Rappels de topologie

Rappels de topologie
pour la Licence
Erwann Aubry
Sommaire
1 Espaces topologiques
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Dénitions, exemples . . . . . . . . .
Voisinages . . . . . . . . . . . . . . .
Topologie induite, topologie produit
Limites et continuité . . . . . . . . .
Compléments . . . . . . . . . . . . .
2 Espaces métriques
2.1
2.2
2.3
2.4
Généralités . . . . . . . . . . . .
Topologie associée à une distance
Continuité, uniforme continuité .
Caractérisations séquentielles . .
3 Espaces connexes
3.1
3.2
3.3
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Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parties connexes de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
1
1
8
12
17
24
27
27
30
35
37
45
45
48
49
ii
3.4
3.5
Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Espaces complets
4.1
4.2
4.3
4.4
Généralités . . . . . . . . . . . . . .
Sous-espaces, espaces produits . . . .
Théorème du point xe . . . . . . .
Critère de Cauchy pour les fonctions
5 Espaces compacts
5.1
5.2
5.3
5.4
Généralités . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés des suites d'un compact .
Parties compactes de R, Rn , C et Cn
Fonctions continues sur les compacts
Bibliographie
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52
54
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59
61
63
64
69
69
71
74
75
77
Chapitre
Sommaire
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Dénitions, exemples
Voisinages
Topologie induite, topologie produit
Limites et continuité
Compléments
1
Espaces topologiques
Nous commençons par un exercice dont le résultat sera souvent utilisé dans
la suite.
Exercice 1.1 Soit E un ensemble et pour tout j P J , soit pAji qiPIj une famille
de parties de E . Montrer qu'on a les formules de commutation suivantes
£ ¤
P
P
Aji
j J i Ij
¤ £
P
P
Aji
j J i Ij
£
¤
pij q P
¹
P
Ij
j J
£
pij q P
¹
P
P
j J
¤
Ij
Ajij
P
Ajij
j J
j J
1.1
1.1.1
Définitions, exemples
Topologie, ouverts
Soit E un ensemble. On note P pE q l'ensemble des parties de E .
1
2
CHAPITRE 1.
Dénition 1.1
E
Une topologie sur
E
ESPACES TOPOLOGIQUES
est une famille
O
vériant les 3 conditions suivantes
1)
€ P pE q de parties de
H et E sont des éléments de O,
2) toute réunion d'éléments de
O
est un élément de
3) toute intersection nie d'éléments de
Les éléments de
O
O
O,
est un élément de
sont appelés les ouverts de la topologie. Le couple
est appelé un espace topologique.
Exemple 1.1
O.
L'ensemble
E
pE, Oq
t1, 2, 3u peut-être muni de 29 topologies dis-
tinctes données par la liste suivante.
(
(
(
H, E ,
O2 H, t1u, E ,
O3 H, t1u, t1, 2u, E ,
(
(
(
O4 H, t1u, t1, 3u, E , O5 H, t1u, t2, 3u, E , O6 H, t1u, t1, 3u, t1, 2u, E ,
(
(
(
O7 H, t2u, E , O8 H, t2u, t1, 2u, E , O9 H, t2u, t1, 3u, E ,
(
(
O10 H, t2u, t2, 3u, E ,
O11 H, t2u, t2, 3u, t1, 2u, E ,
(
(
(
O12 H, t3u, E , O13 H, t3u, t1, 2u, E , O14 H, t3u, t1, 3u, E ,
(
(
O15 H, t3u, t2, 3u, E ,
O16 H, t3u, t1, 3u, t3, 2u, E ,
(
(
O17 H, t1u, t2u, t1, 2u, E ,
O18 H, t1u, t2u, t1, 2u, t1, 3u, E ,
(
O19 H, t1u, t2u, t1, 2u, t2, 3u, E ,
(
(
O20 H, t1u, t3u, t1, 3u, E ,
O21 H, t1u, t3u, t1, 3u, t1, 2u, E ,
(
(
O22 H, t1u, t3u, t1, 3u, t2, 3u, E ,
O23 H, t2u, t3u, t2, 3u, E ,
(
(
O24 H, t2u, t3u, t2, 3u, t1, 2u, E , O25 H, t2u, t3u, t2, 3u, t1, 3u, E ,
(
(
O26 H, t1u, t2u, t3u, t1, 2u, t1, 3u, t2, 3u, E ,
O27 H, t1, 2u, E ,
(
(
O28 H, t1, 3u, E ,
O29 H, t2, 3u, E .
Exemple 1.2 Soit E un ensemble non vide, alors O P pE q dénit une topoO1
logie, appelée topologie discrète. Noter que la topologie est discrète si et seulement si tous les singletons de
E
(i.e. les parties de
E
constituées d'un seul
élément) sont des ouverts.
Exemple 1.3
E
Soit
E
un ensemble non vide, alors
appelée topologie grossière.
tH, E u est une topologie sur
1.1.
3
DÉFINITIONS, EXEMPLES
Tout ensemble E admet donc au moins deux topologies.
Dénition 1.2
O,O1 deux topologies sur E . On dit que
1
1
si O € O (i.e. si tout ouvert de O est un ouvert de O ).
E
Soit
O est plus ne que O1
un ensemble et
Cela dénit une relation d'ordre sur les topologies de
Remarque 1.1
logie
O4 .
E.
O6 est plus ne que la topone sont pas comparables (l'ordre
Dans l'exemple 1.1, la topologie
En revanche les topologies
O6
et
O8
n'est pas total). La topologie grossière est la moins ne des topologies de
E
et
la topologie discrète la plus ne.
Lemme 1.1
Oi
Si
P
i I
est une famille de topologie sur
E
alors
E.
une topologie sur
O
iXPI Oi est
Preuve. On a E, H P Oi pour tout i donc E, H P O . Si pΩα qαPA est une
famille d'éléments de O, alors pour tout i P I et tout α P A, on a Ωα P Oi et
donc Y Ωα P Oi pour tout i P I . D'où Y Ωα P O.
P
P
α A
α A
De même, O est stable par intersection nie.
Dénition 1.3
Soit
A
une famille de parties de
dent, l'intersection de toutes les topologies de
sur
E
contenant
la note
A.
l
E
E.
D'après le lemme précé-
contenant
A
est une topologie
On l'appelle la topologie engendrée par la famille
A,
et on
OA .
La proposition suivante donne la construction pratique de la topologie engendrée par une famille de parties A.
A1 A Y tH, E u et A2 la famille des intersections
1
nies d'éléments de A . Alors la topologie OA est l'ensemble des réunions quel2
conques d'éléments de A (i.e. OA est l'ensemble des réunions d'intersections
Proposition 1.2
On note
nies d'éléments de
A).
Preuve. On note A3 l'ensemble des réunions quelconques d'éléments de
2
A . OA contient A3 par dénition, et A3 est une topologie qui contient A,
d'après le théorème suivant appliqué à la famille P A2 . l
Théorème 1.3
parties de
E
Soit
vériant
E
un ensemble quelconque et
P
€ P pE q une famille de
4
CHAPITRE 1.
P
1) La famille
est stable par intersections nies (i.e. l'intersection d'un
nombre ni d'éléments de
2)
3)
ESPACES TOPOLOGIQUES
P
est un élément de
P ),
OYPP O,
H P P.
E
O pP q
Alors l'ensemble
logie sur
E.
P
P.
des réunions quelconques d'éléments de
C'est la topologie de
E
engendrée par la famille
est une topo-
Preuve. Il est clair que O pP q est stable par réunion quelconque et contient
E et H.
Si pOj q1¤j ¤k est une famille nie d'éléments de OpP q, alors pour tout j il
existe une famille Ωji iPI d'éléments de P telle que Oj YiPIj Ωji . D'après
j
l'exercice 1.1, on a alors
k
£
Oj
j 1
k ¤
£
P
Ωji
j 1 i Ij
¤
pi1 , ,ik qPI1 Ik
Ω1i1
et comme P est stable par intersection nie, on a bien
Exemple 1.4
verts de
R.
Soit
O
X X Ωki
k
“k
Oj P OpP q. l
j 1
la topologie engendrée par la famille des intervalles ou-
C'est la topologie usuelle de
R. Comme tout intersection nie d'inR est soit vide, soit un intervalle ouvert de R, les ouverts de
R pour la topologie usuelle sont H, R et toute réunion YiPI sai , bi r d'intervalles
sai , bi r iPI ouverts de R.
Un intervalle de la forme sa, br est donc ouvert pour cette topologie. En
revanche, les intervalles J de la forme ra, bs, ra, br ou sb, as ne sont pas ouverts
car si J YiPI sai , bi r, alors il existerait i0 P I tel que a Psai0 , bi0 r€ J , ce qui
contredit le fait que a est la borne supérieure ou inférieure de J .
tervalles ouverts de
Exemple 1.5 On note R R Y t8, 8u. Soit O l'ensemble formé
R et toute réunion d'intervalles de la forme sa, br, ou r8, br, ou sa,
a et b sont des réels). C'est la topologie usuelle de R.
1.1.2
par H,
8s (où
Fermés
Dénition 1.4
un fermé de
E
des fermés de
Soit
pE, Oq un espace topologique et F € E . On dit que F est
E zF est un ouvert de E . On note F l'ensemble
si et seulement si
E.
1.1.
5
DÉFINITIONS, EXEMPLES
Remarque 1.2
Une partie de
E
peut-être ni ouverte ni fermée (par exemple
r0, 1r dans R). De même un partie de E peut-être ouverte et fermée (par exemple
E et H).
Proposition 1.4
L'ensemble
F
des fermés de
E
vérie les propriétés sui-
vantes
1)
H et E sont des fermés,
2) toute intersection de fermés est un fermé,
3) toute réunion nie de fermés est un fermé.
Ces propriétés des parties fermées découlent directement des propriétés vériées par les parties ouvertes d'une topologie et des égalités suivantes
Ez
YiPI Oi XiPI E zOi
Ez
,
XiPI Oi YiPI E zOi
.
Remarquez qu'une partie est ouverte si et seulement si son complémentaire
est fermé. Ainsi, une topologie peut aussi bien être dénie par la donnée de
l'ensemble de ses ouverts que par la donnée de l'ensemble de ses fermés.
Exemple 1.6
Pour la topologie usuelle de
ra, br, sa, bs et sa, br ne sont pas fermés.
R, ra, bs
est fermé et les intervalles
R, ra, 8r et s 8, as sont des
1r, Z est un fermé de R. En revanche, Q et
RzQ ne sont ni ouverts ni fermés dans R (par construction de R, tout intervalle
ouvert de R contient un rationnel et un irrationnel et donc, ni Q, ni RzQ ne
peut-être la réunion d'une famille d'intervalle ouvert de R).
Exemple 1.7
Pour la topologie usuelle sur
fermés. Comme
1.1.3
Z RzYkPZ sk, k
Adhérence, intérieur, frontière
Proposition-dénition 1.5
tie de
Soit
E.
pE, Oq un espace topologique et X une par-
a) Il existe un plus petit fermé contenant
meture) de
X
dans
E.
On le note
X,
appelé l'adhérence (ou la fer-
X.
b) Il existe un plus grand ouvert contenu dans
dans
E.
On le note
Int X .
X,
appelé l'intérieur de
X
6
CHAPITRE 1.
X E zX , on le note Fr X .
On appelle extérieur de X l'ensemble IntpE zX q, on le note Ext X .
c) On appelle frontière de
d)
ESPACES TOPOLOGIQUES
X
l'ensemble
X
Preuve.
a) Soit F 1 l'ensemble des fermés de E qui contiennent X . Alors F0 XF PF 1 F
est un fermé de E contenant X . Si F1 est un autre fermé de E contenant
X , alors F1 P F 1 et donc F1  F0 . On en déduit que F0 est le plus petit
fermé de E contenant X .
l
b) De même, si O1 est l'ensemble des ouverts de E contenus dans X , alors
O0 YOPO1 O est le plus grand ouvert de E contenu dans X .
Si pE, O q pR, topologie usuelleq et X sa, br, alors X ra, bs.
ra, bs est un fermé de R qui contient sa, br et donc sa, br€ X € ra, bs.
X ne peut donc être égal qu'à sa, br, ra, br, sa, bs ou ra, bs. Comme seul le dernier
de ces intervalles est fermé dans R pour la topologie usuelle, on a sa, br ra, bs.
Exemple 1.8
En eet,
Proposition 1.5
et l'extérieur de
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Soit
X
X
une partie de
E . L'adhérence, l'intérieur, la frontière
vérient les propriétés suivantes
X si et seulement si X est fermé,
X Int X si et seulement si X est ouvert,
E zX E z Int X ,
Ext X IntpE zX q E zX ,
Fr X est un fermé de E et Fr X E z Int X Y Ext X ,
Ext X X Int X H et donc, pour toute partie X de E , E est la réunion
X
disjointe de
Int X ,
de
Ext X
et de
Fr X .
Preuve.
X alors X est fermé.
Réciproquement, si X est fermé alors X € X (car X est le plus petit
fermé qui contient X ). Comme on a toujours X € X par dénition de
X , on obtient X X .
1) X est un fermé par dénition, donc si X
1.1.
7
DÉFINITIONS, EXEMPLES
2) la preuve est similaire à celle de 1q.
3) On a Int X € X , donc E zX € E z Int X . Or E z Int X est un fermé, et
E zX est le plus petit fermé de E contenant E zX , donc pE z Int X q 
E zX  E zX .
Réciproquement, comme E zpE zX q est un ouvert de E contenu dans X ,
on a Int X  E zpE zX q. Donc E z Int X € E zX . On en déduit l'égalité.
4) Soit Y E zX , alors d'aprés l'égalité 3), on a E zY E z Int Y , d'où
E zpE zX q E z IntpE zX q, i.e. X E z IntpE zX q, ce dont on déduit
E zX IntpE zX q.
5) Fr X X X E zX , donc Fr X est fermé et E z Fr X pE zX q Y E zpE zX q,
d'où E z Fr X IntpE zX q Y IntpE zpE zX qq Ext X Y Int X .
6) Comme Int X € X et Ext X € pE zX q, on a Int X
dernière assertion découle alors de 5q.
l
X Ext X H. La
Les propriétés suivantes découlent directement des dénitions mais sont très
souvent utilisées.
Proposition 1.6
A€F
1) Si
et
Soit
F
A
une partie de
est un fermé de
E.
E,
alors
A € F.
€ A et O est un ouvert de E , alors O € Int A.
3) Si O X A H et O est un ouvert de E , alors O € Ext A.
Proposition 1.7 Soit pE, Oq un espace topologique et A et B deux parties de
O
2) Si
E.
On a
1) si
A € B,
A€B
et
Int A € Int B .
A Y B et IntpA Y B q Int A Y Int B .
3) A X B € A X B et IntpA X B q Int A X Int B .
Preuve. Exercice. l
Exemple 1.9 Si A s0, 1r et B s1, 2r, alors A X B H H (car H est
fermé). Or A X B r0, 1s X r1, 2s t1u. Cet exemple montre qu'en général
2)
AYB
alors
l'inclusion dans 3) n'est pas une égalité.
8
CHAPITRE 1.
1.1.4
ESPACES TOPOLOGIQUES
Parties denses
Dénition 1.6
dite dense dans
Soit
E
pE, Oq un espace topologique et D une partie de E . D est
D E.
si et seulement si
La propriété suivante est une caractérisation très pratique des parties denses.
Proposition 1.8
de
E
rencontre
D
est dense dans
E
si et seulement si tout ouvert non vide
D.
Preuve. Si D n'est pas dense alors D E , donc E zD est un ouvert non
vide de E qui n'intercepte pas D (car D € D).
Réciproquement, si O P O est un ouvert non vide de E tel que O X D H,
alors D est inclue dans le fermé E zO, et donc D € pE zOq E . l
On considère R muni de sa topologie usuelle et X Q. Alors
Q est dense dans R. En eet pour tout intervalle sa, br non vide de R, on note
rn le nombre décimal obtenu en gardant les n premiers chires après la virgule
a b
a b
dans l'écriture décimal de 2 ). Comme a 2 b, on a rn Psa, br pour n
assez grand. Comme tout ouvert de E est réunion d'intervalles sa, br, on obtient
la densité de Q dans R.
? ?
De même RzQ est dense dans R car si r est un rationnel de sa{ 2, b{ 2r,
?
alors
2r est un irrationnel de sa, br. On en déduit que Q est d'intérieur vide
et que FrpQq R.
Exemple 1.10
1.2
Voisinages
1.2.1
Définition, systèmes fondamentaux
Soit pE, O q un espace topologique et a P E . On dit qu'une
E est un voisinage de a dans E s'il existe un ouvert O de E
a P O € V . On note V paq l'ensemble des voisinages de a.
Dénition 1.7
partie
V
vériant
de
Proposition 1.9
1) Pour tout
V
2) Pour tout
V
a.
Les voisinages d'un point vérient les propriétés suivantes.
P V paq, a P V .
P V paq et tout U € E , si V € U alors U est un voisinage de
1.2.
9
VOISINAGES
3) toute intersection nie de voisinages de
a
est un voisinage de
a.
Preuve. 1) et 2) sont évidentes. Si pVi q1¤i¤n sont des voisinages de a alors
il existe Oi P O tel que a P Oi € Vi . On en déduit que X1¤i¤n Oi est un ouvert
contenant a et contenu dans X1¤i¤n Vi . l
Dénition 1.8
voisinage
V
Une partie
(noté SFV) de
P V 1 paq tel que V € U .
Exemples 1.11
1) Soit
a,
2) Soit
V paq
est appelée
système fondamental de
U
P V paq,
il existe
pE, Oq un espace topologique V 1 paq tO P O{ a P Ou est un SFV de
R
muni de la topologie usuelle et
R
sa 1{n, a
a.
1{nr
nPN
a P R,
alors
sa , a
est un SFV de
a
r
¡
est
0
dénombrable,
sa, 8s aPR
8s nPN est un SFV dénombrable de 8.
muni de la topologie usuelle, alors
8. sn,
1.2.2
de
si et seulement si pour tout
les SFV suivants seront souvent utilisés
un SFV de
3) Soit
a
V 1 paq
est un SFV de
Caractérisations des ouverts et des fermés
Théorème 1.10
et seulement si
Soit
O
pE, Oq un espace topologique. O est un ouvert de E si
est un voisinage de chacun de ses points.
Preuve. Si O est un ouvert alors c'est évidemment un voisinage de chacun
de ses points. Réciproquement, si O est un voisinage de chacun de ses points,
alors pour tout a P O, il existe un ouvert Ua € O tel que a P Ua . D'où
O € Ya Ua € O. Donc O est ouvert comme réunion d'ouverts. l
Proposition 1.11
lités
Soit
pE, Oq un espace topologique et A € E . On a les éga-
Int A tx P E { DV
P V pxq{V € Au tx P E { A P V pxqu.
Dénition 1.9 Soit pE, Oq un espace topologique, A € E et x P E
1) On dit que
a
V
x
est adhérent à
X A H.
A
si et seulement si pour tout
V
P V pxq, on
10
CHAPITRE 1.
2)
x
V
est un point isolé de
3)
x
est un point d'accumulation de
X A txu.
l'ensemble
Remarque 1.3
à
A
ESPACES TOPOLOGIQUES
si et seulement si il existe
A
pV ztxuq X A est inni.
si et seulement si pour tout
V
P V pxq,
A mais un point adhérent
1 est adhérent à r0, 1r dans
Les points isolés et les points d'accumulation de
A sont des points adhérents
Les points de
n'est pas nécessairement dans
sont adhérents à
A
R).
Un point isolé de
à
P V pxq tel que
(par exemple
A
A
V
A
est dans
A.
A.
V pxq par
V 1 pxq de x. Par exemple, x est adhérent à A si et seulement
V P V 1 pxq, on a V X A H.
Remarque 1.4
Dans chacune de ces dénitions, on peut remplacer
n'importe quel SFV
si pour tout
Proposition 1.12
si
x
Soit
A
une partie de
E. x
est adhérent à
A
si et seulement
P A (i.e. l'adhérence A de A est l'ensemble des points adhérents à A).
Autrement dit, on a
A tx P E { @V
P V pxq, V X A Hu
Preuve. Montrons que l'ensemble S des points de E adhérents à A est un
fermé de E . En eet, si y P E zS alors il existe V P V py q tel que V X A H. Il
existe donc un ouvert O de E tel que y P O et O X A H. Comme O est un
voisinage de chacun de ses points, on a O € E zS . Et donc E zS est un ouvert
de E . Comme A € S , on a A € S .
Réciproquement, si y P E zA, alors E zA est un voisinage de y qui n'intercepte pas A (car A € A) et donc y P E zS . D'où E zA € E zS et S € A. l
Proposition 1.13
vide de
R.
Si
A
Soit
R
muni de la topologie usuelle et
est majorée, on a
est dans l'adhérence de
A
dans
R.
sup A P A.
On a le même genre de propriété pour
Si
A
A
une partie non
n'est pas majorée alors
8
inf A.
Si A est majorée alors sup A 8. Comme s sup A , sup A
r ¡0 est un SFV de sup A, et que sup A est strictement plus petit que sup A,
Preuve.
1.2.
11
VOISINAGES
ça ne peut pas être un majorant de A, donc il existe a P AXs sup A , sup As
pour tout ¡ 0. On en déduit que sup A est dans l'adhérence de A dans R.
Si A n'est pas majorée alors sup A 8 et pour tout n P N, on a A X
rn, 8s H. Or rn, 8s est un SFV de 8 dans R, et donc 8 est dans
l'adhérence de A dans A. l
t n1 , n P N u. Alors tout point n1 de A est un point
1
1
isolé de A (car AXs n 1 , n1 r t n u) et 0 est un point d'accumulation de A
1
1 1
est un système de voisinage de 0 dans R, k P A X
dans R car s n , n r
nPN
1 1
s n , n r zt0u pour tout k ¥ n. Réciproquement, soit x P Rz A Yt0u . Si x ¡ 0
1
1
1
alors O s E pxq , E pxq 1 r est un voisinage de x (car x R N) vériant O X A H
et donc x R A. Si x 0, alors O s 8, 0r est un voisinage de x tel que
O X A H et donc x R A. On en déduit que A t0u Y A dans R.
Exercice 1.2 Soit A t n1 m1 , pn, mq P pN q2 u. Déterminer l'adhérence et
Exemples 1.12
Soit
A
1
les points d'accumulation de
1.2.3
A
dans
R.
Espaces séparés (ou de Hausdorff)
pE, Oq est séparé si et seulement si pour tout points distincts
px, yq de E , il existe V P V pxq et W P V pyq tels que V X W H.
Exemple 1.13 1) Si E est muni de la topologie discrète alors txu et tyu
Dénition 1.10
sont des ouverts disjoints si
2) Si
E
R
et
y
sont distincts, donc
est muni de la topologie grossière et
séparé (pour tout
3)
x
x P E, E
#E
¥
est le seul voisinage de
muni de la topologie usuelle est séparé,
R
2,
x),
E
est séparé,
alors
E
n'est pas
aussi.
Proposition 1.14 Si E est un espace topologique séparé alors pour tout l P E ,
XV PV plq V tlu.
on a
Preuve. Si V P V plq alors l P V donc l P XV PV plq V . Réciproquement, si
P E ztlu alors il existe V P V plq tel que y R V et donc y R XV PV plq V . D'où
XV PV plq V € tlu. l
y
Exercice 1.3
Montrer que la seule topologie séparée sur un ensemble ni est
la topologie discrète (indic. montrer que les singletons sont alors tous ouverts).
12
CHAPITRE 1.
ESPACES TOPOLOGIQUES
pE, Oq est séparé et V 1 pxq est un SFV de x, alors x est
un point d'accumulation de A si et seulement si pV ztxuq X A H pour tout
V P V 1 pxq.
Proposition 1.15
En particulier,
d'accumulation de
Si
A est la réunion disjointe des points isolés de A et des points
A (ce qui n'est pas vrai si E n'est pas séparé).
Si x est un point d'accumulation alors pour tout V P V 1 pxq,
V ztxu X A est inni donc non vide. Réciproquement, s'il existe V0 P V 1 pxq, tel
que V0 ztxu X A ty1 , , yp u est ni et si E est séparé, alors pour tout i il
existe Vi P V 1 pxq tel que yi R Vi . Or V X0¤i¤p Vi est un voisinage de x et
V ztxu X A H. On en déduit que si pV ztxuq X A H pour tout V P V 1
alors pV ztxuq X A H est inni pour tout V P V 1 et donc x est un point
d'accumulation. l
Preuve.
Remarque 1.5
E
Dans le cas
non séparé, on peut avoir des points adhérents
qui sont ni isolés, ni d'accumulation. Par exemple
logie grossière n'est pas séparé et tout point de
aucun n'est ni isolé, ni d'accumulation.
E
E
t1, 2u muni de la topoA t1u, mais
est adhérent à
t n1 , n P N u. Alors tout point n1 de A est un point
1
1
isolé de A (car AXs n 1 , n1 r t n u) et 0 est un point d'accumulation de A
1 1
1
dans R car s n , n r
est un système de voisinage de 0 dans R, 2n P
nPN
1 1
A X s n , n r zt0u pour tout n P N et R est séparé. Réciproquement, soit
x P Rz A Y t0u . Si x ¡ 0 alors O s E p1xq , E px1q 1 r est un voisinage de x (car
1
x R N) vériant O X A H et donc x R A. Si x 0, alors O s 8, 0r est un
voisinage de x tel que O X A H et donc x R A. On en déduit que A t0uY A
Exemples 1.14
dans
Soit
A
1
R.
Soit
R
A R. Alors A R car R n'étant
8 P A (8 P A). Tout point de R est un point
muni de la topologie usuelle et
pas majorée (minorée), on a
d'accumulation de
Exercice 1.4
A.
Soit
A
t n1
les points d'accumulation de
1.3
1.3.1
A
p
q P pN q2 u. Déterminer l'adhérence et
1
m , n, m
dans R.
Topologie induite, topologie produit
Topologie induite
Soit pE, Oq un espace topologique et A une partie de E .
1.3.
13
TOPOLOGIE INDUITE, TOPOLOGIE PRODUIT
Proposition 1.16
induite sur
A
AXO
P
O O
par la topologie de
dénit une topologie sur
A
appelée topologie
E.
A A X E et H HX A, donc A X O OPO contient A et H. Si
pA X Oi qiPI est une famille de A X O OPO , alors YiPI pA X Oi q A X pYiPI Oi q
donc A X O OPO est stable par réunion quelconque. De même, A X O OPO
est stable par intersection nie. l
Preuve.
Proposition 1.17
D'après la dénition, les ouverts de
induite sont les traces sur (intersections avec)
A
A
pour la topologie
des ouverts de
E.
De même,
on a
1)
X A F PF
F
fermés de
A
F
est l'ensemble des fermés de
E)
E.
est la famille des
X A V PV paq est la famille des voisinages de a dans A
pour la topologie induite (où V paq est la famille des voisinages de a dans
2) Soit
a P A,
(où
pour la topologie induite par celle de
alors
V
E ).
3) Si
V1
dans
est un SFV de
A
a
dans
E
alors
pour la topologie induite.
tV X A, V P V 1 u est un SFV de a
Preuve.
1) F 1 est un fermé de A pour la topologie induite si et seulement si AzF 1 est
un ouvert de A pour la topologie induite, i.e. si et seulement si il existe
O P O tel que AzF 1 A X O. Donc F 1 est un fermé de A pour la topologie
induite si et seulement si il existe O P O tel que F 1 AzpAzF 1 q AzpA X Oq A X pE zOq, i.e. si et seulement si il existe F P F tel que
F1 A X F.
2) Si V P V paq alors il existe O P OpE q tel que a P O € V . Alors a P
A X O € A X V , et donc A X V est un voisinage de a dans A pour
la topologie induite. Réciproquement, si V 1 est un voisinage de a dans
A pour la topologie induite, alors il existe un ouvert A X O de A (i.e.
O P OpE q) tel que a P A X O € V 1 . Alors V O Y V 1 vérie a P O € V ,
donc V est un voisinage de a dans E et on a V X A pO Y V 1 q X A pO X Aq Y pV 1 X Aq pO X Aq Y V 1 V 1 .
14
l
CHAPITRE 1.
ESPACES TOPOLOGIQUES
3) Soit V 1 V X A un voisinage de a dans A pour la topologie induite,
avec V voisinage de a dans E . Si V 1 est un SFV de a dans E alors il
existe W P V 1 tel que W € V et donc W X A € V 1 . On en déduit que
tV X A, V P V 1 u est un SFV de a dans A pour la topologie induite.
Soit E R muni de la topologie usuelle et A s0, 1r. Alors
s0, 1{2s r1{2, 1{2s X A est un fermé de A pour la topologie induite par celle
de A. En particulier, l'adhérence de s0, 1{2s dans A est s0, 1{2s (alors quelle est
r0, 1{2s dans R).
Exemple 1.15
Il faut retenir de cet exemple que les notions d'ouverts, fermés, adhérence,
voisinages ne sont pas intrinsèques mais dépendent de la topologie de l'espace
ambiant. Ainsi, dire que r0, 1r n'est pas un fermé de R a un sens mais dire que
r1 8r est un fermé n'a pas de sens. Il faut préciser la topologie et l'ensemble
dans lequel la partie est considérée (r1, 8r est un fermé de R pour la topologie
usuelle, mais n'est pas un fermé de
Proposition 1.18
Soit
de la topologie induite et
Si
B
A
pour la topologie usuelle).
pE, Oq un espace topologique, A une partie de E munie
B € A.
est un ouvert de
induite. Si
R
E,
est ouvert dans
alors
E,
B
alors
est un ouvert de
B
est ouvert dans
A pour
A pour
la topologie
la topologie
B est ouvert dans E .
Si B est fermée dans E alors B est fermée dans A pour la topologie induite.
Si A est fermée dans E , alors B est fermée dans A pour la topologie induite si
et seulement si B est fermée dans E .
induite si et seulement si
Preuve. Si B P O pE q alors, comme B B X A, B est ouvert dans A pour
la topologie induite. Si A P OpE q et B est un ouvert dans A pour la topologie
induite, alors il existe O P OpE q tel que B O X A, et donc B est un ouvert
de E comme intersection de 2 ouverts de E .
La preuve est la même pour les fermés. l
Proposition 1.19
Si
X
Soit
E
est l'adhérence de
un espace topologique et
X
dans
E
et
X
1
X
€ E 1 des parties de E .
l'adhérence de
1
X
dans
E1
(pour la
1
topologie induite par celle de E ) alors on a X X X E .
1
1
Si Int X est l'intérieur de X dans E et Int X l'intérieur de X dans E
1
1
(pour la topologie induite par celle de E ) alors on a Int X Int X X E
1.3.
15
TOPOLOGIE INDUITE, TOPOLOGIE PRODUIT
1
X est l'intersection des fermés de E 1 pour la topologie induite
contenant X . Or ces fermés sont les intersections des fermés de E contenant X
1
avec E 1 . Donc X est l'intersection des fermés de E contenant X avec E 1 . D'où
le résultat.
Int1 X est la réunion des ouverts de E 1 pour la topologie induite contenus
dans X . Or ces ouverts sont les intersections des ouverts de E contenus dans
X avec E 1 . Donc Int1 X est l'intersection des ouverts de E contenus X avec E 1 .
D'où le résultat. l
Preuve.
Proposition 1.20
Si
pE, Oq est une topologie séparée et A une partie de E ,
alors la topologie induite sur
A
par la topologie de
E
est séparée.
Preuve. Si x et y sont deux points distincts de A, alors il existe U P VO pxq
et V P VO py q tels que U X V H. Or U X A et A X V sont des voisinages de x
et y pour la topologie induite sur A, et sont disjoints. On en déduit que A est
séparé pour la topologie induite. l
Proposition 1.21 (transitivité de la topologie induite)
pace topologique et
induite sur
1
OB
A
B
€A€E
par celle de
deux parties de
E.
On note
Soit
OA
E , OB la topologie induite sur B par
1.
B par OA . Alors on a OB OB
pE, Oq un es-
la topologie
celle de
E
et
la topologie induite sur
Preuve. Si U P OB , alors il existe O P O pE q tel que U O X B . Or
1.
A X O P OA et donc U B X O B X pA X Oq P OB
1
Réciproquement, si U P OB , alors il existe O P OA tel que U B X O et
O1 P OpE q tel que O A X O1 . On a donc U B X pA X O1 q B X O1 et
U P OB . l
Dénition 1.11
Une partie
topologie induite par celle de
Proposition 1.22
points de
D
D
D de E est dite discrète
E est la topologie discrète.
est un partie discrète de
E
si et seulement si la
si et seulement si tous les
sont isolés.
Preuve. Si D est discrète, alors pour tout x P D , txu est un ouvert
de D pour la topologie induite. Il existe donc un ouvert O P OpE q tel que
txu O X D. On en déduit que x est isolé.
16
CHAPITRE 1.
ESPACES TOPOLOGIQUES
Réciproquement, si x P D est isolé alors il existe V P V pxq tel que V X D txu. On en déduit qu'il existe un ouvert O de E tel que txu O X D. En
particulier, txu est un ouvert de D pour la topologie induite. Si tous les points
de D sont isolés, alors tous les singletons de D sont ouverts dans D pour
la topologie induite, et donc toute partie de D est ouverte pour la topologie
induite. On en déduit que D est une partie discrète de E . l
Exemple 1.16
R
et
de
R.
R
La topologie usuelle de
R induit sur R la topologie usuelle de
R. Donc A € R est un ouvert de R ssi c'est un ouvert
A € R est un fermé de R alors c'est un fermé de R mais
et un ouvert de
En revanche, si
la réciproque est fausse.
Si
R
est muni de la topologie usuelle alors
discrète (mais non fermée de
tnu sn 1, n
Exercice 1.5
1rXZ
Soit
est un point isolé de
induite par celle de
1.3.2
R). Z
A
t n1 , n P Nu est un partie
est aussi une partie discrète de
est un ouvert de
Z
R
car
pour la topologie induite.
pE, Oq un espace topologique et A € E . Montrer que a P A
A si et seulement si tau est un ouvert de A pour la topologie
E.
Topologie produit
Soit pE1 , O1 q et pE2 , O2 q deux espaces topologiques.
On appelle ouvert élémentaire de E1 E2 toute
€ E1 E2 de la forme Ω O1 O2 , où O1 est un ouvert de E1 et
Proposition-dénition 1.12
partie
Ω
O2 est un ouvert de O2 . La famille formée de l'ensemble vide et des réunions
quelconques d'ouverts élémentaires dénit une topologie sur E1
E2 appelée
topologie produit.
Preuve. E1 E2 et H H H sont des ouverts élémentaires. De plus,
pO1 O2 q X pO11 O21 q pO1 X O11 q pO2 X O21 q, on en déduit que toute
intersection nie d'ouverts élémentaires est un ouvert élémentaire. On conclut
grâce au théorème 1.3. l
Dénition 1.13
On appelle topologie usuelle sur
produit successif de la topologie usuelle de
R.
Rn
la topologie obtenue par
1.4.
17
LIMITES ET CONTINUITÉ
p
Proposition 1.23
qP
V2 qV PV pa q, V PV pa q
E2 . Plus généra1
et V pa2 q est un SFV de a2 alors V1 Soit a
a1 , a2
E1 E2 alors V1
est un système fondamentale de voisinage de a dans E1
lement, si
V2
V 1 pa1 q
est un SFV de
V1 PV 1 pa1 q, V2 PV 1 pa2 q
a1
est un SFV de
1
1
2
2
a.
Preuve. Soit Ω un ouvert de la topologie produit contenant pa1 , a2 q. Alors
il existe une famille Ωi Ui Vi d'ouverts élémentaires tels que Ω YiPI Ωi . Or
il existe i0 P I tel que pa1 , a2 q P Ωi0 Ui0 Vi0 , et comme Ui0 est un ouvert de
E1 et V 1 pa1 q un SFV de a1 , il existe W1 P V 1 pa1 q tel que W1 € Ui0 . De même, il
existe W2 P V 1 pa2 q tel que W2 € Vi0 . Alors pa1 , a2 q P W1 W2 € Ui0 Vi0 € Ω.
l
Exemple 1.17 Soit Rn muni de la topologie usuelle et a pa1 , . . . , an q P Rn .
n
La famille Πi1 sai i , ai
i r p ,..., qPpR q est un SFV de a. De même, la
n
famille Πi1 sai , ai
r PR est un SFV de a.
1
Proposition 1.24
Si
E1
et
E2
n
n
sont séparés alors
E1 E2
est séparé.
Preuve. Si px1 , y1 q et px2 , y2 q sont deux points distincts de E1 E2 alors
soit x1 x2 , soit y1 y2 . Si on suppose que x1 x2 alors, comme E1 est
séparé, il existe U1 P VE1 px1 q et U2 P VE1 px2 q tel que U1 X U2 H. On a donc
Vi Ui E2 P VE1 E2 pxi , yi q et V1 X V2 H. Si y1 y2 , on procède de
même en utilisant que E2 est séparé. l
Exemple 1.18
1.4
La topologie usuelle de
Rn
est séparée.
Limites et continuité
1.4.1
Limites de fonctions
Soit E et F deux espaces topologiques, X € E non vide et
X . Soit f : X Ñ F une fonction et l P F . On dit que f tend vers l
quand x tend vers a en restant dans X si et seulement si pour tout voisinage
V P VF plq, il existe un voisinage U P VE paq tel que f pU X X q € V (i.e. tel que
U X X € f 1 pV q).
Dénition 1.14
a
P
Remarque 1.6
Dans la dénition précédente, on peut remplacer
par n'importe quels SFV de
l
et
a
respectivement.
V plq
et
V paq
18
CHAPITRE 1.
ESPACES TOPOLOGIQUES
L'exemple suivant montre que la limite n'est pas toujours unique.
Exemple 1.19
Soit
f :E
ÑF
une fonction et
topologie grossière, alors tout point
Théorème 1.25
Si
F
lPF
a
P E . Si F
est une limite de
f
est muni de la
en
a P E.
est séparé, alors la limite est unique (quand elle existe).
Supposons que f admet deux limites l l1 de f en a quand
x P X . Comme F est séparé, il existe des voisinages W P V plq et W 1 P V pl1 q
tels que W X W 1 H. Or par hypothèse, il existe V P V paq et V 1 P V tels
que f pV X X q € W et f pV 1 X X q € W 1 . On en déduit que f pV X V 1 X X q €
W X W 1 H, et donc X X V X V 1 H. Ceci contredit a P X car V X V 1 est
un voisinage de a. l
Preuve.
Dénition 1.15
Si
F
est séparé, on peut parler de
quand elle existe, sera notée
x
lim
Ña, xPX
f pxq.
la limite de f . Cette limite,
E ztau et a P X , on notera xÑlim
f pxq.
a, xa
Si E R muni de la topologie usuelle et si X ra, 8r, on note
lim f pxq.
xÑa, x¥a
Si E R muni de la topologie usuelle et si X sa, 8r, on note
lim f pxq.
xÑa, x¡a
Si E R muni de la topologie usuelle et si X Rztau, on note
lim f pxq.
xÑa, xa
Si E R muni de la topologie usuelle et si X rb, ar, avec a 8, on
note lim f pxq.
xÑ 8
Dans le cas particulier où
Proposition 1.26
X
E un espace topologique, a P X € E , F un espace
f : X Ñ F . Si l lim f pxq existe alors l f paq.
Soit
topologique séparé et
x
Ña, xPX
Preuve. Par hypothèse, pour tout V P V plq, il existe U P V paq tel que
f pX X U q € V . Or, pour tout U P V paq, on a a P X X U (car on a supposé
a P X ), et donc f paq P V pour tout V P V plq. Comme F est séparé, on a
tlu XV PV plq V , d'où l f paq. l
Soit E un espace topologique, pxn qnPN une suite de points de
l P E . On dit que pxn qnPN tend vers l si et seulement si pour tout V P V plq,
existe n0 P N tel que pour tout n ¥ n0 on a xn P V .
Si F est séparé, la limite l est unique et on note l lim xn .
Dénition 1.16
E
il
et
n
Ñ 8
1.4.
19
LIMITES ET CONTINUITÉ
Proposition 1.27
Soit
E , F1
et
F2
des espaces topologiques,
X
une partie de
P X , f1 : X Ñ F1 , f2 : X Ñ F2des fonctions et f : X Ñ F1 F2 la
fonction dénie par f pxq f1 pxq, f2 pxq .
Alors f pxq tend vers pl1 , l2 q quand x tend vers a en restant dans X si et
seulement si f1 pxq tend vers l1 quand x tend vers a en restant dans X et f2 pxq
E
et
a
tend vers l2 quand
x
tend vers
a
en restant dans
X.
Preuve. Cela découle facilement du fait que V1 V2 qV1 PV pl1 q, V2 V pl2 q est
un SFV de pl1 , l2 q. l
1.4.2
Limites de suites
La notion de limite d'une suite pxn qnPN d'éléments d'un espace topologique est
un cas particulier de limite de fonction.
p q
Dénition 1.17
P
Si xn n N est une suite d'éléments de E et X : N
est la fonction dénie par X n
xn pour tout n
N, alors lim
n
n
lim
Ñ 8,nPN
X pnq
où
N
pq
P
Ñ 8
est muni de la topologie induite par celle de
R
Ñ
xn
E
(on a bien
8 P N). Autrement dit, lim xn l si et seulement si pour tout V P V plq, il
m P N tel que xn P V pour tout n ¥ m.
Comme 8 est le seul point adhérent à N dans R sans être dans N, la seule
notion de limite intéressante pour les suites est la limite en
8.
Proposition
1.28 Soit F1 et F2 deux espaces topologiques, pxn qnPN pyn , zn qnPN P
N
F1 F2 une suite de F1 F2 et l pl1 , l2 q P F1 F2 .
Alors pxn qnPN tend vers l si et seulement si pyn qnPN tend vers l1 et pzn qnPN
existe
tend vers l2 .
1.4.3
Continuité en un point
Dénition 1.18
tion et
a
P
E.
Soit
E
et
On dit que
F
f
deux espaces topologiques,
est continue en
a
f :E
ÑF
P VF pf paqq, il existe U P VE paq tel que f pU q € V
f pxq tend vers f paq lorsque x tend vers a).
encore on peut remplacer V paq et V pf paqq par des SFV de a
voisinage
une fonc-
si et seulement si pour tout
V
(i.e. si et
seulement si
Ici
On en déduit directement la propriété suivante.
et
f paq.
20
CHAPITRE 1.
Proposition 1.29
a
Si
est un point isolé de
E
ESPACES TOPOLOGIQUES
alors
f
est continue en
a.
Les liens entre continuité et limites sont donnés par les propositions suivantes.
La première découle directement des dénitions.
Proposition 1.30
une limite de
f
en
f : E
a.
ÑF
est continue en
a
si et seulement si
f paq
est
Dans le cas où F est séparé, alors f paq est la seule limite possible. On en
déduit le résultat suivant.
Proposition 1.31
aPE
Si
F
si et seulement si
Preuve.
est un espace séparé, alors
f
a une limite en
a.
f :E
On a alors
Si f est continue en a alors lim f pxq
Ña
Ñ F est continue
lim f pxq f paq.
x
en
Ña
f paq par dénition, et
donc lim f pxq existe. Réciproquement, si lim f pxq existe, alors cette limite est
x
Ña
égale à f paq car a P E et F est séparé.
x
l
x
Ña
f : E Ñ F une application continue en a P E .
p
x
n qnPN d'éléments de E qui converge vers a, la suite
f pxn q nPN tend vers f paq dans F .
Proposition 1.32
Soit
Alors, pour toute suite
On dit alors que
Remarque 1.7
est continue en
f
On verra que si
a
E
si et seulement si
C'est vrai dès que
Proposition 1.33
g : F Ñ G deux
f paq alors g f
est séquentiellement continue en
a
a.
est un espace métrique, alors
f
f :E ÑF
a.
est séquentiellement continue en
admet un SFV dénombrable, mais faux en général.
E , F et G trois espaces topologiques, f : E Ñ F
a P E . Si f est continue en a et g est continue
continue en a.
Soit
et
fonctions et
en
est
Soit W P V g f paq . Comme g est continue en f paq, il existe un
voisinage V P V f paq tel que g pV q € W et comme f est continue en a, il existe
un voisinage U P V paq tel que f pU q € V . On en déduit que g f pU q € W . l
Preuve.
La proposition suivante est évidente et est très souvent utilisée (parfois
même sans s'en rendre compte).
1.4.
21
LIMITES ET CONTINUITÉ
Soit E et F deux espaces topologiques, f : E Ñ F une
P E . Si a P E 1 € E et f pE 1 q € F 1 € F et f est continue en a,
1
1
1
alors f¯ : E Ñ F dénie par f¯pxq f pxq pour tout x P E est aussi continue
Proposition 1.34
fonction et
en
a
(où
E1
a
et
F1
sont munis des topologies induites par celles de
E
et
F ).
si V 1 P VF 1 f paq , alors il existe V P VF f paq tel que V 1 1
V X F . Or f est continue en a et donc il existe U P V paq tel que f pU q € V .
Alors U X E 1 P VE 1 paq et on a f¯pU X E 1 q € f pU q X f pE 1 q € V X F 1 V 1 . Donc
Preuve.
f¯ est continue en a.
l
Soit E , F1 et F2 des espaces topologiques et f : E Ñ F1 F2
f pxq f1 pxq, f2 pxq .
f est continue en a si et seulement si f1 et f2 sont continues en a.
Proposition 1.35
dénie par
Alors
1.4.4
Continuité globale
Dénition 1.19
que
f
Soit
est continue sur
Proposition 1.36
de tout ouvert de
f
F
f
F
et
F
deux espaces topologiques et
si et seulement si
E
E.
est continue sur
est un ouvert de
est continue sur
est un fermé de
E
E
E
f
f :E
Ñ F . On dit
est continue en tout point de
E.
si et seulement si l'image réciproque
si et seulement si l'image réciproque de tout fermé de
E.
Supposons f continue. Soit O un ouvert de F . Si f 1 pOq est vide
alors c'est un ouvert. Sinon, soit x un point quelconque de f 1 pOq. Comme O
est un ouvert qui contient f pxq, c'est un voisinage de f pxq. Par continuité de
f en x, il existe un voisinage V P V pxq tel que f pV q € O. On en déduit que
V € f 1 pOq et donc f 1 pOq est un voisinage de chacun de ses points.
Réciproquement, soit x P E , on montre la continuité de f en x. Soit O
un voisinage ouvert de f pxq (rappelons que les ouverts contenant a forment
un SFV de a). Alors f 1 pOq est un ouvert de E contenant x, c'est donc un
voisinage de x. Or f f 1 pOq € O, donc f est continue en x.
Comme f 1 pF zOq E zf 1 pOq, on en déduit facilement la proposition
pour les fermés. l
Preuve.
Proposition 1.37 Soit E , F et G trois espaces topologiques, f : E Ñ F et
g : F Ñ G deux fonctions et a P E . Si f est continue sur E et g est continue
sur F alors g f est continue sur E .
22
CHAPITRE 1.
ESPACES TOPOLOGIQUES
Là encore, la proposition suivante est évidente et souvent utilisée.
Proposition 1.38 Soit E et F deux espaces topologiques, f : E Ñ F une
E 1 € E et f pE 1 q € F 1 € F . Si f continue sur E , alors f¯ : E 1 Ñ F 1
1
1
1
dénie par f¯pxq f pxq pour tout x P E est aussi continue sur E (où E et
1
F sont munis des topologies induites par celles de E et F ).
fonction,
Preuve.
Exercice.
l
1) Si E est un espace topologique, F R et f est continue
E . Alors tx P E { f pxq ¥ αu et tx P E { f pxq αu sont des fermés de
E , tx P E { f pxq ¡ αu est un ouvert de E .
Exemples 1.20
sur
2)
f : x P R ÞÑ x1 P R
f 1 pr1, 8rq s0, 1s
est continue sur
et
est bien un fermé de
ne contredit pas la théorème car
Remarque 1.8
R
f
r1, 8r est un fermé de R.
R
(mais pas de
n'est pas continue sur
R,
R).
mais cela
Attention, l'image directe d'un ouvert par une application conti-
nue n'est pas nécessairement un ouvert (de même pour les fermés). Par exemple
on a
R.
sin
s 10, 13r r1, 1s alors que le sinus est une fonction continue sur
f : E Ñ F est dite ouverte
E est un ouvert de F .
Une fonction f : E Ñ F est dite fermée si et seulement
fermé de E est un fermé de F .
Dénition 1.20
Une fonction
si et seulement si
l'image de tout ouvert de
Exemple 1.21
si l'image de tout
Soit E1 et E2 deux espaces topologiques et E
E1
E2
muni de la topologie produit. Soit π1 : E1
E2
E1 la fonction dénie par
π1 x1 , x2
x1 . Pour tout ouvert O de E1 , Π 1 O
O E2 est un ouvert
p
q
(élémentaire) de
Ñ
p q E1 E2 , donc π1 est continue.
π1 est ouverte: Soit O un ouvert
de E1 E2 , alors O YiPI Ωi , où les Ωi sont des ouverts élémentaires, i.e. de la forme Ui Vi où Ui
est un ouvert de E1 . On en déduit que π1 pO q YiPI π1 pΩi q YiPI π1 pUi Vi q YiPI Ui et donc π1 pOq est un ouvert de E1 comme réunion d'ouverts de E1 . π1
Montrons que
est donc bien ouverte.
Rappelons les propriétés suivantes:
f 1 pYi Bi q Yi f 1 pBi q f 1 pXi Bi q Xi f 1 pBi q
f pYi Bi q Yi f pBi q f pXi Bi q € Xi f pBi q
1.4.
23
LIMITES ET CONTINUITÉ
Dénition 1.21
f : E Ñ F est un homéomorphisme si et seulement si f est
f 1 est continue. On dit que E est F sont homéomorphes
il existe un homéomorphisme de E sur F .
continue, bijective et
si et seulement si
Proposition 1.39
f : E Ñ F est un homéomorphisme et g : F
g f : E Ñ G est un homéomorphisme.
Si
un homéomorphisme alors
p
Proposition 1.40
E
ÑF
q
p
q
p qt p q
Ñ G est
Soit E, OE et F, OF deux espaces topologiques. Si f :
est un homéomorphisme, alors f OE
f U , U OE
OF (i.e.
l'image de tout ouvert de
E ).
f réalise
E
est un ouvert de
F
P
et tout ouvert de
u
F
est l'image
d'un ouvert de
De même,
une bijection entre les fermés de
E
et les fermés de
F.
Preuve. Si U P OE et g f 1 , alors f pU q g 1 pU q est un ouvert de F
car g est continue et donc f pOE q € OF . Si V P OF alors U f 1 pV q P OE
(car f est continue) et f pU q V et donc f pOE q  OF .
On procède de même pour les parties fermées. l
Proposition 1.41
E
Si
et
F
sont deux espaces topologiques et si
est un homéomorphisme, alors pour tout
homéomorphisme de
et
A
sur
F.
f pAq
A
f :E
€ E , la fonction g f|A
ÑF
est un
munis des topologies induites par celles de
E
Preuve. g est bien une bijection de A sur f pAq et g et g 1 sont continue
comme restrictions de fonctions continues. l
Exemple 1.22
Les intervalles de
munis de la topologie usuelle de
R
R
de la forme
R, sa,
sont homéomorphes.
8r, s 8, br et sa, br
f pxq x a a1 est un homéomorphisme de sa1 , 8r sur sa, 8r.
f pxq x est un homéomorphisme de s0, 8r sur s 8, 0r.
a est un homéomorphisme de sa, br sur sa1 , b1 r.
f pxq a1 pb1 a1 q xb
a
f pxq 1{x est un homéomorphisme de s0, 1r sur s1, 8r.
f pxq arctanpxq est un homéomorphisme de s π {2, π {2r sur R.
Remarque 1.9
Une fonction
f
peut-être continue et bijective sans que
soit continue. Par exemple
r0, 2πr Ñ
x ÞÑ
U tz
eix
P C{ |z| 1u
f 1
24
CHAPITRE 1.
est un bijection continue mais
lim xn 1 et f 1 xn
2π
n
Ñ8
1.5
p q
f 1
ESPACES TOPOLOGIQUES
eip2π q alors
0 f 1 p1q).
n'est pas continue (car si xn
1
1
xn
2π
n , donc nlim f
Ñ8
p q
1
n
Compléments
1.5.1
Topologie quotient
Soit X un espace topologique, R une relation d'équivalence sur X et π : x
X ÞÑ rxs P X {R la projection canonique.
Dénition 1.22
est ouvert de
{
La topologie quotient est la topologie de X R dénit par
1
si et seulement si π
O est un ouvert de X .
X {R
p q
P
O
Remarque 1.10 Cela dénit bien une topologie car π1 Y Oi Y π1 pOi q
iPI
iPI
1 X Oi X π1 pOi q. De plus, π : X Ñ X {R est alors continue. C'est
et π
iPI
iPI
la plus ne topologie de
X {R
qui rende la projection canonique continue.
Notez aussi qu'en général l'image d'un ouvert de
de
X {R.
X
par
π
n'est pas un ouvert
On a alors le théorème suivant.
Y deux espaces topologiques, f : X Ñ Y et R une
X . Si f pxq f px1 q dès que xRx1 , alors il existe une
unique f¯ : X {R Ñ Y telle que f f¯ π . De plus, f est continue si et seulement
si f¯ est continue.
Théorème 1.42
Soit
X
et
relation d'équivalence sur
Preuve. L'existence de f¯ est le théorème de l'isomorphisme. Si f¯ est
continue alors f f¯ π est continue comme composée de fonction continue.
Si f est continue alors pour tout ouvert O de Y , f 1 pOq π 1 f¯1 pOq est
un ouvert de X , et donc, par dénition de la topologie quotient, f¯1 pOq est un
ouvert de X {R. On en déduit que f¯ est continue. l
Exemple 1.23
R
existe k
Soit
xRx1 si et
x 2kπ. On munit R{R R{2πZ
la topologie induite par celle de C. Alors
la relation d'équivalnce sur
x1
R
dénie par
P Z tel que
S1 € C de
ix
la fonction f : x P R ÞÑ e
P S1 est continue et passe au quotient en une
1
¯
bijection f : R{2πZ Ñ S qui est continue. En fait f¯ est un homéomorphisme
seulement si il
de la topologie quotient et
(pour le montrer on peut soit appliquer le théorème d'inversion locale à
remarquer que
R{2πZ
est compact, car égal à
π pr0, 2π sq).
f,
soit
1.5.
1.5.2
25
COMPLÉMENTS
Topologie engendrée par une famille d’applications
Soit pFi , Oi qiPI une famille d'espace topologiques, E un enfi : E Ñ Fi une famille d'applications. Il existe une plus petite topologie sur E pour laquelle toutes les applications fi sont continues, on l'appelle
la topologie dénie par la famille fi . C'est la topologie engendrée par la famille
A Y tfi1 pOi q{ Oi P Oi u.
Proposition 1.43
semble et
P
i I
Preuve. Une topologie sur E rend toutes les applications continues si et
seulement si elle contient tous les éléments de A. La topologie engendrée par
A est donc la plus petite topologie vériant cette propriété. l
Ñ
Proposition 1.44
Soit fi : E
Xi une famille d'applications. On suppose
muni de la topologie dénie par la famille fi i I . Alors une fonction f : Y
est continue si et seulement si fi f est continue pour tout i
I.
p qP
E
ÑE
P
Preuve. Si f est continue alors fi f est continue comme composée d'applications continues.
Réciproquement, si toutes les applications fi f sont continues, alors tout
ouvert Ω de E est une réunion d'ensembles de la forme fi1 1 pUi1 qX Xfik 1 pUik q,
où ti1 , , ik u est une famille nie d'éléments de I et Uij est un ouvert de Xij .
Alors f 1 pΩq est réunion d'ensembles de la forme
f 1 fi1 1 pUi1 q X X fik 1 pUik q
f 1 fi1 pUi q X X f 1 fi1 pUi q
pfi f q1 pUi q X X pfi f q1 pUi q
qui est un ouvert de Y puisque toutes les fonctions fi f sont continues. On
en déduit que f est continue. l
Dénition 1.23 Une famille fi : E Ñ Fi est dite séparante si pour tout
px, yq P E avec x y, il existe i P I tel que fi pxq fi pyq.
Proposition 1.45 Si la famille fi : E Ñ Fi est séparante, et si tous les Fi
1
1
1
1
k
k
k
k
sont des espaces topologiques séparés, alors la topologie induite sur
E
par la
pfi q est une topologie séparée.
Preuve. Soit x x1 sont des points de E et si fi pxq fi px1 q, alors il existe
des ouverts disjoints U et V de Fi tels que fi pxq P U et fi px1 q P V . On a alors
x P fi1 pU q et x1 P fi1 pV q, et fi1 pU q et fi1 pV q sont des ouverts disjoints de
E pour la topologie dénie par les applications pfi qiPI . l
famille
26
CHAPITRE 1.
ESPACES TOPOLOGIQUES
Remarque±1.11 Si pEi , Oi qiPI est une famille d'espaces
topologiques
pxj qjPI P jPI Ej ÞÑ xi P Ei , alors la topologie de ±jPI Ej dénie
famille d'applications pfj qj PI est la topologie produit.
Si
de
A
1.5.3
A
fi :
par la
et
€ E et i : x P A ÞÑ x P E est l'injection canonique, alors la topologie
i
induite par
est la topologie induite sur
A
par celle de
E.
Valeurs d’adhérence
La notion de valeur d'adhérence est une version faible de la notion de limite
qui s'avère très utile, en particulier pour l'étude des suites.
Dénition 1.24
une application.
y
Soit
PY
X, Y
P V pyq et pour tout voisinage
p ztauq X V H).
pour tout voisinage V
f 1 V
(i.e. f U
p qH
Proposition 1.46
a P X et f : X Ñ Y
f en a si et seulement si
U P V paq, on a pU ztauq X
deux espaces topologiques,
est une valeur d'adhérence de
L'ensemble des valeurs d'adhérence de
C'est donc un fermé de
Y.
f
en
a est
X
P pq
U V a
f pU ztauq.
Preuve. y est valeur d'adhérence de f en a si et seulement si pour tout
voisinage V P V py q et pour tout voisinage U P V paq, on a f pU ztauq X V H.
Donc y est valeur d'adhérence de f en a si et seulement si pour tout voisinage
U P V paq, on a y P f pU ztauq si et seulement si y P X f pV ztauq. l
P pq
V V a
Dans le cas d'une suite pxn qnPN (i.e. X N et f pnq xn pour tout n P N,
f p 8q x0 et a 8), y est une valeur d'adhérence de pxn q si et seulement
si pour tout V P V py q, et pour tout n PN , il existe m ¥ n tel que xm P V .
L'ensemble des valeur d'adhérence de la suite pxn q est alors XnPN txk , k ¥ nu.
Toute limite d'une suite extraite de pxn q est une valeur d'adhérence de la
suite pxn q. On verra que dans les espaces métriques, toute valeur d'adhérence
de pxn q est la limite d'une suite extraite de pxn q.
Chapitre
Sommaire
2.1
2.2
2.3
2.4
Généralités
Topologie associée à une distance
Continuité, uniforme continuité
Caractérisations séquentielles
2
Espaces métriques
2.1
Généralités
Dénition 2.1
application
1)
Soit
d:EE
dpx, y q 0
E
un ensemble non vide. Une distance sur
ÑR
E
est une
vériant les conditions suivantes.
si et seulement si
x y,
px, yq P E E , on a dpx, yq dpy, xq (i.e. d est symétrique),
pour tout px, y, z q P E E E , on a dpx, z q ¤ dpx, y q
dpy, z q (i.e. d
2) pour tout
3)
vérie l'inégalité triangulaire).
Le couple
Si
d
pE, dq est appelé un espace métrique.
R Yt 8u et vérie les trois conditions précédentes
est à valeurs dans
on dit que
d
est un écart.
Proposition 2.1
px, y, zq P E E E , on a
|dpx, yq dpy, zq| ¤ dpx, zq.
Pour tout
27
28
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
Preuve. On a dpx, y q ¤ dpx, z q
dpz, y q dpx, z q dpy, z q, d'où dpx, y q dpy, z q ¤ dpx, z q. De même, on a dpy, z q ¤ dpy, xq dpx, z q dpx, y q dpx, z q,
d'où dpy, z q dpx, y q ¤ dpx, z q. l
Exemple 2.1
dpx, y q 0. d
Soit
E
un ensemble non vide. On pose
dpx, y q
est une distance appelée la distance triviale.
1 si x y et
|x y| est appelée la distance usuelle. Sur C,
dpx, y q |x y |.
Exemple 2.3 Sur Rn on dénit trois distances usuelles dénies, pour x px1 , . . . , xn q et y py1 , . . . , yn q, par
Exemple 2.2
Sur
R, dpx, y q
la distance usuelle est donnée par
D1 px, y q n
¸
|xi yi |, D2 px, yq n
¸
pxi yi q2
12
, D8 px, y q max |xi yi |.
¤¤
1 i n
i 1
i 1
L'inégalité triangulaire pour D2 provient de l'inégalité de Cauchy-Schwarz
° 2 ° 2
i ai
i bi .
Pour tout x, y
Rn Rn , on a les inégalités
°
i
ai bi
¤
p qP ?
D8 px, y q ¤ D1 px, y q ¤ nD2 px, y q ¤ nD8 px, y q
Exemple 2.4 Soit pEi , di q1¤i¤n des espaces métriques. Sur E1 En on
dénit trois distances usuelles par les formules suivantes
D1 px, y q n
¸
i 1
di pxi , yi q, D2 px, y q n
¸
12
d2i pxi , yi q
i 1
, D8 px, y q max di pxi , yi q.
¤¤
1 i n
Sur R la fonction dpx, y q |ArctanpxqArctanpy q|, où Arctanp
Arctanp8q π {2 est une distance.
Exemple 2.5
π {2
et
Exemple 2.6
RYt
1)
2)
3)
On appelle valuation sur un anneau
8u vériant les conditions
v paq 8 si et seulement si a 0,
v pabq v paq v pbq,
v pa bq ¥ inf v paq, v pbq .
A toute application v : A Ñ
8q 2.1.
29
GÉNÉRALITÉS
pA, vq
on associe une distance en posant dpa, bq αvpabq avec α Ps0, 1r). En posant e8 0, on
vérie facilement que, pour tout pa, b, cq P A A A, on a l'inégalité triangulaire
forte suivante dpa, cq ¤ max dpa, bq, dpb, cq (on dit que d est une ultra-distance
et que pA, dq est un espace ultra-métrique).
°
i
Un exemple classique d'anneau valué est A K rX s, où v p i ai X q minti P N{ ai 0u et v p0q 8.
De même, l'anneau Q peut-être d'une famille naturelle de valuations. Si p
est un nombre premier, on dénit la valuation p-adique sur Q de la manière
A tout anneau valué
evpabq
(ou plus généralement
suivante:
tout nombre rationnel x non nul peut s'écrire de manière unique sous la
x pα ab avec α Z, a, b
Z 2 , a b 1, a p 1 et b p 1.
On pose alors vp x
α (et vp 0
) et on note dp la distance associée.
p q P p q
p q 8
^ ^ ^ p q
Dénition 2.2 Soit pE, dq un espace métrique et A une partie de E . On dit que
A est bornée si et seulement si il existe M P R tel que pour tout px, y q P A A,
on a dpx, y q ¤ M .
Proposition 2.2 A est bornée si et seulement si il existe u P E et R ¡ 0 tels
que pour tout x P A, on a dpu, xq ¤ R.
Preuve. Si A est borné alors on peut prendre u x0 un point xé de A et
R M . Réciproquement, si il existe u P E et R ¡ 0 tels que pour tout x P A,
on a dpu, xq ¤ R. Alors d'après l'inégalité triangulaire, pour tout px, y q P A A,
on a dpx, y q ¤ dpx, uq dpu, y q ¤ 2R et donc M 2R convient. l
forme
P
Dénition 2.3
de
A
le nombre
Dénition 2.4
Pour tout
Soit A une partie non vide et bornée de E . On appelle diamètre
δ pAq sup dpx, y q.
x P E,
px,yqPAA
Soit
pE, dq un espace métrique et A une partie non vide de E .
dpx, Aq inf dpx, aq.
aPA
on pose
Dénition 2.5
B
le nombre
Soit A, B deux parties de E .
dpA, B q inf
dpa, bq. On a
On appelle distance entre
pa,bqPAB
dpA, B q inf inf dpa, bq inf dpa, B q inf dpA, bq.
P P
a Ab B
P
a A
P
b B
A
et
30
CHAPITRE 2.
Dénition 2.6
On dit que
f
Soit
pE, dq et pE 1 , d1 q deux espaces métriques et f : E Ñ E 1 .
est une isométrie si et seulement si
px, yq P E E , d1 f pxq, f pyq dpx, yq.
f
f
est bijective et pour tout
px, yq P E E , d1 f pxq, f pyq dpx, yq,
1
est injective (car si f pxq f py q alors dpx, y q d f pxq, f py q ), mais
Remarque 2.1
alors
ESPACES MÉTRIQUES
En fait si pour tout
n'est pas surjective en général.
Exemple 2.7
D2 ,
2.2
alors
C est muni de la distance usuelle et R2 est muni de la distance
l'application F px, y q x
iy est une isométrie de R2 sur C.
Si
Topologie associée à une distance
Soit pE, dq un espace métrique, x P E et r ¡ 0.
B px, rq ty P E { dpx, y q ru est appelé boule ouverte de centre
x et de rayon r.
1
L'ensemble B px, r q ty P E { dpx, y q ¤ r u est appelé boule fermée de centre
x et de rayon r .
Dénition 2.7
L'ensemble
Remarque 2.2
B px, rq € B 1 px, rq. B px, rq peut se réduire à txu
1
distance usuelle, on a B pk, 1{2q B pk, 1{2q On a toujours
(par exemple dans
Z
pour la
tku). Notez que des rayons (et des centres) diérents peuvent donner le même
ensemble.
Le lemme suivant est évident mais sera très souvent utilisé.
Soit pE, dq un espace métrique, px, y q P E E et R ¡ 0.
y P B px, Rq et r ¤ R dpx, y q alors B py, rq € B px, Rq.
y P B 1 px, Rq et r ¤ R dpx, y q alors B 1 py, rq € B 1 px, Rq.
R ¥ r dpx, y q, alors B px, Rq  B py, rq et B 1 px, Rq  B 1 py, rq.
r R ¤ dpx, y q alors B px, rq X B py, Rq H.
r R dpx, y q alors B 1 px, rq X B 1 py, Rq H.
Lemme 2.3
Si
Si
Si
Si
Si
Preuve. Si y P B px, Rq, alors dpx, y q R. Si z P B py, r q, alors dpx, z q ¤
dpx, y q dpy, z q dpx, y q r ¤ R et donc B py, rq € B px, Rq. Les preuves des
autres inclusions sont similaires et sont laissées en exercice. l
2.2.
31
TOPOLOGIE ASSOCIÉE À UNE DISTANCE
1) Soit R muni de la distance usuelle. Pour tout x P R et tout
¡ 0, on a B px, rq ty P R{ |x y| ru sx r, x rr. Réciproquement,
a b ba
pour tout pa, bq P R R, on a sa, br B p 2 , 2 q (et le centre et le
Exemple 2.8
r
rayon sont uniques). Donc les boules ouvertes de
R sont exactement les
R. De même l'ensemble des boules fermées
fermés et bornés de R.
intervalles ouverts et bornés de
coïncide avec les intervalles
dpx, y q |Arctanx Arctany |. Les boules
R sont les ensembles suivants sa, br, sa, 8r, sa, 8s, s 8, ar, r8, ar, R et R (où a et b sont des réels). Notez que pour les
ensembles sa, 8s et r8, ar, il n'y pas unicité du centre et du rayon
permettant de les écrire comme des boules ouvertes de R.
2) Soit
R,
muni de la distance
ouvertes de
Proposition 2.4
E.
Soit
pE, dq un espace métrique et O une partie non vide de
Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1)
O
est réunion de boules ouvertes,
x P O,
¡ 0 tel que B px, rq € O.
Preuve. 2q ñ 1q Pour tout x P O , il existe rx ¡ 0 tel que B px, rx q € O ,
et donc YxPO B px, rx q € O. Comme x P B px, rx q pour tout x P O, on a aussi
O € YxPO B px, rx q.
1q ñ 2q Si O YiPI B pxi , ri q alors pour tout x P O, il existe i P I tel que
x P B pxi , ri q. Pour r ri dpx, xi q ¡ 0, on a B px, rq € B pxi , ri q € O. l
2) pour tout
il existe
r
Remarque 2.3
on convient dans la suite que
Théorème 2.5
L'ensemble des parties de
E
YiPH B pxi , rq H.
vériant les propriétés
de la proposition précédente, dénit une topologie sur
associée à la distance
E.
1q
ou
2q
On l'appelle topologie
d.
Preuve. Soit O tensembles des parties de E vériant 1q ou 2qu. Seule
la stabilité par intersection nie pose problème. Soit pO1 , , Ok q P Ok et
x P X1¤i¤k Oi . Il existe ri ¡ 0 tel que B px, ri q € Oi . Alors B x, minpri q €
X1¤i¤k Oi . l
Dénition 2.8
métrique
d
sur
Un espace topologique
E
pE, Oq est dit métrisable s'il existe une
telle que la topologie associée à
d
soit égale à
O.
32
CHAPITRE 2.
Exemples 2.9
ESPACES MÉTRIQUES
1) La topologie associée à la distance usuelle de
R est la
R. Il existe d'autres distances sur R dont la topologie
topologie usuelle de R (par exemple dpx, y q |Arctanx topologie usuelles de
associée est la
Arctany |).
2) La topologie de
R
induite par la distance
est la topologie usuelle de
R.
dpx, y q
|Arctanx Arctany|
3) La topologie associée à la distance triviale est la topologie discrète.
Proposition 2.6
Soit
pE, dq un espace métrique
1) toute boule ouverte de
2) toute boule fermée de
d.
Preuve.
E
E
est une partie ouverte de
est une partie fermée de
E.
E.
La propriété 1q est vraie par dénition de la topologie associée à
Soit y P E zB 1 px, rq, alors dpx, y q ¡ r. Soit l dpx, y q r, alors B py, lq €
E zB 1 px, rq (si dpy, z q l alors dpz, xq ¥ dpy, xq dpz, y q ¡ dpy, xq l r). l
Remarque 2.4 Comme B px, rq € B 1 px, rq et que B 1 px, rq est fermée, on a
B px, rq € B 1 px, rq. Mais l'adhérence de B px, rq n'est, en général, pas égal à
B 1 px, rq. De même, on a B px, rq € Int B 1 px, rq et l'intérieur de B 1 px, rq n'est,
en général pas égal à
B px, rq.
Exemple 2.10
Z
B p0, 1q
Soit
B p0, 1q t0u, donc
B 1 p0, 1q t1, 0, 1u (car
contient strictement B p0, 1q muni de la distance usuelle. Alors
t0u. Or B 1 p0, 1q t1, 0, 1u. De même,
c'est un ouvert de
t0u.
Z
pour la distance usuelle)
³
Soit pE, dq un espace métrique muni de la topologie
a P E , B pa, n1 q nPN est un SFV dénombrable de a.
Proposition 2.7
à
d.
Pour tout
Théorème 2.8
Preuve.
associée
Tout espace métrique est séparé.
Si x y et l dpx, y q, alors B px, l{2q X B py, l{2q H.
l
2.2.
33
TOPOLOGIE ASSOCIÉE À UNE DISTANCE
2.2.1
Distances topologiquement équivalentes, distances équivalentes
Dénition 2.9 Soit E un ensemble, d et d1 deux distances sur E . On dit que d
1
et d sont topologiquement équivalentes si et seulement si les topologies associées
1
à d et d coïncident.
Dénition 2.10
A ¡ 0 et B ¡ 0 tels que
px, yq P E E .
ment si il existe
tout
Proposition 2.9
d et d1 sont équivalentes si et seuleAd1 px, y q ¤ dpx, y q ¤ Bd1 px, y q pour
On dit que deux distances
Deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes
(la réciproque est fausse).
Soit O et O1 les topologies associées à d et d1 , O P O et x P O.
Comme O est un ouvert pour la distance d, il existe r ¡ 0 tel que Bd px, rq € O.
Si d1 px, y q R{B alors dpx, y q R, donc Bd1 px, R{B q € Bd px, Rq € O. Comme
x est un point quelconque de O, on en déduit que O P O1 . D'où O € O1 . De
même, on montre O1 € O. l
Preuve.
Exemple 2.11 Soit d la distance usuelle sur R et d1 la distance dénie par
d1 px, y q |Arctanpxq Arctanpy q|. Alors Id : pR, dq Ñ pR, d1 q est un homéomorphisme (en utilisant la continuité de
d
et
d1
pas équivalentes car
R
est borné pour
sont les mêmes et
tan
et
Arctan)
et donc les topologies
sont topologiquement équivalentes, mais elles ne sont
d1
mais non borné pour
d.
Exercice 2.1 Montrer que si pE, dq est un espace métrique, alors d1 px, yq
dpx,y q
1 dpx,y q est une distance sur E , bornée et topologiquement équivalente à d.
Théorème 2.10
Soit
Les trois métriques
pEi , di q 1¤i¤n
D1 , D2
ou
D8
une famille nie d'espaces métriques.
E1 En
E1 En .
dénies plus haut sur
équivalentes et donc dénissent la même topologie sur
2.2.2
sont
Distance induite, distance et topologie produit
Dénition 2.11 Soit pE, dq un espace métrique, X € E et d1 la restriction de
d à X X (d1 d|X X ). d1 est une distance sur X appelée la distance induite
sur
X
par
d.
34
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
Soit pE, dq un espace métrique muni de la topologie associée
d. On note O la topologie de X induite par la topologie de E et O1 la topologie
1
1
sur X associée à la métrique d induite sur X par d. Alors O O , i.e. la
Proposition 2.11
à
topologie associée à la distance induite est la même que la topologie induite par
E.
la topologie de
Preuve.
Bd px, rq
XX
Cette proposition découle facilement de l'égalité Bd1 px, rq
et de la dénition de la topologie associée à une métrique.
l
Soit pEi , di q 1¤i¤n une famille d'espace métrique et Oi la topologie sur Ei
associée à di . On peut munir E1 En de la topologie produit des topologies
Oi et de trois métriques D1 , D2 ou D8 .
Théorème 2.12
pologies sur
Ei
trois distances
Preuve.
On a
di
D1 , D2 , D8 .
Soit x
E1
En obtenue par produit des toest la même que la topologie associée à l'une des
La topologie sur
associée à
px1 , , xn q un point de E E1 En et r ¡ 0.
BD8 px, rq ty
P E { D8 px, yq ru ty P E { max
di pxi , yi q ru
i
ty P E { di pxi , yi q r, @iu
D'où BD8 px, rq Πni1 Bd pxi , rq.
i
Soit O la topologie produit des topologies Oi associées aux distances di et
O1 la topologie associée à D8 .
Soit O P O, alors O Yi Ωi où chaque Ωi est un ouvert élémentaire de E .
Pour avoir O € O1 , il sut donc de montrer que les ouverts élémentaires de
O sont dans O1 . Or si x px1 , , xn q P Ω O1 On , où Oi est un
ouvert de Ei pour la distance di , il existe ri ¡ 0 tel que Bdi pxi , ri q € Oi . Soit
r mini pri q ¡ 0, alors
BD8 px, rq Πni1 Bdi pxi , rq € Πni1 Bdi pxi , ri q € Πni1 Oi
Ω
Donc O P O1 .
Réciproquement, si O P O1 , alors O est une réunion de boules ouverts
BD8 px, rq, qui, d'après ce qui précède, sont des produits Πni1 Bdi pxi , rq et donc
des ouverts élémentaires de O. D'où O P O et O1 € O. l
2.3.
2.3
35
CONTINUITÉ, UNIFORME CONTINUITÉ
Continuité, uniforme continuité
2.3.1
Continuité en un point
Soit pE, dq et pF, d1 q deux espaces métriques, OE et OF les topologies associées,
f : E Ñ F et a P E .
Rappelons que f est continue en a si et seulement si pour tout V P V f paq ,
il existe U P V paq tel que f pU q € V . Comme Bd pa, ρq ρ¡0 et Bd1 pf paq, ρq ρ¡0
sont des SFV de a et f paq, on peut réécrire la dénition de la continuité en a
de la manière suivante.
Pour tout ¡ 0, il existe η ¡ 0 tel que f Bd pa, q € Bd1 f paq, η , ou ce
qui revient au même, pour tout ¡ 0, il existe η ¡ 0 tel que pour tout x P E ,
si dpx, aq η alors d1 f pxq, f paq .
Remarque 2.5
B 1 px, ρq
¡
est aussi un SFV de x, on peut réécrire
ρ 0
la dénition de la continuité en changeant une ou deux des inégalités strictes
Comme
par une inégalité large.
2.3.2
Continuité global, continuité uniforme
Une application f : E Ñ F est continue sur E si et seulement si f est continue
en tout point de x P E et donc, dans le cas où E et F sont des espaces métriques,
on a la caractérisation suivante.
1
Si pE, dq et pF, d q sont des espaces métriques, alors f :
Ñ F est continue sur E si et seulement si pour tout x P E et pour tout ¡ 0,
1
il existe η ¡ 0 tel que pour tout y P E , si dpx, y q η alors d f pxq, f py q .
Proposition 2.13
E
Remarque 2.6
du point
x.
Dans cette dénition, le module de continuité
η
dépend de
et
A ne pas confondre avec la continuité uniforme, dont la dénition
est la suivante.
Dénition 2.12
E E,
si
Pour tout
dpx, y q η ,
alors
¡ 0, il existe
η ¡ 0,
d1 f pxq, f py q .
tel que pour tout
px, yq P
Dans cette dénition, le module de continuité η ne dépend pas de x mais
seulement de .
Proposition 2.14
ciproque est fausse.
Une fonction uniformément continue est continue. La ré-
36
CHAPITRE 2.
f pxq x2
Exemple 2.12
Remarque 2.7
E
continue sur
ments de
E
est continue sur
ESPACES MÉTRIQUES
R mais pas uniformément continue.
Par contraposée, on obtient que
f
n'est pas uniformément
pxn qnPN et pyn qnPN d'éléf pxn q, f pyn q ne tend pas vers 0.
si et seulement si il existe deux suites
telles que
dpxn , yn q Ñ 0
et
d1
2.3.3
Applications Lipschitziennes
Dénition 2.13 Soit pE, dq et pF, d1 q deux
espaces métriques et
f est K -Lipschitzienne si et seulement si
d1 f pxq, f py q ¤ Kdpx, y q pour tout px, y q P E E .
En particulier, une isométrie est 1-Lipschitzienne.
On dit que
Proposition 2.15
il existe
K
f : E Ñ F.
¡ 0 tel que
Toute application Lipschitzienne est uniformément conti-
nue.
Proposition 2.16 Soit d1 et d2 deux métriques topologiquement équivalentes
1
1
sur E , d1 et d2 deux métriques topologiquement équivalentes sur F . Alors f :
pE, d1 q Ñ pF, d11 q est continue si et seulement si f : pE, d2 q Ñ pF, d12 q est
continue. En revanche, l'uniforme continuité n'est pas conservée.
Preuve. Cela découle directement de la dénition des métriques topologiquement équivalentes et de la caractérisation de la continuité par images
réciproques des ouverts. l
Proposition 2.17
Soit
d1
et
d2
deux métriques équivalentes sur
p
qÑ
pF, d11 q
E , d11
et
d12
est uniforméF . Alors f : E, d1
ment continue (respectivement Lipschitzienne) si et seulement si f : E, d2
F, d2 est uniformément continue (respectivement Lipschitzienne).
deux métriques équivalentes sur
p
1q
Preuve.
Exercice.
p
qÑ
l
pE, dq un espace métrique. On muni R de la disE E d'une des distances produit D1 , D2 ou D8 . Alors
l'application
Lipschitzienne et donc uniformément
d : E E Ñ R est
1 dpx1 , yq dpy1 , x1 q ¤
1 1
continue (dpx, y q dpx , y q ¤ dpx, y q dpy, x q
dpx, x1 q dpy, y 1 q D1 px, y q, px1 , y 1 q ).
Exemples 2.13
1) Soit
tance usuelle et
2.4.
37
CARACTÉRISATIONS SÉQUENTIELLES
A une partie de E . Alors l'application dA : E
dA pxq dpx, Aq est 1-Lipschitzienne:
2) Soit
Ñ
R
dénie par
z P A, on dpx, z q ¤ dpx, y q dpy, z q. On en déduit d'abord que
inf z1 PA dpx, z 1 q ¤ dpx, z q ¤ dpx, y q dpy, z q, puis que inf z1 PA dpx, z 1 q ¤
dpx, y q inf zPA dpy, z q. D'où dpx, Aq ¤ dpx, y q dpy, Aq. De même, on
montre que dpy, Aq ¤ dpx, y q
dpx, Aq.
pour tout
2.4
Caractérisations séquentielles
Soit pE, dq un espace métrique. Comme pour tout x P E , la famille B px, q ¡0
est un SFV de x dans E , on en déduit la réécriture suivante de la dénition de
la limite d'une suite dans un espace métrique
Soit pE, dq un espace métrique et pxn qnPN une suite d'élépxn qnPN tend vers l si et seulement si pour tout ¡ 0, il
tel que dpl, xn q ¤ pour tout n ¥ N .
Proposition 2.18
E.
N PN
ments de
existe
Alors
Comme un espace métrique est séparé, la limite d'une suite est unique quand
elle existe.
2.4.1
Points adhérents, parties fermées
Théorème 2.19
et
x P E. x P A
Soit
pE, dq un espace métrique, A une partie non vide de E
si et seulement si
x
est limite d'une suite de point de
A.
Preuve. Soit pan qnPN une suite de points de A qui tend vers x. Pour tout
V P V pxq il existe N P N tel que pour tout n ¥ N , an P V . Comme an P A, on
a an P A X V H et donc x P A.
Réciproquement, soit x P A. B px, n1 q étant un voisinage de x, il intercepte
A. Soit an P A X B px, n1 q, alors pan qnPN est une suite de points de A vériant
dpx, an q ¤ n1 pour tout n P N, i.e. pan qnPN est une suite de points de A qui tend
vers x. l
Remarque 2.8
gique et si
x
D'après la preuve précédente, si
pE, Oq est un espace topoloA alors x P A. Mais la
est la limite d'une suite de points de
réciproque n'est pas vraie dans tous les espaces topologiques.
38
CHAPITRE 2.
Théorème 2.20
x P E.
x est un point
pan qnPN P AN telle
Soit
et
pE, dq un espace métrique, A une partie non vide de E
d'accumulation de
que
ESPACES MÉTRIQUES
A
si et seulement si il existe une suite
Ñ x et an x pour tout n P N,
N
existe une suite pan qnPN P A telle
an
si et seulement si il
que an Ñ x et
am pour tout n m.
Preuve. Si pan qnPN est une suite de points de A qui tend vers x et telle
que an x, pour tout n P N, alors pour tout V P V pxq, il existe N P N tel que
@n ¥ N , an P V . Or, an x et donc an P A X pV ztxuq H. On en déduit que
an
x est un point d'accumulation de A.
Si pan q est une suite de points deux à deux distincts de A qui tend vers x
alors il existe au plus un indice q P N tel que aq x. Donc pan qn¡q est une
suite de points de A distincts de x qui tend vers x.
Si x est un point d'accumulation de A, alors B px, 1qztxu X A est
non vide
donc contient un point a1 . De même, B x, minp 21 , dpx, a1 qq ztxu X A H
donc contient un point a2 qui est forcément distinct de a1 . On construit
en
itérant une suite pan q telle que @n P N, an 1 P B x, minp n 1 1 , dpx, an qq ztxu X
A. Donc la suite pan qnPN est une suite de points de A 2 à 2 distincts qui tend
vers x car dpx, an q n1 . l
Théorème 2.21 (Caractérisation séquentielle des fermés)
A une partie de E . A est fermée si et seulement
P AN , si pan q tend vers x P E alors x P A.
espace métrique,
suite
pan qnPN
Soit
pE, dq un
si pour toute
Preuve. Si A est fermé alors A € A. Or, si pan q est une suite de points
de A qui converge vers un point x P E , alors x P A et donc x P A.
Réciproquement, si x P A, alors x est limite d'une suite pan q de points de
A et donc, par hypothèse on a x lim an P A. D'où A € A, i.e. A A et A
est fermé. l
Corollaire 2.22
x P E.
Alors
Soit
dpx, Aq 0
A
une partie non vide d'un espace métrique
si et seulement si
pE, dq et
x P A.
Si x P A, alors il existe pan q P AN tel que an Ñ x. Comme
dpan , xq Ñ 0, on a dpx, Aq ¤ inf nPN dpan , xq 0 et donc dpx, Aq 0.
Preuve.
2.4.
39
CARACTÉRISATIONS SÉQUENTIELLES
Si dpx, Aq 0, alors @n P N , il existe an P A tel que 0 ¤ dpx, an q n1 .
Alors la suite pan qnPN est une suite de points de A qui tend vers x. D'où x P A.
l
2.4.2
Limites de fonctions
Rappelons que si pE, dq et pF, d1 q sont deux espaces métriques, X est une partie
non vide de E , f : X Ñ F est une application et a P X , alors f admet une
limite l quand x tend vers a en restant dans X si et seulement si pour tout
V P V plq, il existe U P V paq tel que f pU X X q € V .
Ñ F , X € E , a P X et l P F . On a xÑlim
f pxq a, xPX
l si et seulement si pour toute suite pxn q de points de X qui tend vers a, on a
lim f pxn q l.
nÑ8
Preuve. Supposons que
lim f pxq l et soit pxn q une suite de points
xÑA, xPX
de X qui tend vers a. Soit V P V plq. Il existe U P V paq tel que f pU X X q € V ,
et comme xn Ñ a, il existe N P N, tel que xn P U pour tout n ¥ N . Comme
xn P X , on a xn P U X X et donc f pxn q P V pour tout n ¥ N . D'où f pxn q Ñ l.
Réciproquement, s'il existe V0 P V plq tel que pour tout U P V paq, f pU X X q
n'est pas inclusdans V0 , alors pour tout n P N, U B pa, n1 q P V paq, et comme
f B pa, n1 q X X n'est pas inclus dans V0 , il existe xn P B pa, n1 q X X tel que
f pxn q R V0 . Alors xn Ñ a (car dpxn , aq ¤ n1 et f pxn q ne tend pas vers l (car ne
rentre jamais dans le voisinage V0 ). l
Théorème 2.23
Soit
f :E
Théorème 2.24
Soit
f : E
x
tend vers
a
d'éléments de
Ñ F, X € E
en restant dans
X
qui tend vers
et a P X . f
X si et seulement
si pour
a, f pxn q nPN a une limite
a une limite quand
toute suite
dans
F.
pxn qnPN
Le sens direct découle du théorème précédent.
Réciproquement, si pxn q et px1n q sont des suites de X qui tendent vers a, on
note l lim f pxn q et l1 lim f px1n q. On pose y2n xn et y2n 1 x1n . Alors
yn Ñ a et donc f pyn q converge. Or f pxn q et f px1n q sont deux suites extraites
de f pyn q d'où l l1 . On en déduit qu'il existe l telle que pour toute suite pxn q
de points de X qui tend vers a, on ait lim f pxn q l. On conclut grâce au
nÑ8
théorème précédent. l
Preuve.
On en déduit la caractérisation suivante de la continuité.
40
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
pE, dq et pF, d1 q deux espaces métriques, f : E Ñ E 1 et
a P E . f est continue en a si et seulement si pour tout suite pxn qnPN d'éléments
de E , telle que xn Ñ a, la suite pf pxn qqnPN a une limite dans F .
La limite est alors nécessairement f paq.
Théorème 2.25
Soit
En combinant les deux derniers résultats, on obtient le corollaire suivant.
Ñ F , X € Eet a P X . Si pour toute suite pxn qnPN
a, f pxn q nPN a une limite l dans F , alors la
fonction f¯ : X Y tau Ñ F , dénie par f¯ f sur X et f¯paq l, est continue
Corollaire 2.26
d'éléments de
en
a.
On dit que
2.4.3
X
Soit
f :E
qui tend vers
f¯ est
la prolongement de
f
par continuité en
a.
Valeurs d’adhérence d’une suite
Soit pE, O q un espace topologique, pxn qnPN une suite de points
a P E . a est une valeur d'adhérence de pxn qnPN si et seulement si pour
V P V paq, pour tout n P N, il existe p ¥ n tel que xp P V .
Dénition 2.14
de
E
tout
et
Remarque 2.9
Si
contient tous les
xn
Si
a
p q
a
P
est la limite de xn n N alors tout voisinage
(sauf un nombre ni).
est une valeur d'adhérence de
contient une innité de
xn .
pxn qnPN
alors tout voisinage
V
de
a
V
de
a
pxn qnPN une suite. On appelle suite extraite de cette suite
xφpnq nPN , où φ : N Ñ N est strictement croissante.
Théorème 2.27 Soit pE, dq un espace métrique. a est une valeur d'adhérence
de la suite pxn qnPN si et seulement si il existe une suite extraite pxφpnq qnPN de
la suite pxn qnPN qui tend vers a.
Preuve. Supposons qu'il existe une suite extraite pxφpnq qnPN qui tend vers
a. Soit V P V paq et n P N, alors il existe N P N tel que pour tout k ¥ N ,
xφpkq P V . Comme φ est strictement croissante, on a φpk q ¥ k pour tout k
(récurrence), donc si k ¥ maxpN, nq, on a φpk q ¥ n et xφpkq P V donc a est une
valeur d'adhérence de pxn qnPN .
Réciproquement, si a est une valeur d'adhérence de pxn q, alors il existe
p1 ¥ 0 tel que xp P B pa, 1q. On pose φp1q p1 . Il existe p2 ¥ φp1q 1 tel
que xp P B pa, 21 q. On pose φp2q p2 . On a bien φp1q ¡ φp2q. On suppose
Dénition 2.15
Soit
toute suite de la forme
1
2
2.4.
41
CARACTÉRISATIONS SÉQUENTIELLES
construits φp0q . . . φpnq tels que @k P t1, . . . , nu, xφpkq P B pa, k1 q. On pose
V B pa, n 1 1 q, alors il existe pn 1 ¥ φpnq 1 tel que pn 1 P V . On pose
φpn 1q pn 1 , et on a xφpn 1q P B pa, n 1 1 q et φpn 1q ¡ φpnq ¡ . . . ¡ φp1q.
On en déduit, par récurrence, qu'il existe une suite pφpnqq strictement croissante
telle que xφpnq Ñ a. l
Remarque 2.10
Pour certains problèmes, il est plus commode d'utiliser la
dénition d'une valeur d'adhérence plutôt que la caractérisation avec les suites
extraites.
Remarque 2.11
pE, Oq est un espace topopxn q tend vers a, alors a est une
D'aprés la preuve qui précède, si
logique et qu'une suite extraite de la suite
valeur d'adhérence de
espace topologique.
pxn qnPN .
La réciproque est fausse en général dans un
Remarque 2.12
1) Une suite peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence ou
1n n
a deux valeurs d'adhérence dans R et
N
n'a
pas
de
valeur
d'adhérence
dans R).
n N
p q P
p nq P
Si pxn qnPN est convergente alors pxn qnPN a pour seule valeur d'adhérence
la limite. La réciproque est fausse en général (px2n q 1 et x2n 1 n n'a
aucune (par exemple
2)
qu'une valeur d'adhérence dans
R
mais ne converge pas).
3) L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dépend de l'ensemble dans
1
lequel la suite est considérée (par exemple la suite n n N admet 0 comme
valeur d'adhérence dans R mais n'a pas de valeur d'adhérence dans R ).
p q
P
E2 un produit d'espaces métriques, pxn , yn qnPN une suite d'éléE1 E2 et pa1 , a2 q P E1 E2 . Si pa1 , a2 q est une valeur d'adhérence de pxn , yn qnPN alors a1 est une valeur d'adhérence de pxn qnPN et
a2 est une valeur d'adhérence de pyn qnPN . La réciproque est fausse car
p1, 1q n'est pas valeur d'adhérence de la suite p1qn , p1qn nPN .
E1
ments de
4) Soit
Soit pE, dq un espace métrique, pxn qnPN une suite de points
E et l'ensemble A des valeurs d'adhérence de pxn qnPN . Alors A est un fermé
de E et plus précisément, si on pose Sn txp , p ¥ nu, alors A XnPN Sn
(noter qu'on peut avoir A H).
Théorème 2.28
de
42
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
Preuve. a est une valeur d'adhérence de pxn qnPN si et seulement si pour
tout V P V paq et pour tout n P N, il existe p ¥ n tel que xp P V . Donc a est une
valeur d'adhérence de pxn qnPN si et seulement si pour tout V P V paq et pour
tout n P N, on a Sn X V H. On en déduit que a est une valeur d'adhérence
de pxn qnPN si et seulement si a P Sn pour tout n P N. l
2.4.4
Cas des suites réelles
Théorème 2.29 Soit pxn q une suite de réels. L'ensemble A des valeurs d'adhérence de pxn qnPN dans R est un fermé non vide de R. A admet dans R un plus
grand et un plus petit élément. On les appelle respectivement la limite supérieure
pxn qnPN et la limite inférieure de pxn qnPN . Notées lim sup xn et lim inf xn .
Preuve. Si pxn qnPN est bornée dans R, alors le théorème de BolzanoWeierstrass permet d'extraire une suite convergeant dans R. Si pxn qnPN est non
majorée alors on peut extraire une suite tendant vers 8. Si pxn qnPN est non
minorée alors on peut extraire une suite qui tend vers 8. Donc A H. On
de
en déduit que A admet une borne supérieure et une borne inférieure dans R.
Comme A A, on a sup A P A et inf A P A. l
Remarque 2.13
L'intérêt pratique des limites supérieure et inférieure est qu'elles
existent toujours pour toutes les suites réelles (contrairement aux limites).
Soit pxn qnPN une suite réelle. On pose Sn txp , p ¥ nu, yn sup Sn et zn inf Sn . Alors pyn qnPN est une suite décroissante d'éléments de
R qui tend vers lim sup xn et pzn qnPN est une suite croissante d'éléments de R
qui tend vers lim inf xn .
Lemme 2.30
Preuve. Pour tout n P N, Sn 1 € Sn donc yn 1 ¤ yn et zn 1 ¥ zn . Donc
les suites pyn q et pzn q sont monotones, et donc convergentes dans R.
Soit n P N xé. Pour tout p ¥ n, on a Sp € Sn et donc Sp € Sn . Comme
yp sup Sp P Sp , on a yp P Sn , @p ¥ n. Comme Sn est fermé, on a lim yp P Sn
pour tout n, et donc lim yp P Xn Sn A. D'où lim yn ¤ lim sup xn sup A.
Comme lim sup xn est une valeur d'adhérence de pxn qnPN , il existe une suite
extraite pxφpnq qnPN telle que xφpnq Ñ lim sup xn . Comme φpnq ¥ n, on xφpnq P
Sn pour tout n, donc xφpnq ¤ yn pour tout n. En passant à la limite, on obtient
lim sup xn ¤ lim yn .
La preuve de lim zn lim inf xn est similaire. l
2.4.
Théorème 2.31
R
43
CARACTÉRISATIONS SÉQUENTIELLES
Soit
pxn q une suite d'éléments de R. pxn qnPN converge dans
lim inf xn lim sup xn .
si et seulement si on a
Preuve. Si pxn qnPN converge alors elle n'a qu'une valeur d'adhérence, d'où
l'égalité.
Réciproquement, si lim sup xn lim inf xn l, alors pour tout ¡ 0 il
existe n1 P N et n2 P N tels que pour tout n ¥ n1 , l ¤ yn ¤ l et pour
tout n ¥ n2 , l ¤ zn ¤ l (où pyn qnPN et pzn qnPN sont les suites introduites
plus haut). Donc pour tout n ¥ maxpn1 , n2 q, on a l ¤ zn ¤ xn ¤ yn ¤ l .
On en déduit que xn Ñ l. l
Proposition 2.32
1)
2)
3)
On a les règles de calcul suivantes.
lim sup xn
lim inf xn et lim inf xn lim sup xn .
1
1
1
Si xn ¤ xn @n P N, alors lim inf xn ¤ lim inf xn et lim sup xn ¤ lim sup xn .
lim suppxn x1n q ¤ lim sup xn lim sup x1n et lim inf pxn x1n q ¥ lim inf xn
lim inf x1n
(on a pas nécessairement l'égalité).
pxn q a une limite x ¡ 0, on a lim sup xn x1n x lim sup x1n et lim inf xn x1n x lim inf x1n . En revanche on n'a pas lim suppxn x1n q lim sup xn lim sup x1n
1
1
ni lim inf xn xn lim inf xn lim inf xn en général (même si xn ¡ 0 @n P
4) Si
N).
Preuve.
2) Si xn ¤ x1n pour tout n ¥ p, alors xn ¤ yp1 pour tout n ¥ p et donc
yp ¤ yp1 pour tout p. En passant à la limite, on a lim yp ¤ lim yp1 .
3) x2n xn x1n ¤ yp yp1 pour tout n ¥ p, d'où yp2
x1n q ¤ lim sup xn lim sup x1n .
¤ yp
yp1 et lim suppxn
4) Soit pxφpnq x1φpnq q une suite extraite qui tend vers lim suppxn x1n q alors
1
xφpnq x1φpnq
xφpnq Ñ x et x1φpnq Ñ lim supxpxn xn q . Comme lim sup x1n
xφpnq
lim suppxn x1n q
est la plus grande des valeurs d'adhérence de px1n q on a
¤
x
lim sup x1n .
Réciproquement, soit x1Ψpnq Ñ lim sup x1n , alors xΨpnq x1Ψpnq Ñ x lim sup x1n
lim sup xn x1n , car alors x lim sup x1n est une valeur d'adhérence de pxn x1n q.
¤
44
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
l
Nous nissons une application, illustrant la simplication apportée à l'étude
des limites de suites par les notions de lim sup et lim inf .
Proposition 2.33
p q
¤ P
On dit qu'une suite de réels positifs xn n N est sous-multiplicative
p, q
N2 , on a xp q xp xq .
L'exemple type est la suite xn
M n où M est une matrice carrée (réelle
si et seulement si pour tout
p qP
}
}
} } est une norme d'algèbre (ou d'opérateur) sur les matrices.
Pour toute suite sous-multiplicative, on a limpxn q inf txn , P Nu.
Preuve. On pose yn pxn q . Soit p P N xé et n P N quelconque. Il
existe un unique couple pq, rq P N2 tel que n pq r et r p. On a alors
ou complexe) et
1
n
1
n
1
n
yn
pxpq r q
1
pq r
¤ pxpq xr q
1
pq r
¤ xp
q
pq r
1
xrpq
r
xp
n r
pn
1
xrn
r 1
1
r Ñ 1 et xpnpn
or r p donc npn
xrn Ñ xpp .
p
On en déduit que lim sup yn ¤ yp pour tout p et donc lim sup yn ¤ inf typ {p P
Nu. Comme par ailleurs, on a yn ¥ inf typ {p P Nu, on en déduit que lim inf yn ¥
inf typ {p P Nu.
Comme par ailleurs, on a toujours lim inf yn ¤ lim sup yn on en déduit
que lim inf yn lim sup yn inf typ {p P Nu. Donc la suite pyn q converge vers
inf typ {p P Nu. l
Chapitre
Sommaire
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Généralités
Parties connexes de R
Composantes connexes
Connexité par arcs
Applications
3
Espaces connexes
Remarque préliminaire: Considérons l'espace E s0, 1rYs2, 3r muni de la
métrique induite par celle de R. Alors O1 s0, 1r est à la fois ouvert et fermé
dans E , puisque O1 E Xs0, 1r E X r0, 1s. Il en est de même de O2 s2, 3r.
3.1
Généralités
Dénition 3.1
Soit
E
un espace topologique. Les propriétés suivantes sont
équivalentes:
i)
ii)
H sont les seules parties ouvertes et fermées de E .
Il n'existe pas de couple pO1 , O2 q d'ouverts non vides de E qui sont disE
et
joints et de réunion égale à
E.
p
F1 , F2
joints et de réunion égale à E .
iii) Il n'existe pas de couple
On dit que
E
est un espace
q de fermés non vides de E qui sont dis-
connexe
si et seulement si
E
vérie l'une des
ces propriétés.
Exemple 3.1
1
Soit
E
tx, yu muni de la distance discrète dénie par dpx, yq (i.e. de la topologie discrète). Alors
E
n'est un espace connexe puisqu'on peut
45
46
CHAPITRE 3.
ESPACES CONNEXES
l'écrire comme réunion disjointe de deux parties non vides (et que toutes les
parties de
E
sont ouvertes et fermées).
Exemple 3.2
muni de la distance induite par celle de
Z
t0u et Zzt0u sont ouverts dans Z).
R
n'est pas connexe
(
Dénition 3.2
X
Soit
E
un espace topologique et
est une partie connexe de
seulement si
X
E
X
une partie de
E.
On dit que
(ou plus simplement un connexe de
muni de la topologie induite par celle de
E
E)
si et
est connexe.
Proposition 3.1 La propriété pour une partie d'être connexe est intrinsèque:
1
si E € E est muni de la topologie induite par celle de E alors les parties
1
1
connexes de E sont les parties connexes de E contenues dans E .
Preuve. On note OE la topologie de E et OE 1 la topologie induite sur
E 1 par OE . Par transitivité de la topologie induite, si X € E 1 € E , alors
les ouverts (respectivement les fermés) de X pour la topologie induite par
OE sont les mêmes que les ouverts (respectivement les fermés) de X pour la
topologie induit par OE 1 . On en déduit facilement la proposition en appliquant
la caractérisation iq de la connexité. l
Théorème 3.2
Soit
E
application continue. Si
et
E
F
deux espaces topologiques et
est connexe alors
f pE q
f : E
Ñ
F
une
est une partie connexe de
F.
Preuve. Soit O une partie ouverte et fermée de f pE q pour la topologie
induite. Comme f est continue comme application à valeurs dans f pE q muni
de la topologie induite, on en déduit que f 1 pOq est un ouvert et un fermé de
E . Comme E est connexe, on en déduit que f 1 pOq est soit vide soit égal à E .
Comme O f pf 1 pOqq, on obtient que O est soit vide soit égal à f pE q entier.
Donc f pE q est connexe. l
La proposition suivante est très pratique pour l'étude des espaces connexes.
Proposition 3.3
Soit
E
un espace topologique.
seulement si toute application continue de
munit
t0, 1u de la topologie discrète).
E
E
dans
est un espace connexe si et
t0, 1u est constante. (ici on
Preuve. Si E est connexe et f : E Ñ t0, 1u continue, alors f pE q est une
partie connexe et non vide de t0, 1u. Or t0, 1u n'est pas connexe (car t0u est
3.1.
47
GÉNÉRALITÉS
ouvert et fermé dans t0, 1u), donc f pE q est égal à t0u ou t1u. On en déduit que
f est constante.
Réciproquement, si E n'est pas connexe, alors E O1 Y O2 avec O1 et
O2 ouverts disjoints non vides de E . On dénit f : E Ñ t0, 1u en posant
f pxq 0 si x P O1 et f pxq 1 si x P O2 . f est bien dénie sur E car O1 et O2
sont disjoints et de réunion égale à E . Comme f 1 pHq H, f 1 pt0uq O1 ,
f 1 pt1uq O2 et f 1 pt0, 1uq E , on en déduit que l'image réciproque de tout
ouvert de t0, 1u est un ouvert de E . Donc f est continue et non constante sur
E. l
La proposition précédente se généralise facilement.
Proposition 3.4
Soit
E
un espace topologique et
cret (i.e. muni de la topologie discrète.
application continue
Proposition 3.5
f :E
Soit
E
E
D
un espace topologique dis-
est connexe si et seulement si toute
Ñ D est constante.
pAi qiPI une famille quelXiPI Ai H alors YiPI Ai est connexe.
un espace topologique et
conque de parties connexes de
E.
Si
Preuve. Fixons un point a P XiPI Ai (c'est possible car cette intersection
est supposée non vide). Si f : YiPI Ai Ñ t0, 1u est une application continue,
alors f|Ai est continue, et donc constante par connexité de Ai . Comme a P Ai
pour tout i P I , on a f pxq f paq pour tout x P Ai . On en déduit que f est
constante égale à f paq sur YiPI Ai . l
Remarque 3.1
Attention, la réunion de deux connexes d'intersection vide
n'est pas connexe en général (voir l'exemple donné en remarque préliminaire).
De même, l'intersection de 2 connexes n'est pas une partie connexe en général.
Proposition 3.6
Si
B
Soit
est une partie de
E un espace topologique et A une partie connexe
E telle que A € B € A alors B est connexe.
de
E.
En particulier, l'adhérence d'une partie connexe est connexe.
Preuve. Soit f : B Ñ t0, 1u une application continue. Comme A est
connexe et que f est continue sur A, on obtient que f est constante sur A.
Comme f est continue sur B , l'ensemble tx P B, f pxq P f pAqu est un fermé
de B contenant A. Donc f est constante sur l'adhérence de A dans B qui est
B X A B . On en déduit que f est constante sur B . l
48
CHAPITRE 3.
Remarque 3.2
ESPACES CONNEXES
L'intérieur d'une partie connexe n'est pas nécessairement connexe.
2
En eet, la réunion de deux disques fermés et tangents extérieurement de
R
est connexe (comme réunion de connexes d'intersection non vide), mais son
intérieur est la réunion des disques ouverts correspondant (qui sont non vides
et disjoints) et donc n'est pas connexe.
3.2
Parties connexes de R
Dénition 3.3
couple
Une partie
I
de
R est un intervalle si et seulement si pour tout
px, yq d'éléments de I , si x y alors rx, ys € I (i.e. les intervalles de R
sont les parties convexes de
Théorème 3.7
R).
Les parties connexes de
R
sont les intervalles de
R.
Preuve. Si I n'est pas un intervalle de R alors il existe px, y q P I I tel
que x y et rx, y s ‚ I . Autrement dit il existe un réel z tel que x z y et
z R I . Alors O1 I Xs 8, z r est un ouvert de I non vide (car il contient x).
De même O2 I Xsz, 8r est un ouvert non vide de I , et on a O1 X O2 H et
O1 Y O2 I Xps8, z rYsz, 8r I XpRztz uq I . Donc I n'est pas connexe.
Réciproquement, si I ra, bs n'est pas connexe, alors I est la réunion de
deux fermés disjoints non vides F1 et F2 . Si a P F1 alors c inf F2 P F2 (car
F2 est fermé) et a c car F1 et F2 sont disjoints. On a donc ra, cr€ F1 (car
ac
P F1 car F1 est fermé. Donc
ra, bs F1 Y F2 ) et donc c nlim
Ñ8 c
n
c P F1 X F2 , ce qui est impossible.
Si I est un intervalle de R. Si I est vide, alors I est évidement connexe.
Si I est non vide, alors I peut toujours être écrit comme réunion d'une suite
de segments ayant tous un point commun (par exemple sa, 8r YnPN ra
1
2 ns). Donc I est connexe comme réunion de connexes d'intersection
n 1, a
non vide. l
On en déduit directement le résultat suivant.
Théorème 3.8 (des valeurs intermédiaires)
connexe et
R.
f :E
En particulier, si
f
valeurs comprise entre
Si
f
Soit
E
un espace topologique
Ñ R une fonction continue, alors f pE q est un intervalle de
prend les valeurs
α
et
β
sur
α
et
β
sur
E,
alors
f
prend toutes les
E.
prend deux valeurs de signes opposés sur
E,
alors
f
s'annule sur
E.
3.3.
49
COMPOSANTES CONNEXES
Remarque 3.3
f pE q
Si
E
est connexe et compact, et si
est un segment de
f
est continue sur
E
alors
R.
Le résultat précédent se généralise.
Proposition 3.9
E un espace topologique connexe, F un espace topoloF et h : E Ñ F une application continue. Si hpE q X
Int A H et hpE q X Ext A H, alors hpE q X Fr A H.
En particulier (si E ra, bs), tout chemin continue dans F qui relie un
point de Int A à un point de Ext A coupe Fr A.
gique,
A
Soit
une partie de
Preuve. IntA et ExtA sont des ouverts de F et F est la réunion disjointe
de Fr A, IntA et Ext A. On a donc
h1 pIntAq Y h1 ExtAq Y h1 pFr Aq
Or cette réunion est disjointe et h1 pIntAq et h1 pExt Aq sont des ouverts E
par continuité de h, non vides par hypothèse. Donc h1 pFr Aq ne peut être vide
sans contredire la connexité de E . l
E
3.3
Composantes connexes
Proposition 3.10
Soit
E
un espace topologique et
une plus grande partie connexe de
connexe de
x
dans
E,
composante connexe de
E
et on la note
E.
contenant
C pxq.
x.
x
un point de
E.
Il existe
On l'appelle composante
On dit aussi que
C pxq
est une
Preuve. Soit C l'ensemble des parties connexes de E contenant x (C est
¤
non vide car il contient au moins txu). Alors
C contient x et est une partie
P
C C
connexe de E (comme réunion de connexes d'intersection ¤
non vide). Enn,
C. l
toute partie connexe de E qui contient x est contenue dans
P
C C
E R et x P R , alors C pxq est le plus grand intervalle
de R contenu dans R et contenant x (d'après le caractère intrinsèque de la
connexité). On en déduit que si x ¡ 0, alors C pxq s0, 8r et si x 0,
C pxq s 8, 0r.
Exemple 3.3
Soit
50
CHAPITRE 3.
Exemple 3.4
nus dans
Q.
ESPACES CONNEXES
E Q. Les connexes de Q sont les intervalles de R conteRzQ est dense dans R (et donc intercepte tout intervalle
non vide), on en déduit que C pxq txu.
Soit
Comme
réel d'intérieur
Proposition 3.11
Soit
E
un espace topologique.
x P E , C pxq
est un fermé de
E.
2) Les composantes connexes distinctes de
E
1) Pour tout
forment une partition de
E.
Preuve.
1) Comme C pxq est connexe, C pxq est un connexe de E qui contient x.
Comme C pxq est le plus grand connexe qui contient x, on a C pxq € C pxq,
donc C pxq est fermé.
”
2) C pxq contient x donc xPE C pxq E . Il reste à montrer que si C pxq
et C py q sont deux composantes connexes alors soit C pxq C py q soit
C pxq X C py q H. Supposons C pxq X C py q H, alors C pxq Y C py q est
un connexe de E qui contient x. On en déduit que C pxq Y C py q € C pxq,
et donc C py q € C pxq. De même, C pxq € C py q.
l
Remarque 3.4
Si
E
est l'ensemble considéré dans la remarque préliminaire,
s0, 1r est la composante connexe de 1{2 dans E . s0, 1r est bien un fermé de E
(mais pas de
R).
Proposition 3.12
Soit
E
et
F
des espaces topologiques et
application continue.
Si
A
est une partie connexe de
une composante connexe de
F.
E
alors
hpAq
h : E
ÑF
une
est entièrement contenue dans
En particulier, les composantes connexes de
E
ont leur images contenues dans des composantes connexes de F .
E
F
Si h est un homéomorphisme et Ci i I , Cj j J sont les composantes
connexes (distincts) de E et F , alors il existe une bijection ϕ : I
J telle que
E
F
pour tout i I , h induise un homéomorphisme de Ci sur Cϕ j .
En particulier des espaces topologiques homéomorphes ont des ensembles de
p qP p q P
P
composantes connexes de même cardinal.
pq
Ñ
3.3.
51
COMPOSANTES CONNEXES
Preuve. Puisque h est continue et A connexe, hpAq est connexe. On en
déduit que si y P hpAq alors hpAq € C py qF . D'où le premier résultat.
Si h est un homéomorphisme, alors pour tout i P I , il existe j P J tel que
hpCiE q € CjF . Comme les pCjF q sont disjoints, j est unique. On pose ϕpiq j .
Si ϕpiq ϕpi1 q, alors hpCiE q Y hpCiE1 q € CϕFpiq . Comme h1 est continue, il
existe i2 P I tel que h1 CϕFpiq € CiE2 . On a alors
Y CiE1 h1 hpCiE q Y hpCiE1 q € h1
CiE
CϕFpiq
€ CiE2
comme les composantes
connexes de E sont disjointes, on obtient CiE CiE1 E
1
F
Ci2 h
Cϕpiq . On en déduit que i i1 (donc ϕ : I Ñ J est injective) et h
induit un homéomorphisme de CiE sur CϕFpiq .
Enn, si j P J , il existe i P I tel que h1 pCjF q € CiE . On en déduit que
CjF
h h1 pCjF q € hpCiE q € CϕFpiq
et comme les composantes connexes de F sont disjointes, on a CjF CϕFpiq et
j ϕpiq. ϕ : I Ñ J est donc une bijection et h un homéomorphisme de CiE sur
CϕFpiq . l
Exemple 3.5
X n'est
X sur Y
La lettre
homéomorphisme
h
de
pas homéomorphe à la lettre
existait, alors pour tout
M
alors que pour tout point
N
de
En eet, si un
X ztM u sur Y zthpM qu. Or, si M est le point
X , alors X ztM u a 4 composantes connexes,
Y , Y ztN u a au plus 3 composantes connexes.
drait en un homéomorphisme de
de croisement des branches de
Y.
P X , h se restrein-
Ce qui n'est pas possible d'après la proposition précédente.
Exercice 3.1
Montrer que
Dénition 3.4
connexe
Soit
E
R
n'est pas homéomorphe à
un espace topologique. On dit que
si et seulement si pour tout
nages connexes.
R2 .
x
E
est
localement
P E admet un SFV constitué de voisi-
Exemple 3.6 R muni de sa topologie usuelle est localement connexe (car sx , x rq¡0 est un SFV de tout x P R) mais pas Q (car aucun voisinage de Q
n'est connexe).
Proposition 3.13
un ouvert de
E,
Si
E
est un espace topologique localement connexe et
alors les composantes connexes de
O
O est
E.
sont des ouverts de
52
CHAPITRE 3.
ESPACES CONNEXES
Preuve. Soit x P O et C pxq sa composante connexe dans O pour la
topologie induite par celle de E . Soit y P C pxq. Comme O est un ouvert de E ,
O est un voisinage de y dans E . Par hypothèse, il existe un voisinage connexe
V de y dans E tel que V € O. Alors V et C pxq sont des connexes de E (car les
connexes de O sont des connexes de E ) d'intersection non vide (elle contient
y ). On en déduit que V Y C pxq est un connexe de E contenu dans O (donc un
connexe de O). Comme C pxq est le plus grand connexe de O contenant x, on a
V € C pxq et donc C pxq est un voisinage dans E de chacun de ses points. Donc
C pxq est un ouvert de E . l
Corollaire 3.14
Tout ouvert
O
de
R
YP s
r
O
i I ai , bi , où les
est un ensemble dénom-
est de la forme
8 ¤ ai bi ¤ 8 et I
brable (i.e. I est ni ou I N).
intervalles sont disjoints,
Preuve. Les composantes connexes de O sont des intervalles ouverts (ce
sont des ouverts de R d'après la proposition précédente et les connexes de O
sont les connexes de Rdonc des intervallescontenus dans O). Comme O est la
réunion disjointe de ses composantes connexes, il ne reste plus qu'à montrer que
O a un nombre dénombrable de composantes. Or chacune de ces composantes
est un ouvert de R, donc elle contient au moins un nombre rationnel (car
Q est dense dans R). Comme les composantes sont disjointes et que Q est
dénombrable, on en déduit que O a un nombre dénombrable de composantes
connexes. l
3.4
Connexité par arcs
Dénition 3.5
Soit
E
un espace topologique. On dit que
E
est
connexe par
pa, bq de points de E , il existe un chemin
continu reliant a et b dans E , i.e. il existe une application continue γ : r0, 1s Ñ
E telle que γ p0q a et γ p1q b.
arcs
si et seulement si pour tout couple
Proposition 3.15
Tout espace connexe par arcs est connexe. La réciproque
est fausse en général.
Preuve. Soit E une partie connexe par arcs. On xe a P E . Alors pour
tout b P E , il existe
γb : r0, 1s Ñ E continue telle que γb p0q a et γb p1q b.
Donc γb pr0, 1sq bPE est une famille de parties connexes dont l'intersection est
3.4.
53
CONNEXITÉ PAR ARCS
non vide (car elle contient a) et E YbPE γb pr0, 1sq. On en déduit que E est
connexe.
Soit A t x, sinp x1 q P R2 {x ¡ 0u, comme A F ps0, 8rq, où F pxq px, sinp1{xqq est continue, on en déduit que A est connexe. On considère E A
où l'adhérence est prise dans R2 . E est alors connexe, mais on
va montrer que
E n'est pas connexe par arcs. On a E A Y t0u r1, 1s . On va montrer
qu'il n'existe pas d'application continue f : r0, 1s Ñ E telle que f p0q p1{π, 0q
et f p1q p0, 1q. En eet, si f existe, soit t0 inf tt ¡ 0{π1 f ptq 0u (où
π1 px, y q x et π2 px, y q y ). Comme π1 f p0q ¡ 0, on a t0 ¡ 0 par continuité
de π1 f en 0. Par dénition de t0 , il existe une suite 1 ¥ tn ¥ t0 qui tend
vers t0 telle que π1 f ptn q 0. Par continuité de π1 f on a π1 f pt0 q 0
et par dénition de t0 , π1 f ptq ¡ 0 pour tout t0 ¡ t ¥ 0 (i.e. f ptq P A pour
tout t P r0, t0 r). On note y π2 f pt0 q. Comme π2 f est continue, il existe
t0 ¡ η ¡ 0 tel que π2 f ptq P ry 1{2, y 1{2s pour tout t Psη, t0 s. Comme
l'intervalle r1, 1s est de longueur 2, il existe z P r1, 1szry 1{2, y 1{2s et
θ Ps0, 2π s tel que z sinpθq. Comme pour k assez grand on a
π1 f pt0 q 0 θ
1
2kπ
π1 f pηq,
le théorème des valeurs intermédiaires implique qu'il existe t1 Psη, t0 r tel que
π1 f pt1 q θ 12kπ et donc, par dénition de A, on a π2 f pt1 q sin π1 f1pt1 q z R ry 1{2, y 1{2s ce qui est en contradiction avec la façon dont η a été choisi.
l
Corollaire 3.16
Les parties convexes d'un espace vectoriel normé sont connexes
(par arcs). En particulier, tout espace vectoriel normé est connexe et localement
connexe (par arcs).
Preuve. Soit A est une partie convexe et x, y deux points de A. Alors la
fonction γ ptq x tpy xq est continue (car }x y }-Lipschitzienne) et relie x à
y , donc A est connexe par arcs. En particulier, toutes les boules ouvertes d'un
espace vectoriel normé étant convexes, on en déduit que tout espace vectoriel
normé est localement connexe par arcs. l
Proposition 3.17
de
X
Soit
pX, }}q un espace vectoriel normé. Les ouverts connexes
sont connexes par arcs. Autrement dit, les ouverts des espaces vectoriels
normés sont connexes si et seulement si ils sont connexes par arcs.
54
CHAPITRE 3.
ESPACES CONNEXES
Preuve. Soit O un ouvert connexe de X et a un point de O . On note Aa
l'ensemble des points b P O pour lesquels il existe un chemin continu reliant a
et b dans O. On doit montrer que Aa O.
Aa est non vide car il contient a (prendre un chemin constant).
Montrons que Aa est ouvert: soit b P Aa alors il existe γb : r0, 1s Ñ O
continue tel que γb p0q a et γb p1q b. Comme O est un ouvert de X , il existe
r ¡ 0 tel que B pb, rq € O. Alors, pour tout y P B pb, rq, le chemin déni par
γy ptq γb p2tq si t P r0, 1{2s et γy ptq b p2t 1qpy bq si t P r1{2, 1s est
continu et relie a à y dans O (par convexité de B pb, rq). On en déduit que
B pb, rq € Aa .
Montrons que Aa est fermé dans O: soit pbn q une suite d'éléments de Aa qui
converge vers un élément b de O. Comme O est un ouvert, il existe r ¡ 0 tel que
B pb, rq € O. Comme pbn q converge vers b, il existe N P N tel que bN P B pb, rq.
Or, il existe un chemin continu γN reliant a à bN dans O, alors le chemin γb
déni par γb ptq γN p2tq si t P r0, 1{2s et γb ptq bN p2t 1qpb bN q si
t P r1{2, 1s est continu et relie a à b dans O (par convexité de B pb, rq). On en
déduit que b P Aa .
On a montré que Aa est une partie non vide, ouverte et fermée de O. Par
connexité de O on en déduit que Aa O. l
Remarque 3.5
Plus généralement, si
E
est un espace topologique localement
connexe par arcs alors tout ouvert connexe de
3.5
E
est connexe par arcs.
Applications
Vous trouverez des exercices basiques pour s'habituer à utiliser les convexes
dans des livres de niveau L (par exemple les livres de Ramis-Deschamps-Odoux
ou de Monnier contiennent beaucoup d'exercices). Dans cette section on utilise
la connexité pour démontrer des résultats classiques d'analyse et d'algèbre.
On va démontrer une version assez générale de l'inégalité des accroissements
nis:
Soit pF, } }q un espace vectoriel normé, f : ra, bs Ñ F et
Ñ R deux fonctions continues. On suppose que f et g admettent des
dérivées à droite partout sur ra, bszD , où D est un ensemble dénombrable, et
1
1
vérient }fd ptq} ¤ gd ptq pour tout t P ra, bszD . Alors }f paq f pbq} ¤ g paq g pbq.
Théorème 3.18
g : ra, bs
3.5.
Remarque
3.6
f ptq
55
APPLICATIONS
p q
1
admet une dérivée à droite en t0 si et seulement si t t f t0
0
admet une limite quand t tend vers t0 par valeurs supérieures. On note
alors
fd1 pt0 q
f
la limite. Remarquez que l'existence d'une dérivée à droite en
n'implique la continuité en
x
(seulement la continuité à droite en
x).
x
Le même
énoncé est valable en remplaçant dérivées à droite par dérivées à gauche.
Preuve.
U
On note D
ta0 , a1 , . . .u. Soit ¡ 0 xé et
t P ra, bs{}f psq f paq} ¤ gpsq gpaq
¸ ps aq
ai
i
s 2
, @s P ra, ts
(
On a a P U , donc U est non vide. Comme ra, bs est un connexe, il ne reste plus
qu'à démontrer que U est ouvert et fermé dans ra, bs. On en déduit alors que
U ra, bs, et donc b P U , i.e.
}f pbq f paq} ¤ gpbq gpaq
pb aq
¸ i
2
¤ gpbq gpaq
p2
b aq
ai b
Comme ¡ 0 est arbitraire, on obtient l'inégalité voulue en faisant tendre vers 0.
Montrons que U est un fermé de ra, bs: soit ptn q une suite d'éléments de U
qui converge vers un point t de ra, bs. Soit s P ra, tr, alors il existe N P N tel
que s ¤ tN . Comme tN P U , on a
}f psq f paq} ¤ gpsq gpaq
ps aq
¸ i
2
ai s
Pour avoir t P U , il ne reste plus qu'à montrer que l'inégalité est valable pour
s t. Comme°elle est valable pour tout s t, elle est valable pour tn t 1{n.
Comme s ÞÑ ai s 2i est croissante, on a
}f ptn q f paq} ¤ gptn q gpaq
¸
ptn aq
ai tn
¤ gptn q gpaq
2i
ptn aq
¸ i
2
ai t
En faisant tendre n vers l'inni et en utilisant les continuités de f et de g en t,
on obtient l'inégalité voulue.
56
CHAPITRE 3.
ESPACES CONNEXES
Montrons que U est un ouvert de ra, bs: Soit t P U . On doit montrer qu'il
existe r ¡ 0 tel que B pt, rq € U . Comme on a ra, ts € U , il ne reste plus qu'à
montrer que rt, t rr€ U pour r ¡ 0 assez petit, i.e qu'on a
¸ }f psq f paq} ¤ gpsq gpaq ps aq
2i
a s
i
pour tout s Pst, t rr. Si t ai0 (i.e. t P D) alors par continuité de f et
g , il existe 3.21i0 ¥ r ¡ 0 tel que @s Pst, t rr, on a }f psq f ptq} ¤ 3.2i0 ,
|gpsq gptq| ¤ 3.2i0 . Comme t P U , on en déduit
}f psq f paq} ¤ }f psq f ptq} }f ptq f paq}
¸ ¤ 3.2 i gptq gpaq pt aq
¤ gpsq gpaq ps aq
2i
0
ai t
¤ gpsq gpaq
¸ ai
¸ ps aq
i
t 2
2i0
i
2
ai s
pour tout s P rt, t rs.
Si t R D, alors f et g sont dérivables à droite en t, et on a }fd1 ptq} ¤ gd1 ptq.
f ptq
g psqg ptq
1
Il existe donc r ¡ 0 tel que }fd1 ptq f pssq
t } ¤ {2 et |gd ptq st | ¤ {2
pour tout s Pst, t rr. D'où
}f psq f paq} ¤ }f psq f ptq} }f ptq f paq}
¤ 2 ps tq }fd1 ptq}ps tq gptq gpaq
¤ 2 ps tq |gd1 ptq|ps tq
¤ ps tq
g psq g ptq
¤ gpsq gpaq
g ptq g paq
pt aq
¸ i
2
ai t
pt aq
¸ i
2
ai s
g ptq g paq
ps aq
pt aq
¸ i
2
¸ i
2
ai s
ai s
pour tout s Pst, t
r r.
l
Corollaire 3.19 Soit pE, } }E q et pF, } }F q deux espaces vectoriels normés,
Ω un ouvert convexe de E et h : Ω Ñ F une application diérentiable sur tout
Ω. Alors pour tout px, y q P Ω2 , on a
}hpxq hpyq}F ¤ sup |||dz h||| }x y}E
P
z Ω
3.5.
57
APPLICATIONS
||| ||| est la norme d'opérateur associée aux normes } }E et } }F .
Preuve. Si supz PΩ |||dz h||| 8, l'inégalité est évidente. Sinon, on pose
f ptq h x tpy xq et g ptq t supzPΩ |||dz h|||}x y }E . Alors f est dérivable
sur r0, 1s et vérie }f 1 ptq}F }dhpx y q}F ¤ supzPΩ |||dz h|||}x y }E g 1 ptq
où
et donc, d'après le théorème précédent, on a
}hpxq hpyq}E ¤ }f p1q f p0q}E ¤ gp1q gp0q sup |||dz h||| }x y}E .
P
z Ω
l
Corollaire 3.20
Si
dx h 0
pE, } }E q et pF, } }F q deux espace vectoriel normé, Ω
E et h : Ω Ñ F une application diérentiable sur tout Ω.
x P Ω alors h est constante sur Ω.
Soit
un ouvert connexe de
pour tout
Preuve. Si Ω est convexe, la propriété découle directement du corollaire
précèdent.
Si Ω est seulement connexe, on xe x0 P Ω et on pose A tx P Ω{hpxq hpx0 qu. Alors A est non vide car il contient x0 . Comme d'habitude, on va
montrer que A est fermé et ouvert dans Ω.
Si pxn q est une suite d'éléments de A qui converge vers un élément x de Ω,
alors par continuité de h, on a hpxq limnÑ8 hpxn q hpx0 q et donc x P A.
On en déduit que A est fermé dans Ω.
Si x P A, alors il existe r ¡ 0 tel que B px, rq € Ω (car Ω est ouvert dans E ).
Comme B px, rq est convexe et que h|B px,rq est diérentiable de diérentielle
nulle, on a hpy q hpxq hpx0 q pour tout y P B px, rq, et donc B px, rq € A.
On en déduit que A est ouvert dans Ω.
A est une partie, non vide, ouverte et fermée du connexe Ω et donc A Ω,
ce qui donne le résultat. l
Comme autre application, on va donner une preuve du théorème de D'AlembertGauss:
Théorème 3.21
Alors
P
Soit
P
un polynôme non constant à coecients complexes.
admet une racine dans
C.
Preuve. D'après la formule de Taylor pour les polynômes (qui se démontre
facilement par récurrence sur le degré de P ), on a
P pz
hq p q
deg
¸P
k 1
P pkq pz q
hk
k!
P pzq
P 1 pz qh
hphq
58
CHAPITRE 3.
ESPACES CONNEXES
où phq tend vers 0 quand h tend vers 0. On en déduit que dz P phq P 1 pz qh.
On note F l'ensemble des racines de P 1 dans C et H P 1 tP pF qu  F . Une
application de la division euclidienne montre que F et H sont des parties nies
de C (tout polynôme de degré d a au plus d racines). Soit Ω CzP pF q. Comme
P pF q est ni, il est facile de se convaincre que Ω est connexe par arc dans C et
donc Ω est connexe. Soit Ω1 P pCzH q € Ω.
Ω1 est une partie non vide de Ω.
Comme pour tout z appartenant à l'ouvert CzH , dz P est inversible, le
théorème d'inversion local implique que Ω1 P pCzH q est un ouvert de C.
Comme Ω1 € Ω, on en déduit que Ω1 est un ouvert de Ω.
Enn, si pzn q est une suite d'éléments de Ω1 qui converge vers un élément
z de Ω, alors cette suite est bornée et il existe M ¡ 0 tel que |zn | ¤ M pour
tout n P N. Par hypothèse, il existe xn P CzF tel que zn P pxn q. On note
|a | |a | P pz q ad z d a0 . Si |xn | ¥ max 1, 2 d1 |ad | 0 , alors on a
¥ |P pxn q| ¥ |ad ||xn |d |ad1 ||xn |d1 |a0 |
¥ |ad ||xn |d 1 |a|ad||x1 | | |a |||ax0 | |d
d
n
d
n
d
¥ |ad ||xn |d 1 |a|ad||x1 | | |a|a||0x| | ¥ |ad ||2xn | .
d
n
d
n
On en déduit que pour tout n P N, on a
|xn | ¤ max 1, 2 |ad1 | |a | |a0 | , 2M
|ad |
d
La suite pxn q est bornée dans C et donc elle admet une suite extraite pxn1 q
qui converge vers un élément x de C. Par continuité de P en x, on a P pxq lim P pxn1 q lim zn1 z P Ω CzP pF q et donc x P CzH . On en déduit que
z P pxq P P pCzH q Ω1 , et donc Ω1 est un fermé de Ω.
M
1
d
Ω est un connexe et Ω1 est une partie non vide, ouverte et fermée de Ω. On
a donc P pCzH q Ω1 Ω CzP pF q. Comme par ailleurs on a P pH q P pF q,
on en déduit que
P pCq P pCzH q Y P pH q CzP pF q
et donc P
Y P pF q C
est surjective. En particulier, il existe z P C tel que P pz q 0. l
Chapitre
Sommaire
4.1
4.2
4.3
4.4
Généralités
Sous-espaces, espaces produits
Théorème du point xe
Critère de Cauchy pour les fonctions
4
Espaces complets
4.1
Généralités
Dénition 4.1
de
E
pE, dq un espace métrique. Une suite pxn qnPN d'éléments
¡ 0, il existe n0 P N
p qP
¥
¥
pxp , xq q ¤ .
Soit
est une suite de Cauchy si et seulement si pour tout
tel que pour tout p, q
N2 , si p n0 et q n0 alors d
Proposition 4.1
Les propriétés suivantes sont très pratiques.
1) Toute suite convergente est de Cauchy.
2) Toute suite de Cauchy est bornée.
3) Toute suite de Cauchy dont on peut extraire une suite convergente est
elle-même convergente.
Preuve.
1) Si xn Ñ l alors pour tout ¡ 0, il existe n0 P N tel que pour tout
n ¥ n0 on a dpxn , lq ¤ {2. D'où, si p ¥ n0 et q ¥ n0 alors dpxp , xq q ¤
dpxp , lq dpxq , lq ¤ .
59
60
CHAPITRE 4.
ESPACES COMPLETS
2) Il existe n0 P N tel que pour tout n ¥ n0 , on a dpxn , xn0 q ¤ 1. Donc,
pour
tout n P N, on a dpxn0 , xn q ¤ max dpxn0 , x1 q, , dpxn0 , xn0 1 q, 1 .
l
3) Si lim xφpnq l, alors pour tout ¡ 0, il existe n0 P N tel que @n ¥ n0 ,
on a dpxφpnq , lq ¤ {2. Or pxn q est de Cauchy, et donc il existe n1 P N tel
que si n ¥ n1 ¥ n0 et m ¥ n1 alors dpxn , xm q ¤ {2. Comme φpnq Ñ 8,
il existe k ¥ n0 tel que m φpk q ¥ n1 . On en déduit que pour tout
n ¥ n1 , on a dpxn , lq ¤ dpxn , xφpkq q dpxφpkq , lq ¤ .
Dénition 4.2
E
converge dans
Théorème 4.2
pE, dq est complet si et seulement si toute suite de Cauchy de
E.
Par construction,
Proposition 4.3
pE, dq Ñ pE 1 , d1 q
Soit
R
est complet pour la distance usuelle.
pE, dq et pE 1 , d1 q deux espaces métriques. S'il existe f :
bijective et uniformément bi-continue (i.e.
uniformément continues), alors
est complet.
f
et
pE, dq est complet si et seulement
f 1 sont
1 1
si pE , d q
Supposons que pE 1 , d1 q est complet et soit pxn qnPN est une suite
de Cauchy de pE, dq. Comme f est uniformément continue, pour tout ¡ 0, il
existe η ¡ 0 tel que pour tout px, y q P E 2 , si dpx, y q ¤ η alors d1 pf pxq, f py qq ¤ .
Or pxn qnPN et de Cauchy, donc il existe n0 P N tel que si p ¥ n0 et q ¥ n0 , alors
dpxp , xq q ¤ η , et donc d1 f pxp q, f pxq q ¤ . On en déduit que f pxn q est de
Cauchy dans pE 1 , d1 q, donc
convergente vers y P E 1 . Comme f 1 est continue,
1
pxn qnPN f f pxn q converge vers f 1 pyq P E . l
Preuve.
Corollaire 4.4
Soit
d1
et
complet si et seulement si
Preuve.
d
deux distances équivalentes sur
pE 1 , d1 q est complet.
E,
alors
En eet, Id est alors bi-Lipschitzien, donc bi-continue.
pE, dq est
l
Corollaire 4.5
Tout espace isométrique à un espace complet est complet.
Remarque 4.1
Les propriétés pour une suite d'être de Cauchy et pour un
espace d'être complet ne sont pas topologiques (elles ne sont pas conservées pas
homéomorphisme).
4.2.
61
SOUS-ESPACES, ESPACES PRODUITS
Exemple 4.1 Soit E R muni
d1 px, y q | ln x ln y |. d et d1 sont
des deux distances
dpx, y q
|x y|
topologiquement équivalentes (car
p
q
ln
et
e
et
étant continues, IdE est un homéomorphisme), mais E, d est non complet.
1
En eet, n tend vers 0 dans R pour la distance usuelle et donc est de Cauchy
dans
p q
R
pour la distance usuelle. On en déduit qu'elle est de Cauchy dans
pour la distance
dans
E
d,
mais par unicité de la limite dans
R,
E
elle ne converge pas
pour la distance usuelle.
pE, d1 q est complet (car ln : E Ñ R est une isométrie de pE, d1 q
sur R muni de la distance usuelle) et la suite p1{nq n'est pas de Cauchy pour
En revanche
d1 .
4.2
Sous-espaces, espaces produits
4.2.1
Sous-espaces
Théorème 4.6
F
Soit
pE, dq un espace métrique et F une partie non vide de E .
est muni de la distance induite par
d.
1) Si
F
est complet pour la distance induite par
2) Si
F
est un fermé de
E et
d.
si
la distance induite par
En particulier, si
induite par
d
F
alors
F
pE, dq est complet alors F
pE, dq est complet alors F
si et seulement si
d
est un fermé
E
est complet pour
est complet pour la distance
est un fermé de
E.
Preuve.
1) Soit pxn qnPN une suite d'élément de F qui converge vers l dans E . Donc
pxn qnPN est une suite de Cauchy pour d, et donc pour la distance induite
par d sur F . Comme F est complet pour la distance induite, pxn qnPN
converge vers un élément l1 P F pour la distance induite, et donc pour d.
Comme la limite est unique dans E , on a l l1 P F . Donc F est fermé.
2) Soit pxn qnPN une suite de Cauchy de F . pxn qnPN est aussi une suite de
Cauchy de E . Comme E est complet, il existe l P E tel que lim xn l.
Or F est fermé, donc l P F . Alors pxn qnPN converge dans F vers l pour
la distance induite et F est complet.
l
62
CHAPITRE 4.
Remarque 4.2
R
ESPACES COMPLETS
est dense dans
R muni de sa topologie usuelle et R complet
R R. On en déduit qu'il n'existe pas de distance
distance usuelle sur R et la topologie usuelle sur R.
pour la distance usuelle. Or
sur
R
qui induise la
Théorème 4.7
Soit
pE, dq un espace métrique complet et pFn qnPN
une suite
E dont le diamètre δ pFn q tend
“
vers 0. Alors il existe a P E tel que
nPN Fn tau. De plus, si pxn qnPN est une
suite de points de E telle que xn P Fn pour tout n P N, alors pxn qnPN converge
vers a.
décroissante de parties fermées et non vides de
Preuve. Comme les Fn sont non vides, on peut se donner une suite pxn qnPN
telle que xn P Fn pour tout n P N. Soit q ¥ p, comme xq P Fq € Fp , on a
dpxp , xq q ¤ δ pFp q. Comme δ pFp q Ñ 0, dpxp , xq q tend vers 0 lorsque p tend vers
l'inni (et q ¥ p). La suite pxn qnPN est de Cauchy et E est complet, donc il
existe a P E tel que xn Ñ a. Pour tout n P N et tout p ¥ n on a xp P Fp € Fn .
Comme xp Ñ a et que Fn est fermé, on obtient a P Fn . D'où tau € Xn Fn .
Si b P Xn Fn alors pour tout n P N, on a pa, bq P Fn2 , et donc dpa, bq ¤ δ pFn q.
En passant à la limite on obtient dpa, bq ¤ 0, et donc a b. On en déduit que
Xn Fn tau.
Enn, en reprenant les arguments ci-dessus, on a facilement que toute suite
pxn qnPN tel que xn P Fn converge dans Xn Fn , et donc vers a. l
Remarque 4.3
culier la suite
R
Toutes les hypothèses du théorème sont nécessaires. En parti-
Fn
rn, 8r est un suite décroissante de fermés non vides de
d'intersection vide.
4.2.2
Espaces produits
Soit pE1 , d1 q, . . ., pEn , dn q des espaces et métriques et E E1 . . . En muni d'une des distances équivalentes D1 , D2 ou D8 . Alors le
produit E est complet si et seulement si tous ses facteurs pEi , di qi sont complets.
Théorème 4.8
Preuve. Comme D1 , D2 et D8 sont équivalentes, il sut de montrer le
théorème pour la distance D8 .
Si pEi , di q n'est pas complet, soit pxi,p qp une suite de Cauchy de pEi , di q qui
ne converge pas dans Ei . Alors la suite px1 , . . . , xi,p , . . . , xn q, où x1 P E1 , . . . ,
xn P En sont xés, est de Cauchy dans E et ne converge pas.
Réciproquement, si tous les espaces pEi , di q sont complets et que Xp px1,p , . . . , xn,p q est une suite de Cauchy de E alors pour tout i, on a di pxi,p , xi,q q ¤
4.3.
63
THÉORÈME DU POINT FIXE
D8 pXp , Xq q, et donc pxi,p qp est une suite de Cauchy de pEi , di q pour tout
1 ¤ i ¤ n. Il existe donc xi P Ei tel que la suite pxi,p qp tende vers xi . On en
déduit que pXp qp tend vers px1 , . . . , xn q. l
Exemple 4.2
n
¸
On en déduit que
d
n
¸
|xi yi |, D2 px, yq i 1
plet.
Exemple 4.3
px, yq ÞÑ x
Cn
d
i 1
iy
Rn
muni d'une des distances usuelles
|xi yi |2 ou D8 px, yq 1max
|x y | est com¤i¤n i i
i 1
p
1 q |z z 1 | est complet (car
muni de la distance usuelle d z, z
2
est une isométrie de R , D2 sur C,
C
p
q
muni d'une des distances usuelles
n
¸
D1 px, y q p | n |q). Plus généralement,
¸
D1 pz, z 1 q |zi zi1 |, D2 pz, z1 q i 1
|zi zi1 |2 ou D8 pz, z1 q 1max
|z z1 | est complet.
¤i¤n i i
Remarque 4.4
On verra que plus généralement, tout espace vectoriel normé
de dimension nie est un espace métrique complet.
4.3
Théorème du point fixe
pE, dq un espace métrique. Une application f : E Ñ E
k P r0, 1r telle que pour tout
px, yq P E E , d f pxq, f pyq ¤ kdpx, yq.
Théorème 4.9 Soit pE, dq un espace métrique complet et f : E Ñ E une
application contractante. Alors f possède un unique point xe α P E . De plus,
pour toute suite x0 P E , la suite dénie par xn 1 f pxn q pour tout n P N tend
Dénition 4.3
Soit
est dite contractante si et seulement si il existe
vers
α.
Plus précisément, on a
dpα, xn q ¤ k
nd
x0 , f px0 q
.
1k
Preuve. Soit x0 P E et pxn q la suite dénie par xn 1 f pxn q. Alors
@n ¥ 1, on a dpxn 1 , xn q ¤ kdpxn , xn1 q ¤ kn dpx1 , x0 q. On en déduit que si
q ¡ p, dpxp , xq q ¤ dpxp , xp 1 q . . . dpxq1 , xq q ¤ pk p k p 1 . . . k q1 qdpx0 , x1 q.
64
CHAPITRE 4.
ESPACES COMPLETS
p q
On en déduit que pour tout q ¥ p, on a dpxq , xp q ¤
Ñ 0 quand
p Ñ 8. La suite pxn qnPN est donc de Cauchy, et comme E est complet, il existe
α P E tel que xn Ñ α. Or f est continue (car Lipschitzienne) et xn 1 f pxn q.
En passant à la limite, on obtient α f pα
q et donc α est un point xe de f .
Si f pβ q β alors dpα, β q d f pαq, f pβ q ¤ kdpα, β q. Comme k P r0, 1r, on
obtient dpα, β q ¤ 0 et donc α β . D'où l'unicité du point xe de f .
En reprenant les arguments précédent, toute suite itérée converge vers un
point xe de f et donc vers α. l
d x0 ,f x0
kp
1 k
Remarque 4.5
l'hypothèse f contractante ne peut être remplacée en général
d f pxq, f py q dpx, y q
?
f : x P R ÞÑ x2 1 P R.
par l'hypothèse plus faible
montre l'exemple
pour tout
x
y, comme le
Ce théorème se généralise facilement de la manière suivante.
Corollaire 4.10
fp
de E
tel que
pxn q
Soit
E
un espace complet et
soit contractante, alors
telle que
xn
1
f
f :E
Ñ E . S'il existe p P N
admet un unique point xe et toute suite
f pxn q converge vers α.
f p admet un unique point xe dans E . Les points xes de f sont
des points xes de f p , donc f admet au plus un point
xe dans E . Soit α P E
le point xe de f p . Comme f p f pαq f f p pαq f pαq, on en déduit, par
unicité du point xe de f p que α f pαq, d'où l'existence d'un point xe de
f . Enn, si pxn qnPN est une suite itérée de f , alors les suites pxr np qn (pour
0 ¤ r p) sont des suites itérées de f p , et donc convergent vers α. On en
déduit facilement que pxn qn converge vers α. l
Preuve.
4.4
Critère de Cauchy pour les fonctions
Théorème 4.11 (Critère de Cauchy)
pE 1 , d1 q
un espace métrique complet. Soit
Soit
X
pE, dq un espace topologique et
€ E et a P E tel que a P X .
Ñ E 1 a une limite quand x tend vers a en restant dans
X si et seulement si pour tout ¡ 0, il existe U P V paq tel que pour tout
px, yq P X X U 2 , d1 f pxq, f pyq ¤ .
Preuve. Si f tend vers l P E 1 quand x tend vers a en restant dans
X alors pour tout ¡ 0, il existe U P V paq tel que pour tout x P X X
Une application
f :X
4.4.
65
CRITÈRE DE CAUCHY POUR LES FONCTIONS
2
2
U , d1 fpxq, l ¤ {2 et donc pour tout px, y q P X X U , d1 f pxq, f py q ¤
d1 f pxq, l d1 l, f py q ¤ (la complétude de E 1 n'est pas nécessaire pour cette
implication).
Réciproquement, soit pxn qn est une suite d'éléments de X telle que xn Ñ a
2
et ¡ 0. Par hypothèse, il existe U P V paq tel que pour tout px, y q P X X U ,
d1 f pxq, f py q ¤ . Comme xn Ñ a, il existe n0 P N tel
que pour tout q ¥ p ¥
n0 , on a pxp , xq q P pU X X q2 et donc d f pxp q, f pxq q ¤ . On en déduit que
f pxn q nPN est une suite de Cauchy. Comme E 1 est complet, f pxn q n converge.
On a donc montré
que pour toute suite pxn qnPN d'éléments de X qui converge
vers a, f pxn q converge dans E 1 . On a vu précédemment que cela implique
que f a une limite quand x tend vers a en restant dans X . l
Corollaire 4.12 (Prolongement des applications uniformément continues)
1 1
Soit pE, dq un espace métrique, pE , d q un espace métrique complet et D € E
1
une partie dense de E . Si f : D Ñ E est une application uniformément conti1
nue alors f admet un unique prolongement continue f˜ : E Ñ E . De plus, f˜
est uniformément continue sur
E.
Si g : E Ñ E 1 et h : E Ñ E 1 sont deux prolongements continus de
f ils coïncident sur un fermé de E contenant D et donc sont égaux sur E D.
Soit a P E . Comme f est uniformément continue sur D, pour tout ¡ 0
il existe η ¡ 0 tel que pour tout couple px, y q P D2 , si dpx, y q η alors
2
d f pxq, f py q ¤
. On en déduit que pour tout px, y q P B pa, η {2q X D on
a d f pxq, f py q ¤ , et donc que f vérie le critère de Cauchy sur D en tout
point de E D. La fonction f˜ : E Ñ E 1 dénie par f˜paq lim f pxq est
Preuve.
x
Ña, xPD
alors un prolongement de f (car f est continue sur D). Il reste à montrer que
f˜ est uniformément continue sur E .
Soit ¡ 0. Comme f est uniformément continue
sur D, il existe η ¡ 0 tel
que pour tout px, y q P D2 , on a d1 f pxq, f py q ¤ dès que dpx, y q ¤ η . Soit
pa, bq P E 2 tel que dpa, bq ¤ η{2. Comme E D, il existe pan qn et pbn qn des
suites d'éléments de D qui tendent respectivement vers a et b. Il existe donc
n0 P N tel que dpan , bn q ¤dpan , aq dpa, bq dpbn , bq ¤ η pour tout n ¥ n0 .
On a donc d1 f pan q, f pbn q ¤ pour tout n ¥ n0 . Comme f pan q Ñ f˜paq et
f pbn q Ñ f˜pbq, on obtient d1 f˜paq, f˜pbq ¤ . l
Théorème 4.13 (complété d'un espace métrique) Soit pE, dq un espace
pE 1 , d1 q et une application i :
métrique. Il existe un espace métrique complet
66
E
CHAPITRE 4.
Ñ
Ẽ
telle que pour tout
dense dans
de
pE, dq.
E 1 . pE 1 , d1 q
ESPACES COMPLETS
E 2 , d1 ipxq, ipy q
px, yq P
dpx, yq
et
ipE q
est
est unique à isométrie prés et on l'appelle le complété
Preuve. On note F l'ensemble des suites de Cauchy de pE, dq. On dénit
une relation d'équivalence sur F par la relation pxn q X Y pyn q si et
seulement si dpxn , yn q Ñ 0 (la transitivité découle de l'inégalité triangulaire).
On dénit une distance sur E 1 F { en posant d1 px, y q lim dpxn , yn q, si
pxn q est un représentant de x et pyn q est un représentant de y. d1 est bien
dénie car dpxp , yp q dpxq , yq q ¤ dpxp , xq q dpxq , yq q dpyq , yp q dpxq , yq q ¤
dpxp , xq q dpyq , yp q, et donc par symétrie
d xp , yp
p
q dpxq , yq q ¤ dpxp , xq q dpyq , yp q
Les suites pxn q et pyn q étant de Cauchy, on en déduit que la suite dpxn , yn q
1
est de Cauchy dans R et donc converge dans R. Enn, si px1n q et
pyn q sont
dpxn , yn q
d'autres représentants
de
x
et
y
alors
l'inégalité
triangulaire
donne
dpx1n , yn1 q ¤ dpxn , x1n q dpyn , yn1 q et donc la limite d1 px, y q ne dépend pas du
choix des représentants.
d1 est une distance sur E 1 car
1. d1 px, y q ¥ 0 comme limite d'une suite positive et si dpx, y q 0, alors
pour tout représentant pxn qn de x et tout représentant pyn qn de y , on a
0 dpx, y q lim dpxn , yn q et donc x y par dénition de .
2. d1 est symétrique comme d.
3. d1 px, z q lim dpxn , zn q ¤ lim dpxn , yn q
dpyn , zn q d1 px, y q
d1 py, z q.
On dénit i : E Ñ E 1 par ipxq est la classe
de la suite constante xn x
(qui est bien de Cauchy). Alors d1 ipxq, ipy q lim dpxn , yn q dpx, y q pour
tout px, y q P E 2 .
Pour montrer que E 1 est complet, commençons par remarquer que si pan q
est une suite de Cauchy de E et paφpnq q est une suite extraite de pan q, alors elle
est de Cauchy et d an , aφpnq Ñ 0 car φpnq ¥ n pour tout n P N. On en déduit
que pan q et toutes ses suites extraites représentent le même élément de E 1 .
Soit pxn qn une suite de Cauchy de E 1 . Quitte à extraire une sous-suite, on
peut supposer que d1 pxn , xm q ¤ 2n1 2 pour tout m ¥ n. Pour tout n P N, il
p nq
existe une suite de Cauchy pap qp de E qui représente xn , et quitte à extraire
4.4.
67
CRITÈRE DE CAUCHY POUR LES FONCTIONS
pnq pnq p nq
une suite de pap qp pour tout n P N, on peut supposer que d ap , aq
¤ 2p1 1
pour tout q ¥ p et tout n P N.
pkq pk 1q On pose p0 1, et on suppose construit p0 pn tel que d apk , apk 1 ¤
P t0, , nu. Comme 2 1 ¥dpxn , xn 1 q limpÑ8 d appnq , appn 1q
pnq pn 1q ¤ 1 et donc d apnq , apn 1q ¤
il existe pn 1 ¡ pn tel que d ap , ap
p
p
2
pnq pnq
1
1
1
1
d ap , ap
¤
¤
car
p
¥
n
.
Par
récurrence,
on
n
2
2
2
2
p
nq pmq p
nq
¤
obtient une suite pap q telle que pour tout m ¥ n, on a d ap , ap
°
°
p
kq pk 1q 1
1
¤ n¤k¤m1 2 ¤ 2 . C'est donc une suite
de
n¤k¤m1 d ap , ap
p
q q pnq 1
1
et si
Cauchy de E . Soit x sa classe dans E . On a d px, xn q limq d ap , aq
pqq pnq ¤ d apqq , apnq d apnq , apnq ¤ 1
1
q ¥ pn , alors d ap , aq
.
Donc
q
p
p
p
2 2
1
d1 px, xn q ¤ 2 1
Ñ 0. On en déduit que pxn q converge vers x dans
2
pE 1 , d1 q.
Si pE 2 , d2 q est un autre espace
métrique complet pour lequel il existe j :
E Ñ E 2 vériant d2 j pxq, j py q dpx, y q et j pE q est dense dans E 2 , alors
J j i1 : ipE q Ñ E 2 préserve les distances (donc est 1-Lipschitzienne)
1
2k
pour tout k
n
n
n
1
n
n
1
pn
1
1
n
2
n
1
n
1
n
1
n
k
m
n
k
1
1
n
1
n
k
n
q
q
q
n
1
pn
n
n
n
1
pn
1
1
et d'après le corollaire précédent, J admet un unique prolongement continu
J 1 : E 1 Ñ E 2 . Ce prolongement préserve les distances. De même, l'application
I i j 1 : j pE q Ñ E 1 admet une unique application continue I 1 : E 2 Ñ E 1
qui préserve les distances. Alors I 1 J 1 est un prolongement continue de IdipE q .
Par unicité de ce prolongement, on a I 1 J 1 IdE 1 . De même J 1 I 1 IdE 2
et donc J 1 est une isométrie de E 1 sur E 2 . l
,
Chapitre
Sommaire
5.1
5.2
5.3
5.4
Généralités
Propriétés des suites d'un compact
Parties compactes de R, Rn , C et Cn
Fonctions continues sur les compacts
5
Espaces compacts
5.1
Généralités
Dénition 5.1 (Borel-Lebesgue)
compact si et seulement si
E
Soit
E
un espace topologique.
E
on peut extraire un recouvrement ni (i.e. pour toute famille d'ouverts
de
YP
E
est dit
est séparé et de tout recouvrement ouvert de
€
E
pOi qiPI
Y P
telle que E
I tel que J est nie et E
i I Oi , il existe J
j J Oj ).
De manière équivalente, E est compacte si et seulement si E est séparé et
de toute famille de fermés de
E
d'intersection vide, on peut extraire une sous
famille nie d'intersection vide.
Proposition 5.1
més non vide de
Soit
E.
E
Alors
un compact et
Xn Fn H.
pFn qnPN une suite décroissante de fer-
Preuve. Comme E est compact, si Xn Fn est vide alors il existe pn1 , . . . , np q P
£
Np tels que n1 . . . np et
Fni H. Or on a Fn1  . . .  Fnp et donc
Fnp
£
¤¤
¤¤
1 i p
Fni
H, d'où la contradiction. l
1 i p
69
70
CHAPITRE 5.
Dénition 5.2
E)
E un espace topologique et X € E . On dit que X est une
E si et seulement si X muni de la topologie induite (par
Soit
partie compacte de
celle de
ESPACES COMPACTS
est compact.
E un espace topologique et X € E muni de la topologie
X est séparé. Alors X est compacte si et seulement si
de toute famille d'ouverts de E recouvrant X on peut extraire une sous-famille
nie recouvrant X .
Proposition 5.2
Soit
induite. On suppose que
Preuve. Soit pOi qiPI une famille d'ouverts de E telle que X € YiPI Oi .
Alors X YiPI XX Oi . Si X est compacte alors il existe J € I nie telle que
X Yj PJ X X Oi , et donc X € Yj PJ Oj .
On démontre de même la réciproque en utilisant que U est un ouvert de X
pour la topologie induite si et seulement si il existe une ouvert O de E tel que
U O X X. l
De même on démontre la proposition suivante:
F € E muni de la topologie
F . X est une partie compacte de E si et seulement
compacte de F . La propriété pour une partie d'être compacte
Proposition 5.3
induite et
si
X
X
E
Soit
un espace topologique,
une partie de
est un partie
est donc intrinsèque.
Exemples 5.1
1) toute partie nie d'un espace séparé est compacte.
pxn qnPN une suite d'éléments de E qui converge
txn , n P Nu Y tlu est compacte:
En eet, si pOi qiPI est une famille d'ouverts de E qui recouvre X , alors
il existe i0 P I tel que l P Oi . Comme xn Ñ l, il existe n0 P N tel que
xn P Oi pour tout n ¥ n0 . Comme pour tout n ¤ n0 , il existe in 1 P I
n 1
tel que xn P Oi
, on en déduit que X € Yj 0 Oi .
R est non compacte car Fn rn, 8r est une suite décroissante de fermés
2) Soit
E
un espace séparé et
vers l, alors
X
0
0
0
n
3)
non vides de
4)
X
R
1
j
dont l'intersection est vide.
s0, 1s n'est pas compact compact car On s1{n, 1s est une suite d'ou-
verts de
X
recouvrant
vrement ni.
X
et dont on ne peut extraire aucun sous recou-
5.2.
Théorème 5.4
E
Soit
un espace topologique séparé et
1) Si
X
est compacte alors
X
est un fermé de
2) Si
X
est un fermé de
E
et
E
En particulier, si
si
X
71
PROPRIÉTÉS DES SUITES D'UN COMPACT
est fermée dans
E est
E.
X
€ E.
E.
est compacte alors
compacte alors
X
X
est compacte.
€ E est compacte si et seulement
Preuve. 1) soit y P E zX . Comme E est séparé, pour tout x P X , il
existe des ouverts Wx P V pxq et Vx P V py q tels que Wx X Vx H. Alors
pWx qxPX est un recouvrement ouvert de X . Comme X est compacte, il existe
px1 , . . . , xn q P X n tels que X € W y Y1¤i¤n Wxi . Alors V y X1¤i¤n Vxi
est un voisinage ouvert de y et V y X X € V y X pY1¤i¤n Wxi q Y1¤i¤n pV y X
Wxi q € Y1¤i¤n pVxi X Wxi q H. Donc @y P E zX , il existe V y P V py q tel que
V y € E zX , on en déduit que E zX est ouvert.
2) Si pFi qiPI est une famille de fermés de X d'intersection vide, alors c'est
aussi une famille de fermés de E d'intersection vide (car X est un fermé de E ).
Par compacité de E on en déduit qu'il existe une sous famille nie d'intersection
vide, d'où la compacité de X . l
Remarque 5.1
disjointes. Soit
Soit
y
E
un espace séparé,
X
et
Y
deux parties compactes de
E
P Y . En appliquant ce qui est fait dans la preuve du point
y
y
1) du théorème précèdent, on obtient deux ouverts disjoints W
et V
tels
Wy
X et y V y . Comme V y y Y est un recouvrement de Y et que
Y est compact, il existe y1 , . . . , yn
Y n tels que Y soit inclus dans l'ouvert
yi
yi
V
V
.
De
plus
W
W
est
un
i
i
ouvert qui contient X et on a V W
yi
yi
yi
yi
V
W
V
W
.
i
i
i
Donc si X et Y sont deux parties compactes et disjointes et E et si E est

que
Y
Y
X X
P
p qP
p
qP
X
€Y
X
H
séparé, alors il existe deux ouverts disjoints
Y
5.2
€V.
X U
et
V
de
E
tels que
X
€U
et
Propriétés des suites d’un compact
Théorème 5.5
1) toute suite
2) Si
Soit
E
un espace compact.
pxn qn d'éléments de E admet une valeur d'adhérence.
pxn qn admet une seule valeur d'adhérence, alors elle converge dans E .
72
CHAPITRE 5.
ESPACES COMPACTS
Preuve. 1) Soit Sn txp , p ¥ nu. On sait que l'ensemble des valeurs
d'adhérence de pxn qn est égal à A Xn Sn . Comme pSn qn est une suite décroissante de fermés non vides de E et que E est compact, A est non vide.
2) Soit a l'unique valeur d'adhérence de pxn qn et V un voisinage ouvert de
a. Comme Fn Sn X pE zV q est une suite décroissante de fermés de E et que
Xn Fn pXSn q X pE zV q tau X pE zV q H, il existe n0 P N tel que Fn0 H,
et donc Sn0 € Sn0 € pE zV q. On en déduit que xn P V pour tout n ¥ n0 . l
Corollaire 5.6
Tout espace métrique compact est complet. La réciproque est
fausse.
Preuve. Rappelons que toute suite de Cauchy qui admet une valeur
d'adhérence converge et que R est complet mais non compact l
Théorème 5.7
Soit
E
un espace métrique (ou à topologie métrisable).
compact si et seulement si toute suite de points de
E
E
est
admet une valeur d'adhé-
rence (i.e. admet une sous-suite qui converge).
Preuve. D'après le théorème précèdent (valable pour tout compact) et la
caractérisation des valeurs d'adhérence en terme de suites extraites, il sut de
montrer le sens indirect.
Comme E est un espace métrique, il est séparé. Soit pOi qiPI une famille
d'ouverts de E recouvrant E . On a besoin d'un premier lemme:
Lemme 5.8 (de Lebesgue)
boule
B px, rq
il existe
r
¡ 0 tel que pour tout point x de E , la
est contenue dans au moins un des ouverts
Oi .
Ce lemme se démontre par l'absurde, si pour tout r ¡ 0 il existe x P E tel
que B px, rq ne soit inclus dans aucun Oi , alors en posant r 1{n, on obtient une
suite pxn qn tel que B pxn , 1{nq n'est inclus dans aucun des Oi . Soit pxφpnq qn une
suite extraite qui converge vers a P E et Oi0 tel que a P Oi0 . Comme Oi0 est un
ouvert, il existe ρ ¡ 0 tel que B pa, ρq € Oi0 . Or xφpnq Ñ a, donc il existe n0 P N
tel que xφpnq P B pa, ρ{2q pour tout n ¥ n0 . De même, 1{φpnq Ñ 0 donc il existe
n1 P N tel que @n ¥ n1 , 1{φpnq ρ{2. En prenant N maxpn0 , n1 q, on obtient
dpa, xφpN q q ρ{2 et 1{φpN q ρ{2, d'où B xφpnq , 1{φpnq € B pa, ρq € Oi0 ,
d'où la contradiction.
On aura besoin d'un second lemme:
5.2.
73
PROPRIÉTÉS DES SUITES D'UN COMPACT
Lemme 5.9
Pour tout
ouvertes de rayon
r
r.
¡ 0, il existe un recouvrement ni de E par des boules
Ici encore on fait une preuve par l'absurde. Soit x0 P E . Si E n'est pas
recouvert par B px0 , rq donc il existe x1 P E zB px0 , rq, i.e. tel que dpx0 , x1 q ¥
r. Supposons construit px0 , . . . , xn q tels que dpxi , xj q ¥ r si i j . Si E Y0¤i¤n B pxi , rq, il existe xn 1 P E z Y0¤i¤n B pxi , rq, et donc dpxn 1 , xi q ¥ r
pour tout 1 ¤ i ¤ n. Le lemme est faux alors obtient par récurrence une
suite pxn qn de points de E telle que pour tout pi, j q P N2 , si i j alors
dpxi , xj q ¥ r. Comme une telle suite n'a pas de suite extraite de Cauchy, on a
une contradiction avec l'hypothèse sur E .
Pour nir la preuve du
théorème, soit r ¡ 0 le rayon donné par le lemme
de Lebesgue, et B pxk , rq 1¤k¤n un recouvrement ni de E par des boules de
rayon r. Pour chaque 1 ¤ k ¤ n il existe ik P I tel que B pxi , rq € Oik . On en
déduit alors que E Yk B pxk , rq € Yk Oik , et donc E est compacte. l
Le théorème de Bolzano-Weierstrass combiné au théorème précédent donne
les corollaires importants suivants.
Corollaire 5.10
Tout segment de
R
est compact et
R
muni de la topologie
usuelle est compact.
Théorème 5.11
E1 E2
p
q
pE2 , d2 q deux espaces métriques. On munit
E1 et E2 sont compacts alors E1 E2 est
Soit E1 , d1 et
de la topologie produit. Si
compact.
Preuve. On sait que la topologie produit de E1 E2 est métrisable (associée à D1 , D2 ou D8 . Soit pxn , yn qn P pE1 E2 qN . pxn qn est une suite de points
du compact E1 , donc il existe une suite extraite pxφpnq q qui converge vers un
point l1 P E1 . pyφpnq q est une suite de point de E2 , donc il existe une suite de
extraite pyφpψpnqq qn qui converge vers l2 P E2 . Alors la suite pxφpψpnqq , yφpψpnqq qn
est extraite de la suite pxn , yn q et converge vers pl1 , l2 q P E1 E2 . l
Remarque 5.2
1) bien sur ce théorème se généralise à un produit ni de compacts.
2) En fait le produit d'une famille nie d'espaces topologiques compacts est
aussi un espace topologique compact.
74
5.3
CHAPITRE 5.
ESPACES COMPACTS
Parties compactes de R, Rn , C et Cn
Proposition 5.12
alors
X
pE, dq
un espace métrique et
X
est fermé et borné.
€
E.
Si
X
est compact
On sait déjà qu'une partie compacte est fermée. Comme B px, 1q xPX
recouvre X et que X est compacte, on en déduit qu'il existe px1 , . . . , xk q P X
tels que X € Y1¤i¤k B pxi , 1q. Si on note δ sup1¤i,j ¤k dpxi , xj q alors pour tout
px, yq P X 2 , il existe pi, j q P t1, . . . , ku2 tels que x P B pxi , 1q et y P B pxj , 1q,
d'où dpx, y q ¤ 2 dpxi , xj q ¤ δ 2. Le diamètre de X est donc majoré par
2 δ. l
Preuve.
Remarque 5.3
La réciproque est fausse. Par exemple, la boule unité fermée
d'un espace vectoriel normé de dimension innie est non compacte (théorème
de Riesz).
Théorème 5.13
de
R
Les parties compactes de
R sont les parties fermées et bornées
(pour la distance usuelle).
Preuve. Soit X une partie fermée et bornée de R. Alors X est contenu
dans un segment de R. Comme X est un fermé de R, c'est un fermé du segment.
Comme les segments sont compacts, X est aussi compact. l
Théorème 5.14
Les parties compactes de
Rn
sont les parties fermées et bor-
nées (pour les distances usuelles).
Preuve. On travaille avec D8 . Comme X est bornée, il existe M ¡ 0
telle que X € B 1 p0, M q rM, M sn . Comme rM, M s est un compact de
R, rM, M sn est un compact de Rn . Comme X est un fermé de Rn , donc de
rM, M sn , on en déduit que X est un compact. l
Théorème 5.15
Les parties compactes de
C
ou de
Cn
sont les parties fermées
et bornées (pour la distance usuelle).
Soit X une partie fermée et bornée de Cn pour la distance usuelle.
Comme φ : pa1 ib1 , . . . , an ibn q P Cn ÞÑ pa1 , b1 , . . . , an , bn q P R2n est une
isométrie (et donc un homéomorphisme), on en déduit que φpX q est fermée
(car X est fermée et φ1 est continue) et bornée (car X est bornée et φ est
Preuve.
5.4.
75
FONCTIONS CONTINUES SUR LES COMPACTS
un isométrie) dans R2n . Donc X est une partie compacte de R2n . Enn, X φ1 pφpX qq et donc X est compacte (l'image d'un compact par une application
continue est compact, cf plus bas). l
Corollaire 5.16
1) toute suite bornée de
R, Rn , C ou Cn
possède une valeur d'adhérence (i.e.
une suite extraite qui converge).
2) toute suite bornée de
R, Rn , C
ou
Cn
qui possède une unique valeur
d'adhérence converge.
5.4
Fonctions continues sur les compacts
Théorème 5.17
Si
f :E
ÑF
Soit
E
un espace compact et
est continue alors
f pE q
F
un espace topologique séparé.
est une partie compacte de
F.
Preuve. Soit pOi qiPI une famille d'ouverts de F recouvrant f pE q. Comme
f est continue, f 1 pOi q PI est un recouvrement ouvert de E et par compacité
de E , il existe une partienie J de I telle que
E Yj PJ f 1 pOj q. Comme
1
1
f pE q f Yj PJ f pOj q Yj PJ f f pOj q € Yj PJ Oj , on en déduit que
f pE q est une partie compacte de F . l
Exemples 5.2
1)
r π2 , π2 s est compacte et l'application f : rπ{2, π{2s Ñ R dénie par
f pxq arctanpxq si x Ps π {2, π {2r, f pπ {2q 8q et f pπ {2q 8
est continue. On retrouve que
2)
R
est un compact pour la topologie usuelle.
f : x P r0, 2π rÞÑ eix P U tz P C, |z | 1u est bijective et continue. Mais
f 1 ne peut-être continue car r0, 2π r n'est pas compacte, contrairement à
U.
f : E Ñ R une fonction continue.
px, yq P E 2 tels que f pxq supE f et
Corollaire 5.18
compact et
Alors
il existe
Soit E un
f est bornée sur E et
f py q inf E f . On dit que les
leurs bornes.
applications continues sur un compact atteignent
76
CHAPITRE 5.
ESPACES COMPACTS
Preuve. Si f est continue et E compact alors f pE q est une partie compacte
de R. On en déduit que f pE q est non vide, fermée et bornée dans R. Donc f est
bornée. Soit y0 sup f pE q P R, alors comme f pE q est fermé on a y0 P f pE q,
et donc il existe x0 P f pE q telle que y0 f px0 q. On montre de même que l'inf
est atteint. l
pE, dq est un espace métrique, A et B sont
E , et si x P E , alors la distance de x à A
est atteinte (i.e. il existe x0 P A tel que dpx, x0 q inf aPA dpx, aq). De même
la distance entre A et B est atteinte (i.e. il existe a0 P A et b0 P B tels que
dpa0 , b0 q inf pa,bqPAB dpa, bq) et le diamètre d'un compact est atteint (i.e. il
1
1
existe pa, a q P A tels que dpa, a q δ pAq).
Pour démontrer ces propriétés, il sut de remarquer que a P A ÞÑ dpx, aq P
R, pa, bq P A B ÞÑ dpa, bq P R et pa, a1 q P A2 ÞÑ dpa, a1 q P R sont continues.
Théorème 5.19 (Heine) Soit pE, dq et pE 1 , d1 q deux espaces métriques et
f : E Ñ E 1 une application. Si E est compact et f continue, alors f est
Remarque 5.4
En particulier, si
des parties compactes non vides de
uniformément continue.
Preuve. Soit ¡ 0 xé. f est continue en chaque point de E , donc
pour tout x P E , il existe ηx ¡ 0 tel que pour
tout y P E , si dpx, y q ¤ ηx ,
alors d1 f pxq, f py q ¤ {2. Comme B px, ηx q xPE est une famille d'ouverts
recouvrant le compact E , il existe une famille nie x1 , . . . , xn de points de E tels
que E € Y1¤i¤k B pxi , ηxi {2q. Soit alors η minpηx1 , . . . , ηxn q{2. Si px, y q P E 2
sont tels que dpx, y q η , alors il existe i P t1, . . . , k u tel que x P B pxi , ηxi {2q et
donc d1 f pxi q, f pxq ¤ {2 etcomme dpy, xi q ¤ dpy, xq dpx, xi q ¤ η ηxi {2 ¤
ηxi , on a aussi d1 f pxi q, f py q ¤ {2. On en déduit que d1 f pxq, f py q ¤ . l
Exemple 5.3
Toute application continue et périodique de
et uniformément continue.
dans
C
est bornée
f pr0, P sq et donc f est
¡ 0, il
existe 1 ¥ η ¡ 0
p qPr
s
p q ¤ η alors
|f pxq f pyq| ¤ . Si maintenant px, yq sont deux points de R tels que dpx, yq η ¤ 1 (et x y ), alors il existe k P Z tel que x kP P r0, P s et on a
y kP P r0, P 1s, et on a donc |f pxq f py q| |f px kP q f py kP q| ¤ .
En eet, si
P
est une période de
bornée. On a aussi
f|r0,P
s
f
alors
f pRq
R
1 uniformément continue, i.e. pour tout
tel que si x, y
0, P
1 2 vérient d x, y
Bibliographie
[1]
J.-A. Dieudonné
[2]
L. Schwartz
[3]
C. Tisseron
Éléments d'analyse
, Tome 1, Gauthier Villars
, Tome 1, Hermann
Analyse
,
Notions de topologie, Introduction aux espaces fonctionnels
Hermann
77
Rappels de topologie pour la Licence