'onde dans le plan F où s'observe
donc le "spectre" du rayonnement incident.
La Fig.6.2 donne quelques éléments sur une méthode de fabrication de
tels objets.
Donnons quelques ordres de grandeur. Typiquement les "réseaux de
diraction" optique comprennent quelques centaines de "traits" par mm,
disposés sur une étendue de quelques cm. On a donc aaire à des motifs
de quelques microns de large sur une longueur de quelques cm, se répétant
plusieurs milliers de fois.
Cet exposé constitue aussi une illustration des concepts introduits dans
le chapitre 5 en matière de description de la diraction par des objets compliqués.
La plupart des réseaux de diraction utilisés en optique sont des "réseaux
de phase", où la fonction de transmission associée à un trait est du type
T (x, y) = exp iϕ(x, y), agissant donc seulement sur la phase et non l'amplitude
de l'onde incidente. Nous dirons quelques mots à ce propos dans le dernier
paragraphe Ÿ6.5 de ce chapitre, et traiterons un exemple en TD. C'est aussi le
cas des "réseaux en réexion", dont la fabrication est évoquée sur la Fig.6.2
et comprend un revêtement d'un dépôt métallique. Le disque CD peut aussi
être rattaché à cette catégorie.
En fait dans cet exposé on considérera essentiellement le cas de réseaux
d'amplitude en transmission, où la fonction de transmission T (x, y) associée
84
Figure 6.2: Illustration du principe de fabrication d'un réseau optique "holographique". Un substrat est recouvert d'un lm de résine photosensible.
Un réseau est formé dans la résine par exposition au champ de franges
d'interférences résultant de l'interférence de deux faisceaux lasers cohérents,
puis développement qui permet d'amincir ou d'éliminer les régions de la résine qui ont été éclairées. Cette structure est ensuite bombardée par un
faisceau d'ions accélérés et chimiquement réactifs, ce qui abrase le substrat
non protégé par la résine restante et permet de sculpter un réseau ayant la
structure en échelon souhaitée dans le substrat dur. Ce substrat sculpté sert
ensuite de moule pour obtenir des répliques. (D'après document Shimadzu).
85
Figure 6.3: Géométrie correspondant à la diraction par un réseau de fentes
nes éclairé en incidence normale.
à un "trait" vaut 0 ou 1 en fonction de x et y , agissant essentiellement sur
l'amplitude de l'onde incidente. Ceci nous permettra de nous raccrocher à
certains résultats obtenus dans les chapitres précédents.
6.2 Réseau d'amplitude en transmission: Diraction par un réseau inni de fentes nes
On considère un plan Σ percé d'ouvertures rectilignes très nes parallèles et
équidistantes de d (Fig.6.3). Dans ce cas la fonction de transmission du plan
s'écrit:
∑
T =
δ(y − pd) × 1x = ΠΠd (y) × 1x
(6.1)
p
où on a choisi Ox parallèle aux fentes (1x désigne la fonction unité par
rapport à x). C'est un "peigne de Dirac" (cf Chapitre 5).
6.2.1 Diraction d'une onde plane en incidence normale
Supposons dans un premier temps que le réseau est éclairé par une onde
plane en incidence normale.
On s'intéresse comme d'habitude à l'onde diractée à l'inni. Alors
l'amplitude de l'onde diractée suivant la direction ⃗k est donnée par:
∫
ψ(⃗k) = ψ0
T (x, y) exp[−i(kx x + ky y)]dxdy = ψ0 Tb(kx , ky )
86
(6.2)
L'intégrale double se factorise en deux facteurs:
dd (ky )
ψ(⃗k) = ψ0 .b
1(kx ).ΠΠ
(6.3)
En utilisant les résultats du chapitre 5, à savoir la TF de 1 égale 2πδ et la
TF d'un peigne de Dirac est un autre peigne de Dirac on obtient:
2π
ψ(⃗k) = ψ0 .2π.δ(kx ). ΠΠ 2π (ky )
d
d
(6.4)
Cette formule montre deux choses:
1. kx est forcément nul: Il n'y a pas d'onde diractée suivant les directions non perpendiculaires à la direction des fentes
2. L'onde est diractée suivant une série de directions discrètes données
par (cf Fig.6.4A):
2π
(6.5)
ky = q
d
où q = 0, ±1, ±2... est un entier, appellé "ordre de diraction". En faisant
apparaître l'angle θ que fait ⃗k avec la normale au plan des fentes, tel que:
ky = k sin θ =
l'Eq.6.5 se réécrit:
sin θ = q
2π
sin θ
λ
(6.6)
λ
d
(6.7)
Il est intéressant de remarquer que cette condition exprime que les ondes
diractées sont telles que les contributions émises depuis chacune des fentes
sont en phase.
6.2.2 Diraction d'une onde plane en incidence oblique
Supposons maintenant qu'on éclaire le réseau par une onde plane en incidence
oblique, mais perpendiculaire à la direction des fentes (cf Fig.6.5). Cette
onde incidente est caractérisée par une vecteur d'onde k⃗i tel que kix = 0,
kiy = k sin θi (attention, θi est une quantité algébrique, pouvant être positive
ou négative!). Alors l'onde dans le plan des fentes après traversée des fentes
s'écrit:
ψΣ (x, y) = ψ0 exp(+ikiy y)T (x, y) = ψ0 exp(+ik sin θi y)T (x, y)
(6.8)
(Noter le signe + dans l'exponentielle correspondant au exp(ik⃗i .⃗r) d'une onde
plane caractérisée par le vecteur d'onde k⃗i .)
87
Figure 6.4: Amplitude en fonction de la direction de l'onde diractée par
un réseau d'extension innie de fentes espacées de d éclairé par une onde
plane en incidence normale. A: fentes de largeur inniment nes; B: fentes
de largeur a.
Appelons ψθi =0 (⃗k) l'amplitude de l'onde diractée calculée dans le paragraphe précédent pour une incidence normale. En insérant ψΣ (Eq.6.8) à la
place de ψ0 T dans l'Eq.6.2 on voit facilement que
ψθi (⃗k) = ψθi =0 (⃗k − k⃗i )
(6.9)
ce qui indique que l'onde est diractée cette fois-ci suivant des directions
caractérisées par:
2π
(6.10)
ky − k sin θi = q
d
ou
sin θ − sin θi = q
λ
d
(6.11)
La première de ces relations peut se réécrire sous la forme:
∆ky = q
2π
d
(6.12)
ou encore
2π
(6.13)
∆⃗k = q u⃗y
d
ce qui fait apparaître le vecteur (2π/d)u⃗y caractérisant la structure péri-
odique de l'objet diractant, ici le réseau de fentes.
Il est intéressant de remarquer que puisque |∆ky | < 2k (facteur 2 correspondant à un retournement de ky par rapport à kiy ) il ne peut y avoir
d'onde diractée dans une direction diérente de la direction incidente que
88
Figure 6.5: Géométrie correspondant à la diraction par un réseau de fentes
nes éclairé en incidence oblique.
si 2π/d < 2k = 4π/λ, soit d > λ/2: Si le pas du réseau est plus petit que λ/2
alors pour q ̸= 0 on a q2π/d > 2k, de telle sorte que seule la valeur q = 0,
conduisant à ∆ky = 0, est possible. Ceci est une illustration du phénomène
assez général qui est que la propagation d'une onde est assez peu aectée
par des obstacles de taille plus petite que sa longueur d'onde.
Dans la suite on se place en incidence normale, l'incidence oblique ne
faisant que décaler les sinus des angles de diraction, suivant les relations
établies dans ce paragraphe.
6.3 Diraction par réseau inni de fentes de largeur
nie
Considérons maintenant une structure diractante composée d'une innité
de fentes de hauteur innie, mais de largeur nie, a (cf Fig.6.6). Suivant
les concepts établis dans le chapitre 5, cette structure est décrite par une
fonction de transmission:
T (x, y) = aΠa (y) ∗ ΠΠd (y) × 1x
(6.14)
où l'on fait apparaître le produit de convolution du motif, ici une "fonction
porte" de largeur a, et du peigne de Dirac décrivant la position des fentes 2 .
Comme toujours l'amplitude diractée suivant la direction ⃗k s'exprime:
ψ(⃗k) = ψ0 Tb(kx , ky )
2
(6.15)
La fonction Π dénie au chapitre 5 a pour amplitude 1/a de façon à ce que son
intégrale fasse 1. Pour avoir une transmission égale à 1 il faut donc rajouter un facteur a
89
Figure 6.6: Géométrie correspondant à la diraction par un réseau de fentes
de largeur nie.
soit
ca .ΠΠ
dd (ky ).2πδ(kx )
ψ(⃗k) = ψ0 aΠ
(6.16)
La TF de la fonction porte est un sinus cardinal:
ca = sin(ky a/2)
Π
ky a/2
et on retrouve la TF du même peigne de Dirac que dans les cas précédents.
On retrouve comme on l'avait évoqué au chapitre 5 le produit d'un "facteur
de structure" caractéristique de la structure des fentes, et d'un "facteur
de forme" caractéristique de la forme de l'arrangement, ici périodique, des
fentes.
La gure de diraction donnée par le carré du module de l'amplitude
diractée (cf Fig.6.4B) est encore composée de spots correspondant à une
série de directions de diraction d'angles xés par l'espacement d entre les
fentes (et aussi par λ), mais dont les intensités sont données par la structure
(ici la largeur a des fentes) des objets élémentaires constituant les motifs de
l'arrangement périodique: La largeur nie, non nulle, des fentes conne les
directions de diraction dans un intervalle de ky de largeur 2 × 2π/a.
6.4 Diraction par réseau limité de fentes de largeur
nie
Si maintenant le réseau ne comprend qu'un nombre N limité de fentes, sa
fonction de transmission est le produit de l'expression 6.14 par une fonction
porte de largeur N d:
T (x, y) = aΠa (y) ∗ ΠΠd (y).N dΠN d (y) × 1x
90
(6.17)
Figure 6.7: Amplitude en fonction de la direction de l'onde diractée par un
réseau de N d fentes de largeur a espacées de d éclairé par une onde plane en
incidence normale.
Sachant que la TF d'un produit de fonctions est égale à 1(2π) fois le
produit de convolution des TF, on voit que l'amplitude diractée s'exprime
sous la forme du produit de convolution de l'expression 6.16 par la TF de la
fonction porte de largeur N d:
1 c d
d
ψ(⃗k) = ψ0 . [aΠ
a .ΠΠd (ky )] ∗ [N dΠN d (ky )].2πδ(kx )
2π
(6.18)
Ce produit de convolution est très simple à calculer puisque le facteur de
gauche est une somme de Dirac (En fait un peigne de Dirac dont la "hauca , Fig.6.4). Il se compose donc d'une
teur des dents" est multipliée par Π
série de motifs de strture décrite par le facteur de droite, qui se répètent aux
positions données par les Dirac. L'amplitude diractée est donc constituée
d'une série de pics ayant la forme de la TF de la fonction porte de largeur
N d, se produisant pour les valeurs de ky correspondant aux directions caractéristiques de la périodicité d de la structure, et d'intensités donnée par la
structure des motifs diractants (cf Fig.6.7).
6.5 Diraction par un réseau de phase
Le plus souvent on a aaire à des "réseaux de phase" décrits par une fonction
de transmission s'exprimant sous la forme d'une exponentielle complexe:
T (x, y) = exp iϕ(x, y)
(6.19)
Ces structures n'absorbent pas la lumière, mais la déphasent d'une quantité
qui dépend de la position.
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De telles structures peuvent être par exemple constituées d'une lame de
verre comportant des sillons gravés, de telle sorte que l'épaisseur de la lame,
et donc le déphasage qu'elle applique à l'onde qui la traverse, varie de manière
périodique avec la position.
Un autre exemple est celui d'un réseau fonctionnant en réexion, et constitué d'une surface prolée suivant une structure périodique, et métallisée
pour la rendre rééchissante (cf Fig.6.2). Dans ce cas l'onde rééchie est affectée d'un déphasage qui dépend de l'endroit où la réexion s'est produite,
et qu'on peut relier à la structure du motif périodique.
Par rapport aux réseaux d'amplitude considérés précédemment ces réseaux
de phase ont un facteur de structure diérent, donc une répartition des pics
de diraction diérente. On peut d'ailleurs calculer la structure du motif de
phase de telle sorte que l'onde diractée soit concentrée sur un seul ordre de
diraction (cf TD).
Exemple d'un réseau de phase sinusoïdal
Considérons le cas d'un réseau de phase caractérisé par la fonction de transmission Eq.6.19, où:
2π
ϕ(x, y) = ϵ cos( y)
(6.20)
d
où ϵ est petit devant 1. Supposons ce réseau éclairé par une onde plane en
incidence normale. Alors l'onde diractée dans la direction ⃗k s'écrit:
∫
ψ(⃗k) = ψ0
exp(iϕ(x, y)) exp(−i(kx x + ky y))dxdy
(6.21)
soit, comme exp(iϕ) ∼ 1 + iϕ = 1 + iϵ cos(2πy/d):
ψ(⃗k) ∼ ψ0 [1bx ][1by + iϵ
∫
exp(2iπy/d) + exp(−2iπy/d)
exp(−iky y))dy]
2
(6.22)
ou:
δ(ky −
ψ(⃗k) ∼ ψ0 .4π 2 δ(kx )[δ(ky ) + iϵ
2π
d )
+ δ(ky +
2
2π
d )
]
(6.23)
Cette équation montre clairement que la gure de diraction est composée
de 3 spots, l'un plus intense correspondant à une onde plane identique à
l'onde incidente, les deux autres d'amplitude plus petite ∝ ϵ correspondant
à des ondes planes inclinées d'un angle ± sin θ = ±(2π/d)/k = ±π/λ par
rapport à Oz dans le plan zOy .
Dans ce cas l'onde diractée ne comprend que les ordres q = 0 et q =
±1. Dans le cas où ϵ n'est pas très petit devant 1 le développement de
exp iϕ(x, y) doit prendre en compte un plus grand nombre de termes, et le
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nombre d'ordres de diraction s'accroît d'autant. Par exemple en poussant
le développement à l'ordre suivant:
2π
2π
1
2π
y)) ∼ 1 + iϵ cos( y) + (iϵ cos( y))2 + ...
d
d
2
d
(6.24)
2π
2π
1
4π
y)) ∼ 1 + iϵ cos( y) − ϵ2 (1 + cos( y)) + ...
d
d
4
d
(6.25)
exp(iϵ cos(
soit
exp(iϵ cos(
ce qui de manière similaire à l'Eq.6.23 conduit à deux ondes diractées supplémentaires dans les directions caractérisées par ky = ±4π/d, correspondant
aux ordres de diraction q = ±2.
Cas général
Dans le cas général on peut être amené à développer la fonction de transmission Eq.6.19 en série de Fourier, chaque terme de la série donnant lieu à
une série d'ondes diractées suivant les directions ky = ±q2π/d, exactement
comme avec les réseaux d'amplitude. D'ailleurs le développement en série de
Fourier ne se limite pas au cas d'une fonction de transmission de module 1,
il existe pour toute fonction complexe quelconque décrivant la transmission
d'un réseau agissant à la fois sur l'amplitude et la phase.
6.6 Conclusion
• Toute structure périodique diracte une onde plane suivant une série
de directions caractérisées par la période du réseau. On peut étendre ces considérations au cas de réseaux bidimensionnels, et prédire
l'existence d'ondes diractées suivant des directions caractérisées par
une modication des composantes du vecteur d'onde incident suivant:
∆ky = qy
2π
dy
∆kx = qx
2π
dx
et
où dy et dx sont les périodes associées aux directions Oy et Ox, et qy
et qx des entiers positifs ou négatifs.
• Toute structure périodique de pas inférieur à λ/2 ne peut modier la
direction de l'onde incidente.
• L'amplitude des ondes diractées suivant ces diérentes directions est
donnée par la structure du motif élémentaire composant le réseau. (On
peut d'ailleurs concevoir une structure de motif telle que la majeure
partie de l'énergie de l'onde diractée soit concentrée sur un seul ordre,("réseaux blazés" cf TD.)
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• Notons au passage qu'en pratique on n'observe que la gure de dirac-
tion associée au carré de l'amplitude de l'onde. Ainsi la structure de
ce motif ne peut en général être déduite de cette gure de diraction
(il faudrait pour cela l'amplitude).
• Lorsque le réseau comprend un nombre ni de répétitions du motif,
l'onde est diractée suivant une série de faisceaux de directions centrées autour des directions données par un réseau inni, la dispersion
angulaire de chaque faisceau autour de ces directions étant d'autant
plus petite que le nombre N de répétitions du motif est grand.
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