Dynamique en coordonnées cartésiennes

Mécanique 2
Dynamique
cartésiennes
en
coordonnées
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Capacités exigibles
Notions sur les quatre interactions fondamentales.
Forces.
Loi des actions réciproques.
Quantité de mouvement d’un point matériel.
Référentiel galiléen. Loi de l’inertie.
Quantité de mouvement d’un point.
Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen.
Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme.
Influence de la résistance de l’air.
Lois de Coulomb du frottement de glissement dans le
seul cas d’un solide en translation.
- Distinguer les interactions de portée illimitée de celles dont la portée est
limitée à la dimension du noyau atomique.
- Utiliser les forces usuelles (en particulier : poids, forces de frottements
fluide et solide, poussée d’Archimède)
- Établir un bilan des forces et en rendre compte sur une figure.
- Utiliser l’expression de la quantité de mouvement d’un point matériel.
- Définir le mouvement relatif d’un référentiel galiléen par rapport à un
autre référentiel galiléen.
- Déterminer les équations du mouvement d’un point matériel ou du centre
d’inertie d’un solide.
- Mettre en équation le mouvement sans frottement et le caractériser
comme un mouvement à vecteur-accélération constant.
- Prendre en compte par une approche numérique des frottements fluides
pour modéliser une situation réelle.
- Exploiter numériquement une équation différentielle sans la résoudre analytiquement : analyse en ordres de grandeur, détermination de la vitesse
limite, utilisation d’un logiciel d’intégration numérique.
- Proposer un protocole expérimental de mesure de frottements
fluides.
- Exploiter les lois de Coulomb fournies dans les trois situations : équilibre,
mise en mouvement, freinage.
- Formuler une hypothèse (quant au glissement ou non) et la valider.
- Mettre en œuvre un protocole expérimental permettant de mesurer un coefficient de frottement solide.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Forces et quantité de mouvement
1.1 Les quatre interactions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Notion de forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Les
2.1
2.2
2.3
3
3
4
5
trois lois de Newton
La première loi de Newton : le principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La seconde loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . .
La troisième loi de Newton : la loi des actions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Méthode générale pour étudier un problème de mécanique
5
4 Un premier exemple de mouvement : la chute libre
4.1 Première approximation : la chute libre sans frottements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Prise en compte des frottements fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
5 Étude des corps immergés dans un fluide
10
5.1 La poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Un problème dynamique : la montgolfière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Un problème de statique : l’iceberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 La force de frottement entre
6.1 Les lois de Coulomb . . . .
6.2 L’équilibre . . . . . . . . . .
6.3 La mise en mouvement. . .
6.4 Le freinage . . . . . . . . . .
6.5 Hypothèse de glissement . .
des solides
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Maxime Champion - www.mchampion.fr
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14
14
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Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Dans le chapitre précédent, nous nous sommes intéressés à l’étude du mouvement en soi à travers l’étude
cinématique. Maintenant, nous allons étudier les causes du mouvement, les forces. Grâce aux lois établis par
Isaac Newton en 1687 dans son ouvrage Philosophiae naturalis principia mathematica, nous allons ensuite
relier ces forces à la cinématique pour étudier le mouvement et ses causes. Il s’agit de l’étude dynamique.
1
1.1
Forces et quantité de mouvement
Les quatre interactions fondamentales
Les interactions physiques entre les systèmes sont classés en quatre grand types. Toutes les interactions
physiques se rapportent à une de ces interactions fondamentales.
L’interaction faible : elle intervient au niveau des nucléons, elle de faible intensité et de très courte
portée (≈ 10−18 m).
L’interaction forte : elle est responsable de la cohésion des noyaux atomiques. Grâce à cette interaction,
les protons restent dans le noyau malgré leurs charges électriques identiques. Elle est de très forte intensité
mais sur une très courte portée (≈ 10−14 m).
Ces deux interactions, faibles et fortes, se manifestent lors des transformations nucléaires.
L’interaction électromagnétique : elle est à longue portée (distance infinie) entre les particules chargées. Les particules de même signe se repoussent tandis que celles de signes opposées s’attirent.
Remarque : En réalité, l’interaction électromagnétique et l’interaction faible ne font qu’une
seule interaction, dite électrofaible. Les travaux théoriques pour le démontrer ont été réalisés
de façon séparée par Sheldon Glashow, Abdus Salam et Steven Weinberg dans les années 1960,
ce qui leur a valu conjointement le prix Nobel de Physique en 1979.
Au niveau microscopique, cette force explique les frottements de tout type. En effet, en première approximation, on peut dire que les atomes ne se superposent pas, et donc la matière, car les nuages électroniques
se repoussent.
L’interaction gravitationnelle : elle est à longue portée (distance infinie) entre les particules massives
qui s’attirent deux à deux.
À notre échelle d’étude, seules les deux dernières interactions sont visibles.
1.2
Notion de forces
Définition. Une force caractérise l’action d’un système matériel sur un point matériel M . Une force peut
dépendre à la fois de la nature physique du point M et du système, des positions et vitesses de M et du
système.
Une force peut modifier un mouvement ou déformer un système. Une force est indépendante du référentiel
d’étude, elle s’applique quelle que soit la façon dont le physicien étudie le système.
Son unité est le newton (N).
Par exemple, la force électromagnétique qu’une particule 1 de charge q1 exerce sur une autre particule
2 de charge q2 dans le vide vaut
q1 q2 #”
#”
F EM =
u
4πε0 r2
avec ε0 la permittivité électrique du vide, r la distance entre les deux particules et #”
u le vecteur unitaire placée sur la particule 2, dirigée selon l’axe
reliant les deux particules et orienté à l’opposé
de la première particule. Ainsi, deux particules de
charge de même signe se repoussent tandis que deux
charges de signe opposé s’attirent.
2/14
M1 (q1 )
×
r
M2 (q2 )
×
#”
u
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
De même, la force gravitationnelle qu’une particule 1 de masse m1 exerce sur une autre particule 2
de masse m2 vaut
m1 m2 #”
#”
F G = −G
u
r2
Maxime Champion
M1 (m1 )
×
r
M (m )
#” 2 2
F G × #”
u
avec G la constante universelle de gravitation.
Propriété. Les forces sont soit
. de contact, comme les frottements ;
. soit des forces à distance et s’appliquent sans support matériel pour les propager, comme la force
gravitationnelle.
1.3
La quantité de mouvement
Définition. Considérons un point matériel M de masse m dans un référentiel donné R. Le vecteur vitesse
de ce point matériel dans ce référentiel est noté #”
v (M/R).
On définit le vecteur quantité de mouvement par
#”
p (M/R) = m #”
v (M/R) .
Cette définition est vraie uniquement dans le cadre de la mécanique newtonienne, c’est-à-dire que l’on
suppose toujours que v c avec c la célérité de la lumière dans le vide et v le module du vecteur vitesse
#”
v (M/R).
Pour un solide, on définit la quantité de mouvement par rapport à la vitesse du centre de gravité du
solide.
2
Les trois lois de Newton
Les trois lois de Newton définies ici sont la base de toute la mécanique classique. Elles ont été établies
en 1687 et permettent toujours de décrire une grande partie des mouvements mécaniques.
2.1
La première loi de Newton : le principe d’inertie
Définition. Il existe des référentiels privilégiés appelés référentiels galiléens dans lesquels un point
matériel M isolé, soumis à aucune action mécanique, est
. soit au repos ;
. soit animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
Considérons une particule animée d’un mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen.
Considérons un autre référentiel en translation uniforme par rapport à ce référentiel. Dans ce cas, la
particule est toujours isolée et soumise à aucune action mécanique et son mouvement est toujours rectiligne
uniforme. On peut par exemple penser au référentiel du sol et à celui lié à une voiture en mouvement
rectiligne uniforme.
Propriété. Tout référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen.
En réalité, les référentiels rigoureusement galiléens n’existent pas. Mais on peut en considérer certains
comme approximativement galiléens. En débutant un problème de mécanique, il faut toujours préciser le
référentiel d’étude et préciser qu’on le considère comme galiléen.
Les référentiels les plus utiles sont définis par une horloge placée sur Terre et par un repère particulier.
Ce sont
. le référentiel héliocentrique RS qui a pour origine le centre de le Soleil et dont les trois axes sont
dirigés vers des étoiles fixes dans le ciel. Il est supposé galiléen si le mouvement étudié est plus court
qu’un trajet significatif du Soleil dans la galaxie, soit une durée inférieure à plusieurs années ;
. le référentiel géocentrique RG qui a pour origine le centre de la Terre et dont les trois axes sont dirigés
vers des étoiles fixes dans le ciel. Il est supposé galiléen si le mouvement étudié est plus court qu’un
trajet significatif de la Terre autour du Soleil, soit une durée courte devant une année ;
3/14
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
. le référentiel terrestre RT , ou référentiel du laboratoire, qui a pour origine le centre de la Terre et
dont les trois axes sont fixes par rapport à la Terre. Il est supposé galiléen si le mouvement étudié est
plus court qu’une rotation significative de la Terre, soit une durée courte devant une journée. C’est le
référentiel dans lequel nous étudierons la plupart des systèmes en CPGE.
La figure 1 schématise les différents référentiels.
Axe de rotation
RG
T
•
RS
S
•
Plan de l’écliptique
Fig. 1 – Les différents référentiels galiléens.
2.2
La seconde loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique
Définition. Dans un référentiel R supposé galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un point M de
masse m vérifie
X #”
d #”
F ext→M .
( p (M/R)) =
dt
Soit la dérivée du vecteur quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures
appliquées au point M .
Cette loi est l’une des lois les plus importantes de la Physique. Elle permet de relier le mouvement
cinématique - la dérivée de la vitesse - avec ses causes - les forces extérieures.
Lorsque le point d’étude et le référentiel sont bien précisés en début d’exercice (et uniquement dans ce
cas !), on peut écrire simplement #”
p (M/R) = #”
p = m #”
v . On remarque alors que
d #”
p
dm #”
d #”
v
v +m
=
.
dt
dt
dt
Propriété. Dans un référentiel R supposé galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un point M de
masse m fixe au cours du temps vérifie la relation
m #”
a =
X #”
F ext→M
où #”
a est le vecteur accélération du point M .
#”
Remarque : On remarque que si #”
a = 0 , c’est-à-dire si le mouvement est rectiligne uniforme
P #”
#”
ou s’il est nul, on a
F ext→M = 0 . Cette relation, parfois appelé principe fondamental
de la statique, en lien avec le principe fondamental de la dynamique, porte mal son nom. En
effet, elle décrit aussi des mouvements rectilignes uniformes non statiques.
4/14
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
2.3
Maxime Champion
La troisième loi de Newton : la loi des actions réciproques
Définition. Soient deux points M1 et M2 en interactions. Alors les forces exercées du point 1 sur le point
2 sont égales à l’opposé des forces exercées du point 2 sur le point 1
#”
#”
F 1→2 = −F 2→1 .
M1
•
#”
F 2→1
#”
F 1→2
M2
•
Fig. 2 – Le principe des actions réciproques.
3
Méthode générale pour étudier un problème de mécanique
Avant d’étudier en détails plusieurs exemples de mécanique, voici la méthode à utiliser systématiquement
pour résoudre un problème de mécanique. Cette méthode doit être connue sans hésitations.
Méthode pour aborder un problème de mécanique :
1. Définir le système étudié, préciser le référentiel galiléen d’étude, préciser le système de coordonnées.
Pour le moment, nous n’avons étudié que les coordonnées cartésiennes. Au cours du chapitre
M3 plus tard dans l’année, nous étudierons d’autres coordonnées. Il faut donc bien les préciser
en premier.
2. Faire un schéma du système dans une situation quelconque.
Si le schéma est dans une situation particulière, on pourra avoir l’impression que certains
vecteurs sont orthogonaux ou parallèles, ce qui faussera toute la suite du raisonnement.
3. Représenter les forces sur le schéma et réaliser un bilan des forces en donnant leurs expressions dans
le référentiel d’étude.
Les forces sont indépendantes du référentiel, mais parfois leur expression analytique peut
changer d’un référentiel à l’autre, notamment à cause des repères qui peuvent être très différents.
4. Appliquer la seconde loi de Newton en la citant.
5. Exprimer les vecteurs cinématiques position, vitesse et accélération dans les coordonnées choisies.
6. Projeter les équations vectorielles sur les vecteurs de base puis travailler sur les expressions scalaires
selon les questions posées.
4
Un premier exemple de mouvement : la chute libre
La chute libre est le plus simple des problèmes mécaniques. On considère un corps ayant une certaine
masse et on le jette vers le haut. Comment décrire correctement son mouvement ?
4.1
Première approximation : la chute libre sans frottements
I Le poids
Nous avons vu qu’un corps de masse M exerce sur un autre corps de masse m une force gravitationnelle.
Dans le cas de l’attraction gravitationnelle de la Terre sur un corps ponctuel, ou suffisamment petit pour
GMT
#”
être considéré comme tel, la Terre exerce donc la force F G = −m 2 #”
e z avec MT la masse de la Terre,
RT
RT le rayon terrestre et #”
e z le vecteur vertical dirigé vers le haut.
2 et donner son unité. On prendra M =
Application 1 : Faire l’application du coefficient GMT /RT
T
5.97 × 1024 kg, RT = 6370 km et G = 6.67 × 10−11 m3 · kg−1 · s−2 .
5/14
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Définition. À la surface de la Terre, la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un
objet ponctuel M de masse m s’appelle le poids
et vaut
×M (m)
#”
p
#”
ez
#”
p = m #”
g = −mg #”
ez
#”
ex
Sol
avec #”
g le vecteur de l’accélération de pesanteur
de norme g = 9.81 m · s−2 et dirigé verticalement
vers le sol.
Fig. 3 – Schématisation du poids
Remarque : Attention à ne pas confondre, surtout dans le vocabulaire, la masse m en kilogramme et le poids, c’est-à-dire la force, en newton.
I Lois horaires de la chute libre sans frottements
Reprenons la méthode du paragraphe 3. On étudie le mouvement d’une particule de masse m lancée
avec un certain vecteur vitesse initiale #”
v 0.
1. Le système d’étude est le point matériel de masse m. Sa position est repérée en fonction du temps
par le point M (t). Le système est étudié dans le référentiel terrestre RT supposé galiléen et on
choisit les coordonnées cartésiennes pour cette étude.
2. On représente le problème sur un schéma dans une situation quelconque. On note α l’angle entre la
vitesse initiale #”
v 0 et l’axe des x, il vient donc #”
v 0 = #”
v 0 cos α #”
e x + #”
v 0 sin α #”
e y.
z
#”
v (t)
M (t)
z(t)
#”
v0
#”
p
α
O
x
x(t)
3. Bilan des forces : La seule force est le poids #”
p = −mg #”
e z.
P
#” #”
#”
#”
4. Seconde loi de Newton : m a = F = p = −mg e .
z
5. Les vecteurs cinématiques en coordonnées cartésiennes dans le plan du problème sont :
# ”
#”
#”
OM (t) = x(t) #”
e z + z(t) #”
ez
et
v (t) = ẋ(t) #”
e x + ż(t) #”
ez
et
a (t) = ẍ(t) #”
e x + z̈(t) #”
ez .
6. On remplace l’accélération dans la seconde loi de Newton et il vient




mẍ(t)
0

 

#”
#”
mẍ(t) e x + mz̈(t) e z =  0  =  0  = −mg #”
ez .
mz̈(t)
−mg
On remarque que l’on peut simplifier par la masse et il vient par identification donc les équations du
mouvement
ẍ(t) = 0
et
z̈(t) = −g .
équations du mouvement
ẍ(t) = 0
et
z̈(t) = −g .
Propriété. Lors d’une chute libre sans frottements, la masse du corps en chute n’influe pas sur le mouvement. Cela signifie en particulier que, dans le vide, tous les corps chutent à la même vitesse.
6/14
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Application 2 : En suivant la même méthode qu’au chapitre précédent sur le mouvement courbe
uniformément accéléré, résoudre les équations du mouvements pour obtenir les lois horaires x(t) et
z(t).
Il vient les lois horaires du mouvement
x(t) = v0 cos α t
1
z(t) = − gt2 + v0 sin α t .
2
et
I Étude la trajectoire
Altitude maximale : D’un point de vue physique, le maximum de l’altitude z(t) est donnée lorsque la
vitesse de montée ż(t) change de signe. Or lors de l’étude dynamique, on montre que ż(t) = −gt + v0 sin α
v0 sin α
.
et donc la vitesse de montée s’annule au temps t1 =
g
L’altitude maximale hmax vaut donc
hmax = z(t1 ) =
v02 sin2 α
.
2g
Distance parcourue : La distance parcourue par la masse est la distance nécessaire pour revenir au point
d’altitude z = 0. On cherche donc le temps t2 tel que
1
z(t2 ) = 0 = − gt22 + v0 sin α t2 .
2
Cette équation a une solution t0 = 0 évidente qui correspond à l’instant initial, en mettant t en facteur, il
2v0 sin α
.
vient t2 =
g
La distance parcourue dmax vaut donc
dmax = x(t2 ) =
2v02
sin α cos α .
g
Trajectoire : Il s’agit du même problème que la cinématique du mouvement courbe uniformément accéléré.
La trajectoire est donc une parabole. Pour le prouver, il faut chercher la loi z(x) et donc éliminer le temps
des lois horaires.
x
Pour cela, on remarque que t =
et donc il vient
v0 cos α
z(x) = −
g
x
2v02 cos2 α
2
+ tan α x .
Il vient donc la trajectoire complète tracée figure 4.
z
zmax
#”
v0
α
O
xmax
2
xmax
Fig. 4 – Trajectoire parabolique d’une chute libre sans frottements.
7/14
x
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Expérience 1 : TP 11 - Mesure de l’accélération de pesanteur
I Limitation du modèle
Ce modèle présente une limitation de taille. En effet, la vitesse du point M selon la coordonnée y vaut
vy (t) = ẏ(t) = −gt + v0 sin α. Lorsque t tend vers l’infini, soit lors d’une chute longue, la norme de cette
vitesse tend vers l’infini. Ce qui est physiquement impossible car toutes les vitesses en mécanique doit rester
inférieure à la vitesse de la lumière c.
Ainsi, le modèle proposé est insuffisant, et il faut l’améliorer en prenant en compte les frottements de
l’air qui vont limiter la vitesse.
4.2
Prise en compte des frottements fluides
I Les forces de frottement fluide
Définition. Soit un fluide au repos dans un référentiel R et un point matériel M est animé d’une vitesse
#”
v (M/R = #”
v dans ce référentiel.
#”
La force de frottement fluide F f est une force de freinage, donc opposée à la direction du vecteur
vitesse #”
v (M/R. Il faut ensuite distinguer deux modèles,
#”
. pour les faibles vitesses, la force est linéaire avec la vitesse F f = −λ #”
v;
#”
. pour les vitesse plus importantes, la force est quadratique avec la vitesse F f = −κv #”
v.
En pratique, le choix entre ces deux modèles sera toujours précisé dans l’énoncé.
Remarque : En réalité, le choix entre le modèle linéaire ou quadratique en la vitesse dépend
d’un facteur sans dimension appelé nombre de Reynolds qui tient compte de la viscosité du
fluide, de la taille de l’objet et de sa vitesse.
Il s’agit bien du mouvement de la masse par rapport au fluide. Dans une voiture, les passagers bougent
mais le fluide aussi, il y a donc peu de frottements. À l’extérieur d’une voiture par contre, celle-ci bouge
rapidement par rapport au fluide, il y a donc beaucoup de frottements.
Application 3 : Donner les dimensions et unité des coefficients α et κ.
I Étude générale de la chute libre avec frottements
Reprenons la méthode du paragraphe 3. On étudie le mouvement d’une particule de masse m lancée
avec un certain vecteur vitesse initiale #”
v 0.
1. Le système d’étude est le point matériel de masse m. Sa position est repérée en fonction du temps
par le point M (t). Le système est étudié dans le référentiel terrestre RT supposé galiléen et on
choisit les coordonnées cartésiennes pour cette étude.
2. On représente le problème sur un schéma dans une situation quelconque. On définit cette fois la vitesse
initiale par rapport à ses composantes #”
v 0 = v0,x #”
e x + v0,y #”
e y.
Remarque : Définir la vitesse initiale par rapport à ses composantes ou par rapport à l’angle
comme dans le paragraphe précédent ne change strictement rien et est juste un choix.
z
#”
v (t)
M (t)
z(t)
#”
v0
O
#”
Ff
#”
p
x(t)
3. Bilan des forces : Les deux forces sont :
8/14
x
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
. le poids #”
p = −mg #”
ez ;
#”
. la force de frottement F f .
4. Dans ce cas, la seconde loi de Newton s’écrit
#”
m #”
a = m #”
g + Ff
(4.1)
5. Les vecteurs cinématiques en coordonnées cartésiennes dans le plan du problème sont :
# ”
#”
#”
OM (t) = x(t) #”
e z + z(t) #”
ez
et
v (t) = ẋ(t) #”
e x + ż(t) #”
ez
et
a (t) = ẍ(t) #”
e x + z̈(t) #”
ez .
La suite de l’étude dépend du modèle choisi pour les frottements.
I Hypothèse de frottements linéaires avec la vitesse
#”
On suppose que F = −λ #”
v.
f
Position et vitesse : Dans ce cas, la seconde loi de Newton (4.1) devient
m
d #”
v (t)
= −λ #”
v (t) − mg #”
ez
dt
m
=⇒
d #”
v (t)
+ λ #”
v (t) = −mg #”
ez .
dt
(4.2)
On projette cette relation sur les vecteurs de base ce qui donne les équations du mouvement
m
dvx (t)
+ λvx (t) = 0
dt
m
et
dvz (t)
+ λvz (t) = −mg .
dt
On reconnaît évidemment deux équations différentielles linéaires d’ordre un à coefficients constants.
Application 4 : À l’aide des conditions initiales, trouver vx (t) et vz (t).
Il vient
λ
vx (t) = v0,x exp − t
m
mg
λ
mg
vz (t) = v0,z +
exp − t −
.
λ
m
λ
et
(4.3)
Pour trouver les lois horaires x(t) et z(t), il suffit d’intégrer les vitesses et il vient
Z t
x(t) =
0
et
Z t
z(t) =
0
mv0,x
λ
exp − t − 1
λ
m
du vx (u) = −
mv0,z
m2 g
du vz (u) = −
+ 2
λ
λ
!
λ
mg
exp − t − 1 −
t.
m
λ
Analyse du mouvement : Reprenons l’équation vectorielle (4.2). Il s’agit comme nous venons le voir
m
d’une équation différentielle d’ordre un à coefficients constants. Le temps caractéristique vaut τ =
.
λ
Supposons que l’on étudie le mouvement sur un temps total T . Il y a alors deux possibilités.
. T τ : dans ce cas, on pourra négliger le terme λv qui sera petit en ordre de grandeur devant
dv(t)
dans l’équation (4.2). Les frottements sont donc négligeables et tout se passe comme si le
m
dt
mouvement correspondait à une chute libre sans frottements.
. T τ : dans ce cas le régime permanent est atteint. On peut négliger la dérivée de la vitesse dans
l’équation (4.2). Dans ce cas, il vient la vitesse limite
mg #”
#”
v lim = −
ez .
λ
Il s’agit bien de la vitesse limite retrouvée dans les équations (4.3). Ainsi, sous cette modélisation des
frottements, lors d’une chute libre suffisamment longue, une vitesse limite est atteinte qui
dépend des frottements. C’est ce qui se passer lors d’un saut réel en chute libre.
9/14
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Expérience 2 : TP 12 - Mesure d’un coefficient de frottement fluide
I Hypothèse de frottements quadratiques avec la vitesse
#”
On suppose que F f = −κv #”
v.
Dans ce cas, la seconde loi de Newton (4.1) devient
m
d #”
v (t)
= −κv #”
v (t) − mg #”
ez .
dt
(4.4)
La résolution analytique exacte de cette équation sort du cadre du programme. Pour visualiser les différentes
trajectoires, on peut utiliser l’animation [1] basée sur une simulation numérique qui permet de visualiser
les différentes trajectoires selon le modèle de frottement choisi.
Si le mouvement est suffisamment long, le régime transitoire défini par l’équation différentielle (4.4) est
d #”
v (t)
#”
terminé. Dans ce cas, on a
≈ 0 et donc on trouve une vitesse limite
dt
r
#”
v lim = −
mg #”
ez .
κ
Fig. 5 – Comparaison entre deux trajectoires lors d’une chute libre sans frottements ou avec des frottements
quadratiques. On constate bien que les frottements ralentissent le mouvement de la particule.
5
5.1
Étude des corps immergés dans un fluide
La poussée d’Archimède
Définition. Soit un volume V immergé dans un fluide de masse volumique ρf . La poussée d’Archimède
est la force exercée par le fluide sur ce volume. Elle est égale à l’opposé du poids du volume de fluide
déplacé et s’applique sur le centre de gravité du volume.
#”
Π = −ρf V #”
g .
Remarque : Lors d’un problème intégrant la poussée d’Archimède, on représentera toujours
le vecteur #”
g quelque part sur le schéma.
5.2
Un problème dynamique : la montgolfière
Application 5 : La montgolfière est composée d’une nacelle et d’un ballon le tout de masse M . Le
volume du ballon est noté V et la masse volumique de l’air chaud vaut ρa . Donner une condition sur
le volume V pour que la montgolfière s’élève.
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Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
5.3
Maxime Champion
Un problème de statique : l’iceberg
I Les problèmes de statique en Physique
En Physique, les problèmes de statique s’étudient de la même façon qu’un problème de dynamique.
Méthode pour aborder un problème de statique :
1. Définir le système étudié, préciser le référentiel galiléen d’étude, préciser le système de coordonnées.
2. Faire un schéma du système dans une situation quelconque.
3. Représenter les forces sur le schéma et réaliser un bilan des forces en donnant leurs expressions dans
le référentiel d’étude.
4. Appliquer la seconde loi de Newton en la citant.
#”
5. Le problème est statique, l’accélération est donc nulle #”
a = 0.
Remarque : La somme des forces nulles est parfois appelé « principe fondamental de la statique ». Cette dénomination est impropre car la somme des forces nulles peut impliquer un
mouvement rectiligne uniforme. Il est plus rigoureux d’écrire la seconde loi de Newton puis de
précisier que l’accélération est nulle.
I L’iceberg
Application 6 : Sachant que la masse volumique de la glace ρg vaut environ 90 % de celle de l’eau
ρe , déterminer la proportion de glace immergée dans un icerberg.
Fig. 6 – La poussée d’Archimède : photomontage de Ralph A. Clevenger. Le haut est un iceberg photographié
en Antarctique, le bas un iceberg photographié en Alaska et le ciel est photographié en Californie. En effet, une
telle photo est impossible, car dans le cadre d’une prise de vue authentique, la densité de l’eau nuit à la visibilité
et empêche de voir à une telle distance le bloc de glace plongé dans l’océan.
6
6.1
La force de frottement entre des solides
Les lois de Coulomb
Définition. On considère une masse m en contact
avec un support et en mouvement à la vitesse #”
v
#”
par rapport à celui-ci. La réaction R du support
est la force exercée par le support sur la masse et
s’applique au barycentre de la surface de contact.
Cette réaction se décompose en deux forces
#” #” #”
R=N+T
où
#”
. N est la force de réaction normale au support ;
#”
. T est la force de réaction tangentielle au support, de direction opposée à la vitesse.
11/14
#”
R
#”
N
#”
v
#”
T
Fig. 7 – Les forces de frottements solide.
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
#”
#”
Les relations entre les modules des forces N et T sont appelées les lois du frottement de Coulomb.
#”
#”
. si le solide est en glissement sur la surface, alors || T || = f ||N || ;
#”
#”
. si le solide ne glisse pas sur la surface, alors || T || < f ||N || .
Le coefficient f est le coefficient de frottement. C’est un nombre sans dimension, généralement peu
précis (un seul chiffre significatif), inférieur à 1 et qui dépend fortement de l’état de surface (humide,
graissée...) mais pas de la valeur de la surface.
Ces lois ne sont pas exigibles au programme et seront donc systématiquement redonnées.
Remarque : En réalité, il y a deux coefficients de frottement, un pour la condition statique et
un autre pour la condition dynamique, avec le coefficient statique légèrement plus grand que
le coefficient dynamique. Ils sont très proches dont on fait l’hypothèse qu’ils sont égaux.
6.2
L’équilibre
1. On étudie une masse m sur un plan incliné d’angle α. Cette étude est réalisée dans le référentiel terrestre
RT supposé galiléen et on se placera en coordonnées cartésiennes.
2. Deux types de coordonnées cartésiennes peuvent être définies sur le problèmes, les coordonnées (x, y) et
(X, Y ). L’utilisation de l’une ou de l’autre facilite les calculs mais mènera au même résultat.
#”
eY
#”
N
#”
eX
#”
T
#”
ey
α
α
#”
p
#”
ex
Remarque : Pour le moment, la masse ne bouge pas. On ne peut donc pas théoriquement
placer la force tangentielle. Mais spontanément, si la force n’est pas dirigée vers le haut, la
somme des forces ne sera pas nulle et la masse va tomber, ce qui n’est pas possible dans le
problème de statique.
3. Bilan des forces :
. le poids #”
p = m #”
g = −mg cos α #”
e Y + mg sin α #”
eX ;
#”
#”
. la réaction normale N = N e Y ;
#”
. la réaction tangentielle T = −T #”
e X.
4. On applique la seconde loi de Newton :
#” #”
m #”
a = #”
p + N + T = −mg cos α #”
e Y + mg sin α #”
e X + N #”
e Y − T #”
eX .
#”
5. Il s’agit d’un problème de statique donc #”
a = 0 . On peut projeter la relation vectorielle précédente sur
les axes #”
e X et #”
e Y et il vient
−mg cos α + N = 0
et
mg sin α − T = 0 .
Soit
T = mg sin α
et
N = mg cos α .
Remarque : Dans les problèmes de frottements statiques, les inconnues sont souvent les modules des forces de frottement.
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Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Or on peut utiliser les lois de Coulomb. Lors du frottement statique, on T < f N soit
T
= tan α < f .
N
Propriété. On définit l’angle limite de glissement αlim tel que
tan αlim = f .
Si α < αlim , la masse peut être statique. Sinon, la masse se met en mouvement.
Expérience 3 : TP 12 - Mesure d’un coefficient de frottement solide
6.3
La mise en mouvement
1. On étudie une masse m sur un plan incliné d’angle α. Cette étude est réalisée dans le référentiel terrestre
RT supposé galiléen et on se placera en coordonnées cartésiennes. On suppose maintenant que α > αlim .
2.
#”
eY
#”
N
#”
eX
#”
T
α
#”
ey
#”
p
α
#”
ex
Remarque : Pour le moment, la masse ne bouge pas. On ne peut donc pas théoriquement
placer la force tangentielle. Mais spontanément, si la force n’est pas dirigée vers le haut, la
somme des forces ne sera pas nulle et la masse va tomber, ce qui n’est pas possible dans le
problème de statique.
3. Bilan des forces :
. le poids #”
p = m #”
g = −mg cos α #”
e Y + mg sin α #”
eX ;
#”
#”
. la réaction normale N = N e Y ;
#”
. la réaction tangentielle T = −T #”
e X.
4. On applique la seconde loi de Newton :
#” #”
m #”
a = #”
p + N + T = −mg cos α #”
e Y + mg sin α #”
e X + N #”
e Y − T #”
eX .
5. On exprime les vecteurs cinématiques. Comme la masse reste sur la plan, tous les vecteurs cinématiques
seront selon sur le vecteur #”
e X . Il vient
#”
a (t) = Ẍ(t) #”
eX
et
#”
v (t) = Ẋ(t) #”
eX
et
OM (t) = X(t) #”
eX .
6. On projette les différents vecteurs sur la base ( #”
e X , #”
e Y ) et il vient
0 = −mg cos α + N
et
Ẍ = mg sin α − T .
(6.1)
La première équation correspond à la projection selon #”
e Y et traduit l’absence de mouvement sur cet
axe et donc l’équilibre des forces. Il vient donc
N = mg cos α .
13/14
Mécanique 2 : Dynamique en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Par ailleurs, lors du mouvement, la loi du frottement de Coulomb indique T = f N soit donc
T = f N = f mg cos α .
En remplaçant dans l’équation sur l’accélération, il vient
Ẍ = mg (sin α − f cos α) =
mg
(tan α − tan αlim ) .
cos α
(6.2)
Comme α > αlim , l’accélération est bien positive. La masse se met à glisser vers le bas. Il s’agit d’un
mouvement rectiligne uniformément accéléré. Si la masse est posée sans vitesse initiale et que l’on
suppose que X(0) = 0, il vient simplement
1
X(t) = mg (sin α − f cos α) t2 .
2
6.4
Le freinage
On étudie le même problème que précédemment mais cette fois avec α < αlim et v#”0 = V0 #”
e X.
Le raisonnement complet du paragraphe précédent reste entièrement valable. Les équations du mouvement seront à nouveau les équations (6.1). Tant que la masse glisse, le mouvement continue et on arrive à
nouveau à l’équation (6.2).
Sauf que cette fois α < αlim , l’accélération
tenant compte des conditions initiales,
mg
cos α
(tan α − tan αlim ) est donc négative. Il vient donc, en
Ẋ = mg (sin α − f cos α) t + V0 .
Au temps, t1 = −mg (sin α − f cos α) /V0 , la vitesse s’annule. Si le modèle continue d’être vérifié, la
masse commencerait à remonter spontanément la pente grâce aux frottements, ce qui est impossible.
Propriété. Lors d’une phase de freinage, la masse s’arrête lorsque sa vitesse de descente s’annule. Le
modèle des lois de Coulomb dynamique cesse d’être vérifié à cet instant et il faut revenir au modèle
statique.
6.5
Hypothèse de glissement
Parfois, il n’est pas indiqué si le mobile bouge on non. Dans ce cas, il faut faire une hypothèse
de glissement. On suppose que le mobile glisse et est donc en mouvement. Si en conséquence de cette
hypothèse, le mouvement de la masse est plausible, l’hypothèse est validée. Sinon, notamment si la masse
remonte toute seule une pente par exemple, l’hypothèse est fausse et il faut revenir à la situation statique.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/R.F.D/chute1.php
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