Devoir Libre n° 5 – Mercredi 14 octobre 2009

Lycée Masséna – Spéciale PSI
Année 2009-2010
Devoir Libre n° 5 – Mercredi 14 octobre 2009
CONCOURS ENSAM - ESTP – ENSAIS
Epreuve physique I : durée 4 heures
I. PARTIE I
PROPRIÉTÉS DE SYMÉTRIE DES CHAMPS ÉLECTRIQUE
ET MAGNÉTIQUE. APPLICATIONS
I.A
Le champ électrique.
I.A.1
Soit une distribution Dq de charges électriques qui crée en un point M un champ électrique E ( M) .
Soit P un plan quelconque et soit D'q la distribution de charges symétrique de Dq par rapport à P. Soit M' le point
→
→
symétrique du point M par rapport à P. Comment obtenir le champ électrique E '( M ' ) créé par la distribution D’q
?
I.A.2
I.A.2.a Ps est un plan de symétrie pour une distribution de charges si l'opération de symétrie par rapport à ce plan la laisse
invariante.
→
Soit M un point de Ps. Caractériser, par rapport au plan Ps le champ E ( M) créé par une telle distribution de
charges symétrique.
I.A.2.b PA est un plan d'antisymétrie pour une distribution de charges si l'opération de symétrie par rapport à ce plan
change la distribution de charges en son opposée.
→
Soit M un point de PA. Caractériser, par rapport au plan PA , le champ E ( M) créé par une telle distribution de
charges antisymétrique.
I.A.2.c Application:
Soit deux plans infinis parallèles chargés, l'un avec la densité surfacique de charge uniforme +σ et l'autre avec la
densité -σ. On considère un point M entre ces deux plans.
→
Donner la configuration du champ électrique E ( M) .
Montrer qu'il est nécessairement uniforme.
I.B
Le champ magnétique.
I.B.1
Soit une distribution DI de courants qui crée en un point M un champ magnétique B( M) .
Soit P un plan quelconque et soit D'I , la distribution de courants symétrique de DI par rapport à P.
→
→
Comment obtenir le champ magnétique B'( M ' ) créé par la distribution D’I , en un point M' symétrique de M par
rapport à P ?
I.B.2
I.B.2.a Ps est un plan de symétrie pour une distribution de courants si l'opération de symétrie par rapport à ce plan la
laisse invariante.
→
Soit M un point de Ps . Caractériser, par rapport au pian Ps le champ B( M) créé par une telle distribution de
courants symétrique.
I.B.2.b PA est un plan d'antisymétrie pour une distribution de courants si l'opération de symétrie par rapport à ce plan
change la distribution de courants en son opposée.
→
Soit M un point de PA . Caractériser, par rapport au plan PA , le champ B( M) créé par une telle distribution de
courants antisymétrique.
I.B.2.c Application :
Soit un solénoïde infini d'axe ∆ parcouru par un courant I constant.
→
Donner la configuration du champ magnétique B( M) créé par ce solénoïde en tout point de l'espace.
En considérant sa circulation sur un contour judicieusement choisi, montrer qu'il est constant à l'extérieur. En se
plaçant en dehors de toute source de champ, en déduire que cette constante est nulle. Montrer qu'il est aussi
constant à l'intérieur.
I.C
Le champ électromagnétique.
I.C.1
Soit une région de l'espace où règne un champ électrique E ( M) qui possède la symétrie du cylindre infini :
→
→
→
E ( M) est invariant par translation et rotation par rapport à un axe ∆ donné. On suppose en outre que E ( M) est
parallèle à l'axe ∆.
→
→
I.C.1.a On utilise les coordonnées cylindriques avec ∆ = z'z. Montrer que : E = E (ρ) k .
→
→
l.C.1.b On se place en régime variable de telle sorte que E = E ( M, t ) .
→
→
Soit B( M , t ) le champ magnétique généré par E ( M , t ) .
→
→
→
Montrer que B( M , t ) est orthoradial et ne dépend que de ρ : B( M , t ) = B(ρ, t ) u θ
I.C.2
→
Soit une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme B créé par des sources variables dans le
→
temps. On place dans ce champ B( t ) un conducteur cylindrique de longueur quasi-infinie d'axe ∆ = z'z, et de
conductivité γ.
→
I.C.2.a Déterminer la configuration des courants de densité volumique j induits qui apparaissent dans le conducteur en
supposant que le champ magnétique reste partout identique au champ extérieur.
Quel nom leur donne-t-on ?
→
I.C.2.b Donner l'expression dans les coordonnées cylindriques du champ électrique E induit en fonction de ρ et
dB
dt
En déduire que le courant induit dans le conducteur est plus important à sa périphérie. Justifier le signe obtenu.
___________________
II. PARTIE II
CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE
DANS UN CONDENSATEUR PLAN CYLINDRIQUE.
Un condensateur plan est constitué par des armatures métalliques circulaires de rayon R et de même axe ∆ = z' z,
séparées d'une hauteur h (Figure II-1). Ce condensateur est soumis à une tension alternative donnée, de fréquence
→
→
ω
f=
, qui produit à l'instant t dans l'espace vide entre les armatures un champ E 0 = e 0 cos ωt uniforme,
2π
sinusoïdal dans le temps et axial (c'est à dire parallèle à l'axe ∆), qu'on écrit en notation complexe :
→
→
→
→
E 0 = e 0 exp iωt où e 0 est l'amplitude du champ E 0 .
z
R
h
e0
y
O
x
z'
Figure II-1
→
→
→
Le champ électrique E 0 crée un champ magnétique B1 , lequel engendre un champ électrique E 2 , qui crée à
→
→
son tour un champ magnétique B 3 , qui engendre E 4 , etc.
Dans tout le problème, on négligera les effets de bord.
II.A
Calcul des champs B1 et E2 .
II.A.1
Les variations dans le temps du champ électrique E 0 créent un champ magnétique B1 . On veut calculer B1 .
→
→
→
→
II.A.1.a En un point M entre les plaques, donner l'équation de Maxwell à laquelle satisfait B1 ( M, t ) en fonction de ω, c
→
(la vitesse de la lumière dans le vide) et E 0 .
→
II.A.1.b On se place dans les coordonnées cylindriques. Montrer que B1 ( M, t ) est orthoradial (c'est à dire dirigé selon
→
u θ ).
Quel est son sens au temps t ?
II.A.1.c Soit le cercle C1 parallèle au plan xOy, centré sur ∆ et passant par M.
Calculer la circulation
→
→
→
∫ B1 . dl de B1
→
sur le contour C1 qu'on orientera comme B1 .
C1
→
En déduire l'expression de B1 ( M, t ) en fonction de c, X =
ωρ
et E0
2c
Quelle est la dimension de X ?
II.A.2
→
→
→
Les variations dans le temps du champ magnétique B1 , créent un champ électrique E 2 . On veut calculer E 2 .
→
→
→
II.A.2.a Quelle relation lie E 2 à B1 ? En déduire l'équation de Maxwell satisfaite par E 2 ( M , t ) en fonction de c, X, ω et
E0
→
II.A.2.b Sans faire de calculs, montrer que l'on peut supposer E 2 axial.
Il.A.2.c Soit le contour orienté rectangulaire C2 (Figure II-2) dans un plan méridien :
z
b
C2
a
ρ1
ρ2
z'
Figure II-2
Calculer la circulation
→
→
→
∫ E 2 . dl de E 2
sur C2.
C2
→
→
→
→
En déduire l'expression de E 2 ( M , t ) en fonction de X et E 0 en prenant E 2 (ρ = 0) = 0 . Justifier ce choix.
II.B
Comportement à basse fréquence .
A basse fréquence (X « 1) on néglige les termes en X de degré supérieur à 2.
Il.B.1
→
→
Exprimer, dans ces conditions, le champ magnétique total B BF ( M, t ) et le champ électrique total E BF ( M, t ) qui
règnent en M à l'instant t à l'intérieur du condensateur, en fonction de c, X et E0 .
II.B.2 Étude énergétique.
Il.B.2.a Calculer la densité volumique instantanée εe(t) d'énergie électrique et la densité volumique instantanée εm(t)
→
d'énergie magnétique dans le condensateur en fonction de ε0 (la permittivité du vide), X, ωt et e 0 = e 0 .
II.B.2.b On note <εe,m(t)>t les moyennes temporelles correspondantes.
Exprimer, en fonction de X, le rapport
II.B.3
εm
t
εe
t
. Que concluez-vous ?
Puissance rayonnée.
→
→
II.B.3.a Soit P le vecteur de Poynting associé à ce champ électromagnétique. Calculer P à l'ordre le plus bas en X, en
fonction de ε0 , c, X, e0 et ωt.
II.B.3.b En déduire que les échanges par rayonnement se limitent à la surface latérale du condensateur. Calculer la
puissance rayonnée instantanée P(t) et en déduire <P(t)>t .
Comment interprétez-vous ce résultat ?
II.C
Comportement à haute fréquence .
→
A haute fréquence, on ne peut plus négliger les termes en X de degré supérieur à 2. On va donc calculer B 3 dont
→
→
→
E 2 est la source, E 4 dont B 3 est la source, etc ...
II.C.1
→
Donner l'orientation de B 3 .
→
Quelle est l'équation satisfaite par B 3 ?
Calculer
∫
→
→
→
B 3 . dl et en déduire l'expression de B 3 ( M, t ) en fonction de c, Xet E0 .
C1
→
II.C.2
Calculer E 4 ( M , t ) .
II.C.3
Expression des champs E 2 n et B 2 n +1 .
→
→
→
1
→
II.C.3.a On veut calculer par récurrence l'expression de E 2 n . On suppose que : E 2 n ( M, t ) =
( n !)
→
2
(iX) 2 n E 0 ( t )
→
En déduire B 2 n +1 ( M , t ) .
→
II.C.3.b Calculer alors E 2 n + 2 ( M , t ) . Que concluez-vous ?
Il.C.4 Étude du champ électrique.
→
II.C.4.a Montrer que le champ électrique total E ( M , t ) qui règne à l'intérieur du condensateur s'exprime simplement en
→
fonction de E 0 et de la fonction de Bessel J0(x) (donnée en annexe), à condition d'attribuer à x une expression
littérale qu'on donnera.
→
II.C.4.b Décrire la configuration du champ E ( M , t ) et examiner ses variations en fonction de ω. Montrer qu'à la périphérie
II.C.5
du condensateur, certaines valeurs de ω annulent le champ électrique.
Réalisation d'une cavité : on ferme le condensateur au niveau de sa surface latérale ρ = R par une feuille
d'aluminium assimilé à un conducteur parfait. On cherche les fréquences propres de la cavité ainsi constituée,
→
c'est-à-dire les fréquences particulières permettant l'existence d'une onde décrite par E =
→
∑ E 2n
avec les
n
notations du paragraphe précédent.
→
→
II.C.5.a Quelles sont les conditions aux limites imposées aux champ E et B par la présence de la feuille d'aluminium ?
II.C.5.b Quelles sont les pulsations possibles pour le champ électromagnétique dans cette cavité cylindrique ?
II.C.5.c On excite la cavité à l'aide d'un générateur électrique délivrant une tension sinusoïdale de fréquence f aux bornes
du condensateur. On constate expérimentalement que l'amplitude du champ dans la cavité prend des valeurs très
importantes pour certaines fréquences fi. Comment appelle-t-on ce phénomène ?
→
II.C.5.d Calculer la fréquence f1 la plus basse du champ E 0 dans la cavité pour R = 4.10-2 m. On donne c = 3.108 m.s-1.
II.C.6 Étude du champ magnétique.
→
II.C.6.a Dans une étude simplifiée du champ magnétique total B( M , t ) qui règne dans la cavité, on ne retient que les deux
premiers termes du développement en série.
→ ρ 
2,4c
Donner dans ces conditions l'expression de B  sachant que l'on se place à ω =
.
 R
R
c → ρ 
 ρ
On considère la fonction : y  =
B 
 R
iE 0  R 
3
ρ
 ρ
 ρ
 ρ
Quelle est la dimension de y ? Montrer que y  est de la forme y  = α − β 
 R
 R
 R
R
où α et β sont des coefficients numériques qu'on donnera. Montrer que cette fonction passe par un maximum pour
une valeur ρmax de ρ. En déduire son graphe.
II.C.6.b Caractériser la densité de courant dans la paroi latérale de la cavité.
Donner son expression en fonction de µ0 (la perméabilité du vide) et B(ρ = R).
Application Numérique : Calculer sa valeur sachant que E0 = 106 V.m-1.
On rappelle que µ0 =4π 10-7 H.m-1 .
II.C.7 Comment seraient modifiés qualitativement les résultats précédents si on tient compte de la valeur finie de la
conductivité de l'aluminium ?
II.D
Calcul direct du champ électrique total E.
→
II.D.1
II.D.2
Au lieu de calculer le champ total sous forme d'une série, on souhaite calculer directement le champ électrique E
qui règne entre les armatures.
Obtenir l'équation générale de propagation qui relie les dérivées partielles d'un champ électrique.
On cherche à cette équation une solution axiale, ayant la symétrie du cylindre (invariance par rotation et par
translation selon l'axe de révolution), qu'on écrit en notation complexe :
→
→
E ( M, t ) = E (ρ) exp(iωt ) k
Donner l'équation différentielle du second ordre satisfaite par la fonction scalaire E(ρ) pour une fréquence
donnée.
II.D.3
II.D.4
Montrer, par un changement de variable judicieux, que cette équation différentielle peut s'écrire:
 d2

1 d
 2 +
+ 1 E ( x) = 0
x dx 
 dx
Montrer qu'on obtient la même solution que précédemment.
II.E
Introduction d’un diélectrique .
II.E.1
II.E.2
Au lieu du vide, le condensateur précédent contient un diélectrique parfait, homogène, non chargé, de permittivité
ε et de perméabilité µ = µ0 (celle du vide).
Quelles sont, sans faire de calculs, les modifications à apporter aux notations précédentes pour décrire ce cas ?
En déduire l'expression du champ électrique total dans le diélectrique.
L'introduction d'un diélectrique a-t-elle de l'influence :
• sur le module de la partie spatiale du champ électrique en un point donné ?
• sur la valeur de la fréquence de résonance ?
ANNEXES
→
→
A, B
... sont des vecteurs quelconques
f, g ... sont des fonctions scalaires quelconques
Le produit vectoriel est noté x.
→
Annexe I : Relations géométriques entre les opérateurs différentiels gradient ( grad ), divergence (div),
→
rotationnel ( rot ) et Laplacien (∆).
(1)
 → 
div grad f  = ∆ f


(2)
→ →
 →
rot  grad f  = 0


(3)
 → →
div rot A = 0


(4)
→  → →
→ 
→
→→
rot  rot A = grad  div A − ∆ A




(5)
grad( f g) = g gradf + f gradg
(6)
→
 → → →
div f A = A .grad f + f divA
 
(7)
→  →
→
→
→ →
rot  f A = grad f × A + f rotA
 
(8)
 → → → → → → → →
div A × B = B.rotA − A .rot B


(9)
→  → →
 → →  →  →  → → →  → → →
rot  A × B =  div B A −  divA B +  B⋅ ∇ A −  A⋅ ∇ B

 







(10)
→  → →
→  → → →  → →   → → →  → → →
grad  A ⋅ B = A ×  rot B + B×  rotA +  B⋅ ∇ A +  A⋅ ∇ B





 



→
→
→
Soit un contour orienté C et S une surface qui s’appuie sur C :
→ →
∫C
(12)
∫Cf dl = − ∫∫S grad f × dS
A. dl =
∫∫S
→ → →
(11)
→
rot A. dS
→
→
Théorème de Stokes
Théorème de Kelvin
Soit une surface fermée S qui limite le volume V :
→ →
→
(13)
∫∫ A⋅ dS = ∫∫∫ divAdV
(14)
∫∫ f dS = ∫∫∫ gradf dV
S
V
→
S
Théorème de Green
→
V
Théorème du gradient
Annexe II : Les coordonnées cylindriques et expression des opérateurs différentiels dans ces
coordonnées.
Dans les coordonnées cylindriques, un point M est repéré par le jeu de coordonnées ρ, θ, z et la base
→
→ →
locale est uρ , uθ , k
→
z
ρ
z
→
→
→
r = OM = ρ uρ + z k
→
→
→
→
k
dr = dρ u ρ + ρdθ u θ + dz k
M
A( M) = Aρ uρ + A θ u θ + A z k
→
u
u
r
O
→
→
→
où Ai = Ai(ρ, θ, z) i = ρ, θ, z.
A condition que ρ≠0, on a :
→
∂f → 1 ∂f → ∂f →
gradf =
uρ +
uθ +
k
(15)
∂ρ
ρ ∂θ
∂z
y
θ
→
divA =
(16)
1 ∂
1 ∂A θ ∂A z
ρA ρ +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂θ
∂z
(
)
→
→
∂A ρ  →
 1 ∂A z ∂A θ  →  ∂A ρ ∂A z  → 1  ∂
(17) rotA = 
−
−
 u θ +  (ρA θ ) −
k
 uρ + 
∂z 
∂ρ 
ρ  ∂ρ
∂θ 
 ρ ∂θ
 ∂z
x
Les formules (1) et (4) permettent d’obtenir les expressions du laplacien scalaire et du laplacien vectoriel. Dans le
cas particulier d’un champ scalaire à symétrie cylindrique, le laplacien se réduit à :
(18) ∆f (ρ) =
d 2 f 1 df
+
dρ2 ρ dρ
Annexe III : Les fonctions de Bessel
Les fonctions de Bessel Bν(z) sont des solutions de l’équation différentielle :
d 2 B ν ( z) 1 dBν ( z) 
ν2 
(19)
+
+

1
−
 B ν ( z) = 0 ν ∈ℜ, z ∈ C
z dz
dz 2
z2 

Les fonctions de Bessel de première espèce Jν(z) sont défénies par la série :
(20)
 z
J ν ( z) =  
 2
ν ∞
( −1) k
 z
 
 2
k
!
Γ
(
ν
+
k
+
1
)
k=0
∑
2k
arg z < π
où Γ est la fonction qui généralise la fonction factorielle.
Dans le cas particulier ν=0, nous avons :
2k
( −1) k  z 

2 
 2
k = 0 ( k !)
Pour x réel, le graphe de la fonction J0(x) est, pour sa partie x>0, le suivant :
J0(x)
1
∞
(21)
J 0 ( z) =
∑
0,8
0,6
x=7,02
y=0,30
0,4
0,2
x=2,40
y=0
0
4
2
x=8,65
y=0
x=5,52
y=0
6
10
12
8
x=10,20
y=-0,25
x=3,83
y=-0,40
x=11,80
y=0
x