TD 5 – Continuité et dérivation sous l`intégrale

Université de Rouen
Licence 3 Mathématiques
2016–2017
Mesure & Intégration
TD 5 – Continuité et dérivation sous l’intégrale - Théorèmes de Fubini
Z
Exercice 1. Soit f la fonction définie sur R+ par f (t ) =
+∞ µ sin x ¶2
x
0
a) Montrer que f est continue sur R+ et deux fois dérivable sur R∗+ .
e −t x dx.
b) Calculer f 00 et les limites en +∞ de f et f 0 .
c) En déduire une expression simple de f .
Exercice 2.
a) Montrer que la fonction f : x 7→
sin x
est Lebesgue-intégrable sur [0, +∞[.
ex − 1
b) Montrer que, pour tout x > 0, on peut encore écrire f (x) sous la forme : f (x) =
+∞
X
e −nx sin x.
n=1
Est-ce vrai en 0 ?
Z
c) En déduire que
0
+∞
∞
X
1
sin x
dx
=
.
x
2
e −1
n=1 n + 1
Exercice 3.
a) Démontrer que h : θ 7→ ln(1 − sin2 θ) est Lebesgue-intégrable sur [0, π/2[.
Z π/2
b) On considère la fonction F : t 7→
ln(1 + t sin2 θ) λ(dθ) de R dans R.
0
(i) Montrer que F est définie et continue sur [−1, +∞[.
(ii) Établir que F est de classe C 1 sur ] − 1, +∞[ et que
Z π/2
sin2 θ
0
λ(dθ).
∀t ∈] − 1, +∞[, F (t ) =
1 + t sin2 θ
0
c)
π
F 0 (t ) = p
.
p
2 1 + t (1 + 1 + t )
i
h ¡
p
¢
(ii) En déduire que ∀t ∈ [−1, +∞[, F (t ) = π ln 1 + 1 + t − ln 2 .
(i) Montrer que ∀t ∈] − 1, +∞[,
Exercice 4. Soit f la fonction définie sur l’espace produit R+ × [0, 1] par f (x, y) = 2e −2x y −
e −x y .
a) Montrer
f est B(R+ ) ⊗ B([0,
Z 1])-mesurable.
Z que
³Z
´
³Z
´
Calculer
f (x, y) dx dy et
f (x, y) dy dx. Conclure.
[0,1]
R+
R+
[0,1]
Exercice 5.
Z 1
ln x
ln x
a) Montrer que l’intégrale I =
dx est bien définie et vérifie I = −2
dx.
2
2
x −1
0
0 1−x
Z
dx dy
b) Calculer de deux façons l’intégrale
et en déduire la valeur de I .
2
R2+ (1 + y)(1 + x y)
Z
+∞
c) Déduire de la question précédente et d’un développement en série entière de 1/(1 − x 2 )
les égalités
X
X 1
1
π2
π2
=
,
puis
=
.
2
2
8
6
n≥0 (2n + 1)
n≥1 n
1
CONTINUITÉ ET DÉRIVATION SOUS L’ INTÉGRALE
- T HÉORÈMES DE F UBINI
2
Exercice 6. Soit (X , F , µ) un espace mesuré. Soit f et g deux fonctions mesurables positives
sur (X , F ).
©
ª
a) Montrer que A = (x, t ) ∈ E × R+ : f (x) ≥ t ∈ F ⊗ B(R+ ).
Z
Z
©
ª
b) Montrer que
f dµ =
µ( f ≥ t ) λ(dt ).
X
R+
Z
Z
©
ª
p
c) En déduire que, pour tout p ≥ 1,
g dµ =
pt p−1 µ( g ≥ t ) λ(dt ).
X
R+
Z
d) Que dire de ϕ ◦ f dµ si ϕ est une fonction croissante de classe C 1 sur R+ nulle en 0 ?
X
e) En considérant l’application de X ×R+ ×R+ dans R+ , F : (x, s, t ) 7→ 1[s,+∞[ ( f (x))1[t ,+∞[ (g (x)),
montrer que
Z
Z
¡©
ª ©
ª¢
f g dµ =
µ f ≥ s ∩ g ≥ t λ(ds) λ(dt ) .
X
R2+
Exercice 7. Soit f : R → R+ une fonction borélienne positive.
©
ª
a) Montrer que l’ensemble A f = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ f (x) est un borélien de R2 et calculer
λ(2) (A f ).
[Indication : On pourra procéder par méthode standard]
©
ª
b) Même question pour le graphe de f défini par G f = (x, f (x)) : x ∈ R .
¡©
ª¢
c) En déduire que pour λ-presque tout y ∈ R+ , λ x ∈ R : f (x) = y = 0.
Exercice 8. Une formule d’intégration par parties généralisée.
a) Si µ est une mesure sur (R, B(R)), on désigne par F = F µ sa fonction de répartition, qui
est une fonction définie sur R par F (t ) = µ(] − ∞, t ]).
(i) Montrer que F est une fonction croissante, admet en tout point une limite à gauche
et est continue à droite.
(ii) À quelle condition sur F la mesure µ est-elle finie, de probabilité ?
(iii) Pour tout x ∈ R, exprimer µ({x}) en fonction de F . Montrer que F est continue en x
ssi µ({x}) = 0 (x n’est pas un atome de µ).
b) Soit µ et ν des mesures finies sur B(R). On désigne par F et G leurs fonctions de répartition respectives. Pour des réels fixés a et b, avec a < b, on définit
©
ª
A = (x, y) ∈ R2 : a < y ≤ x ≤ b .
En calculant de deux façons différentes µ ⊗ ν(A), montrer que
Z
Z
−
F (t ) ν(dt ) +
G(t ) µ(dt ) = F (b)G(b) − F (a)G(a).
]a,b]
]a,b]
c) Soit f et g des fonctions positives, λ-intégrables sur R et
Z x
Z
∀x ∈ R, F (x) =
f dλ, et G(x) =
−∞
x
g dλ .
−∞
Montrer que F et G sont les fonctions de répartition de deux mesures finies sur B(R). En
déduire que
Z
Z
∀a, b ∈ R, a < b,
F (x)g (x) λ(dx) +
f (x)G(x) λ(dx) = F (b)G(b) − F (a)G(a).
[a,b]
[a,b]