Spé PC*/PC Equations de Maxwell

Spé PC*/PC
Equations de Maxwell
1) Rotation uniforme d'un cylindre chargé en volume :
Soit C un cylindre de révolution d'axe (Oz), de rayon a et de longueur très grande devant a. C,
chargé uniformément avec la densité volumique ρ, est mis en rotation autour de (Oz) avec la
vitesse angulaire ω (supposée indépendante du temps jusqu'à la dernière question) sans que cette
rotation affecte la répartition des charges dans C.
a) Déterminer dans tout l'espace le champ électrique E.
b) Déterminer dans tout l'espace le champ magnétique B.
c) Déterminer de même un potentiel vecteur A du champ B.
d) Que peut-on dire si ω varie dans le temps "pas trop rapidement" ? Quel est dans ce dernier cas
l'intérêt du calcul de A fait en (3) ?
2) Distribution de courants associées à un champ B connu :
On considère, en coordonnées cylindriques, le champ magnétique B défini par :
0 < r < a : B=B0(r/a)3 exp(-r/a) uθ et
r >a : B=2B0 (a/r) uθ
Déterminer les courants qui sont à l'origine de ce champ (le milieu considéré sera supposé
comme étant équivalent au vide, µ=µ0).
3) Effet de peau :
On considère un métal de conductivité σ pour lequel on cherche une solution des équations de
Maxwell correspondant à des champs sinusoïdaux de pulsation ω. On sait que, dans un métal, le
→
→
→
∂E
est négligeable devant le courant de conduction j = σ E . De
courant de déplacement ε0
∂t
façon plus précise, on cherche pour le champ électrique une expression de la forme :
→
→
→
E = E 0 f ( x) exp i (kx − ωt ) u z , où uz désigne le vecteur unitaire de l'axe Oz parallèle à la surface du
métal et f(x) une fonction de la profondeur x à l'intérieur du métal que l'on va déterminer.
a) A partir de l'expression du champ E, déterminer le champ magnétique B. Vérifier que divE=0
et divB=0.
b) En négligeant le courant de déplacement, déterminer une équation différentielle vérifiée par
f(x) et montrer que : f(x) = Aexp(- x / δ). Donner les expressions de δ puis de k.
Pour le cuivre : σ=5,8.107 Ω-1.m-1. Calculer δ pour différentes fréquences (102 Hz, 103 Hz, 104 Hz
et 105 Hz).
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4) Etude énergétique d'un câble en régime statique :
Un câble électrique est assimilé à un cylindre de longueur L, d'axe Oz et de rayon a, conducteur
ohmique de conductivité σ, parcouru par des courants indépendants du temps, de densité
volumique j=juz uniforme dont l'intensité totale vaut I=jπa2.
a) On néglige les effets de bord. Calculer en un point de la surface du conducteur le champ
électrique, le champ magnétique et le vecteur de Poynting. En déduire la puissance
électromagnétique reçue par le câble à travers sa surface latérale (S) et commenter.
b) A l'extérieur du câble, on admet les expressions des champs :
r
E=
I
r
u
σπa 2 z
;
r µ0 I r
B=
u
2πr θ
Vérifier la compatibilité de ces expressions avec les relations de passage à la surface du câble.
Montrer que la puissance électromagnétique traversant un cylindre d'axe (Oz), de hauteur L et de
rayon r supérieur à a est indépendante de r et commenter.
5) Bilan énergétique de la charge d'un condensateur plan : (CCP)
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6) Condensateur alimenté à haute fréquence : (*)
Un condensateur plan, constitué de deux plaques circulaires d’axe (Oz) et de rayon R, séparées
par une distance e faible devant R, est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale de
pulsation ω.
a) Pour ce système à symétrie cylindrique, on écrira le champ électrique sous la forme :
r
r
E = E (r ) cos ωt u z
Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la fonction E(r) ? Déterminer la solution sous la
forme d’une série entière développée en puissances de la variable sans dimension x =
rω
c
.
b) Pour ω = 20 π MHz et R = 5 cm , que peut-on dire de la fonction E(r) à l’intérieur du
condensateur ? L’ARQS est –elle convenable ?
c) Que vaut le champ magnétique à l’intérieur du condensateur ?
Donnée : en coordonnées cylindriques, le laplacien d’une fonction f (r , θ , z ) est :
∆f =
1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ 2 f ∂ 2 f
+
⎜r ⎟ +
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂θ 2 ∂z 2
7) Emission de charges par une petite sphère radioactive :
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8) Energie magnétique stockée dans une bobine :
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9) Mise en rotation d’une sphère chargée : (*)
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