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CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE 1998
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Mathématiques 1 1/4
SESSION 1998
CONCOURS COMMUNS POLYlECHNlQUES
EPREUVE SP6CIFIQUE-FILIERE MP
MATH~MATIQUES I
DUR&: 4 heures
Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la
circulaire no 86-228 du 28 juillet 1986.
Le problème étudie la minimisation d'une fonctionnelle sur un espace de fonctions vérifiant y(0) = O et y( 1) = c . La
première partie consiste à démontrer un lemme qui sera utilisé dans la deuxième partie. Les troisième et quatrième
parties traitent de cas particuliers.
Dans un plan rapporté 21 un repère orthonormé d'axes Ox, Oy, le déplacement d'un point mobile M est soumis h la
contrainte suivante : lorsque le point occupe la position ( x , y ) , sa vitesse algébrique a pour valeur imposCe v ( x , y ) ,
où v est une fonction donnée des 2 variables réelles x et y. Le temps mis par M pour parcourir un arc l- de classe C' ,
d'origine O, d'extrémité A de coordonnées (e, c) et déquation y = q ( x ) a donc pour valeur :
PARTIE 1
1 désigne l'intervalle
[OJ] et C' ( 1 ) l'espace vectoriel sur R des applications de 1 dans W de classe C' sur 1, muni de
la norme de la convergence uniforme sur 1.
1.
Montrer que l'ensemble T ' ( 1 ) des fonctions u E C ' ( 1 ) telles que u(0) = u(1) = O est un sous espace
,
dans
vectoriel de C ' ( 1 ) fermé (c'est à dire tel que la limite f ,de toute suite f, , d'C1Cments de r ' ( l )convergente
c ' ( I )appartientà
,
rl(i)).
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Mathématiques 1 2/4
Soient a et b deux nombres réels tels que O 2 a Ib I 1 et h la fonction définie sur 1 par :
2.
v x E [O, a[ h ( x ) = O
Vx E [a,b] h ( x ) = (x - aP ( b - x)z
VXE
IbJ] h ( x ) = O
3. Dans ce qui suit, g désigne une fonction réelle définie et continue sur 1. Montrer que l'application G de
T ' ( 1 ) dans R définie par :
I
G:u -+ G ( u ) = J p u ( x ) d r
est linéaire et continue sur
4.
P ( t ).
Montrer que, s'il existe xo E 1 tel que la fonction g vérifie l'inégalité g(xo) > O , il existe un intervalle
[a,b] avec a < b inclus dans 1 et un nombre a > O tels que l'on ait :
VXE [a,b] g ( x 1 2 a
En déduire alors que, pour que l'on ait G ( u ) = O Vu E r' (1) , il faut et il suffit que g soit la fonction nulle.
G, est la forme linéaire sur
5.
Soit g E C ' ( 1 ),montrer que G, ( u ) = O
6.
r ' ( 1 ) définie par :
Vu E r ' ( l )si et seulement si g est constante sur 1.
On suppose dans cette question que g est uniquement continue sur 1.
Quelle valeur faut-il donner à la constante réelle p pour qu'il existe une fonction u p E T'(I),dont la dérivée u; est la.
fonction x + g(x) p ?
-
Vérifier que, pour cette valeur de p, on a :
En déduire que Cl (u)= O V u E r' ( 1 ) si et seulement si la fonction g est constante sur 1.
PARTIE II
1.
c étant un réel positif ou nul donné,
:-l ( 1 ) désigne le sous-ensemble de C'( 1 ) dont les éléments sont les
fonctions y telles que y(0) = O et y(1) = c . Que peut-on dire de la différence y2 - y, de deux Bléments YI et y2 de
r:(t) ?
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Mathématiques 1 3/4
2.
f :(x,t)
dérivée partielle
+ f ( x , t ) désignant
une fonction réelle donnée, définie sur A = 1 x W, continue, ayant une
af continue sur A, on considère l'application :
at
F:Y + F ( Y )
= jf (x,Y'(x))dr
I
de ri(1) dans R.
O
Prouver que si y correspond à un minimum local de F, alors, pour toute fonction u E FI( 1 ) non nulle, l'application :
I
c,:e+c,(e)=J
Of(x,y'(x)+w(x))dx
de R dans R présente un minimum local pour 0 = O .
3.
Soient u et y deux Cléments respectivement de
r' (1) et r: ( f )
; vérifier que Gu est dérivable sur
W,
donner l'expression de C,;(0) sous forme d'intégrale et déterminer G:(O) .
Déduire alors de ce qui précède qu'une condition nécessaire pour que la fonction y E r: (1) corresponde
h un minimum local de F est l'existence d'un réel h tel que y soit solution sur f de I'équation différentielle :
4.
3 h w~ telque V x E f
c'est à dire
Z ( x , y ' ) =h
at
-a(fx , y ' ( x ) ) = h .
at
PARTIE III
1.
U:x+U(~)Ctant une fonction définie sur 1, continue et croissante, telle que a ( O ) > O , déterminer
l'ensemble L des réels h 2 O pour lesquels l'équation différentielle :
I
admet des solutions appartenant à C (1). Pour tout
.v7, E C'(1) de ( E L )telle que YL(O) = O .
2.
A, E L , exprimer sous forme d'intégrale
la solution particulière
Soit la fonction k définie sur L par :
h
a>
Montrer que k est continue, dérivable et injective sur L.
b) On suppose désormais qu'il existe un réel strictement positif tel que ~ ( x-)a(0)2 px pour tout x de I.
Montrer que k est bornée et en déduire que k possède une limite finie K lorsque h tend vers a(0).
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Mathématiques 14/4
A quelle condition doit satisfaire le nombre c 2 O pour qu'il existe une valeur de h pour laquelle ( E L )
3.
I
admette une solution y appartenant à T,(I) ?
Cette condition étant supposée remplie, montrer que la valeur de h est unique ; on la désignera par h(c). Vérifier
I
alors que la seule solution de (Eicc))qui appartienne à r,(I)est
PARTIE IV
Les notations étant celles de la partie II, on s'intéresse désormais à I'étude des minima locaux stricts de l'application :
F:Y
-+ F ( Y ) =
I
' f ( x , Y t ( x ) )dx
I
de rc( 1 ) dans W,dans le cas particulier où la fonction f est définie sur A = Z x
la fonction introduite au III.
W par f ( x , r ) = a ( x d 1 + t 2 , a Btant
Etudier, pour tout triplet ( x , r , s ) de A x R le signe de :
1.
@(X,f,S)
= f(.Y,f
+ s) - f ( x , r ) - S -af( X J )
.
at
2. Montrer que si la fonction y E r : ( [ ) correspond à un minimum local strict parmi les fonctions de
de l'application F, elle est nécessairement égale à la fonction y ~ ( définie
~ ,
dans la partie III.
3.
Réciproquement. on se propose de montrer que cette fonction
rhz)
r = y k ( c ) correspond non seulement B un
minimum local strict de F, mais au minimum strict absolu. Déduire ce résultat de I'étude du signe de l'intégrale :
j$(.v,
I
4.
~'(.v),u'(.r))
dx oh 4 est la fonction définie à la question IV.1 et u E r'(1 ) .
Ce qui suit est une application au cas particulier où V
.I E 1 a ( x ) = 1
+X.
Déterminer L défini au III. 1. Vérifier que, V h E L , V x E 1 :
T ~ ( . Y=
) h Ln
I+X+J-
I+J-S
5. Dans le cas où l = 1 . pour quelles fonctions v ( x , y ) sait-on montrer, en utilisant la partie IV, qu'il existe
un arc joignant le point origine O et le point particulier A de coordonnées (1.c) pour lequel le temps de parcours est
minimum '? Cet arc est-il unique '?
Fin de I'CnoncC