TD de mécanique no2 Dynamique du point matériel en référentiel

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD de mécanique no2
Dynamique du point matériel en référentiel galiléen
Exercice 1 -
y
Ressort incliné.
Soit un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ0 dont les extrémités
sont reliées à un point fixe O d’un plan incliné (d’angle α) et à un
point matériel M de masse m. On pose OM = x et on néglige tous les
frottements. A partir de sa position d’équilibre, M est déplacé de D et
lâché sans vitesse initiale.
Donner l’expression de x à tout instant.
O
M
b
α
A tout instant, on a x(t) = xeq + D cos(ω0 t)
Exercice 2 -
mg sin α
+ ℓ0
k
x
Réponse : la position d’équilibre vérifie : xeq =
Figure 1
Point matériel sur un plateau vibrant.
Un point matériel M de masse m est posé sur un plateau horizontal P . Le plateau P est animé d’un mouvement
vibratoire vertical d’équation z(t) = A cos(ωt).
Quelle relation doit lier A, ω et g (champ de pesanteur) pour que le point matériel reste toujours en contact avec le
plateau ?
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement du point matériel M tant qu’il est en contact avec le
plateau.
Traduire la condition de contact entre le point matériel et le plateau.
Réponse : Tant qu’il y a contact entre le point matériel et le plateau g > ω 2 A
Exercice 3 - Plan incliné avec frottements solides.
Un solide M de masse m se trouve au sommet d’un plan incliné
d’angle α, sans vitesse initiale. On note H la distance de ce point
initial O au plan horizontal, et g le champ de pesanteur (supposé
constant).
t=0
O
H
1 . Quelle est la condition, dite de glissement, sur le cœfficient f
de frottements pour que le solide se mette en mouvement à t = 0 ?
A
α
x
2 . Déterminer l’accélération du solide à l’instant t.
Figure 2
3 . En déduire la norme de la vitesse du solide au point A.
1. Réponse : le solide se met en mouvement lorsque tan α > f
→
→
2. Réponse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré : −
a (M )/R = g(sin α − f cos α)−
ex
p
3. Réponse : la vitesse du mobile au point A : v(A) = 2 g H(1 − f cot α)
S. Bénet
1
Exercice 4 -
Looping.
Une petite voiture, assimilable à un point matériel M de masse m, est lancée
avec une vitesse v0 sur une piste horizontale plane prolongée par un demicercle vertical de rayon R.
La voiture glisse sans frottement sur le support, qu’elle est susceptible de
quitter (la liaison n’est pas bilatérale).
Sa position à l’intérieur du demi-cercle est repérée par l’angle θ(t) formé par
le rayon OM avec la verticale descendante (OH).
S
−
→
g
O
θ
→
M, −
v0
1 . Comment varie la vitesse de la voiture jusqu’au passage au point H ?
2 . Déterminer l’expression de la vitesse angulaire de la voiture lorsqu’elle
est située dans la piste semi-circulaire à la position repérée par l’angle θ, en
fonction de v0 , g, R et θ.
M
H
Figure 3
3 . Déterminer la norme de la réaction de la piste semi-circulaire sur la voiture (en supposant le contact maintenu),
en fonction de m, v0 , R, g et θ. Comment varie-t-elle en fonction de θ ?
4 . À quelle condition sur la vitesse de lancement v0 la voiture atteindra-t-elle le sommet S de la piste sans que le
contact avec celle-ci soit rompu ?
p
2. Réponse : θ̇ = v02
/R − 2g/R(1 − cos θ) −→
mv02
− mg(2 − 3 cos θ .
3. Réponse : kRn k =
R
√
4. Réponse : v0 > 5gR .
Exercice 5 -
Tir d’un projectile.
Un projectile de forme sphérique est lancé à la date t = 0 depuis un point origine O, suivant la verticale ascendante
(Oz) et avec une vitesse initiale v0 = 50 m.s−1 .
Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre R supposé galiléen dans les conditions de l’expérience.
→
→
On note −
g = −g −
ez , le champ de pesanteur, supposé uniforme dans la zone d’espace décrite par le projectile avec
−2
g = 9, 8 m.s .
La résistance de l’air est modélisée par une force de frottements d’intensité F = kπr02 v 2 où k est une constante positive,
r0 = 2, 0cm le rayon du projectile et v sa vitesse instantanée.
On donne k = 0, 25 U.S.I. Le projectile est en plomb, de masse volumique ρ = 11, 3 g.cm−3 .
1 . Quelle est l’unité S.I. de la constante k ?
2 . Comparer la force de frottements au poids. Commenter.
kπ
du
= −2g − 2 r02 u, en posant u = v 2 .
dz
m
m
4 . En déduire l’expression de la fonction z(u) au cours de la phase ascendante. On posera d =
.
2kπr02
3 . Montrer que, dans la phase ascendante de la trajectoire, on a
5 . Calculer l’altitude maximale H atteinte par le projectile.
S. Bénet
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Exercice 6 -
→
−
v0
Enroulement d’un fil.
b
M
−
→ −
→
Un point matériel de masse m se déplace dans le plan horizontal (O, i , j )
et est relié par un fil idéal inextensible de longueur L (inférieure au périmètre du cercle C) à un point fixe A d’un cercle C de rayon R.
L’étude est réalisée dans le référentiel R lié au cercle supposé galiléen.
On néglige toute force de frottements.
→
A t = 0, le point matériel est en M0 et sa vitesse initiale est −
v0 .
Au cours du déplacement du point matériel, le fil s’enroule sur le cercle
C, et on supposera que le fil reste toujours tendu.
~j
O
~i
θ
A
→
1 . Exprimer le vecteur vitesse −
v (M )/R du point matériel dans la base
−
−
→ −
→ →
( i , j , k ) en fonction de l’angle θ.
2 . Déterminer les trois équations qui régissent le mouvement du point
matériel.
3 . Montrer que Lθ −
M0
b
Figure 4
R 2
θ = v0 t.
2
4 . Donner l’expression de l’instant t1 auquel le fil est entièrement enroulé sur le cercle C.
1/2
−
→
−
→
t
en
5 . Calculer le module k T k de la tension du fil à tout instant, le mettre sous la forme k T k = α 1 −
τ
explicitant les constantes α et τ en fonction de m, R, L et v0 . L’hypothèse fil tendu est-elle justifiée ?
Exercice 7 -
Méthode de mesure d’un cœfficient de frottement solide
Deux points matériels M et M ′ , de masse respective m et m′ , sont
reliés par un fil inextensible susceptible de glisser sur une poulie
idéale.
Initialement, le fil est tendu et le point M repose sur un support,
à une hauteur h du sol. A l’instant t = 0, on enlève le support,
le point M ′ descend, et le point M se met à glisser sur le plan
horizontal avec un coefficient de frottement f .
On cherche à déterminer expérimentalement le coefficient de frottement f .
En considérant 2 phases pour le mouvement de M (la deuxième
commence lorsque M ′ touche le sol), le but de l’exercice est de
déterminer la distance D parcourue par M avant de s’arrêter et
d’en déduire f , en fonction de m, m′ , h et D.
M (x)
M ′ (z)
z
x
h
O
1 . Appliquer le principe fondamental de la dynamique au système {M (m)} puis au système {M ′ (m′ )}.
2 . Intégrer l’équation du mouvement de M (remarquer qu’il existe une relation très simple entre ẋ et ż qui découle
de l’inextensibilité du fil) pour déterminer l’instant t1 où M ′ touche le sol et la vitesse de M correspondante notée ẋ1 .
3 . Intégrer l’équation du mouvement de M pendant la 2ième phase (attention : les conditions à t = t1 servent
maintenant de "conditions initiales" pour l’intégration).
4 . Déterminer la distance D en fonction de f puis le coefficient de frottement f en fonction de m, m′ , h et D.
S. Bénet
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